2015年北京高考理科数学试题及答案.doc

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1、2015年北京高考理科数学试题及答案2015年北京高考理科数学试题及答案:未经允许 请勿转载 2015年北京市高考数学试卷理科 一、选取题每题5分，共40分1.分201北京复数i2i A1+iB.2C.1+2iD22.5分0北京若x，满足,则z=x+y的最大值为 AB.C2 35分2015北京执行如以以下图的程序框图,输出的结果为 2，24,0C4,4D.0，8 .分2北京设，是两个不同的平面,m是直线且m,“m“是“的 未经许可 请勿转载 A充分而不必要条件.必要而不充分条件 C.充分不要条件D.既不充分也不必要条件5.5分2015北京某三棱锥的三视图如以以下图,则该三棱锥的表面积是 2+B

2、+C2+D5.分2015北京设an是等差数列，以下结论中正确的选项是A.若a1+a2，则a2+a若a+3,则若1a2， C.若若01a2，则a2若1,则2a1a2a30 7.分2015北京如此图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式xl2x1的解集是未经许可 请勿转载A.x1b0的离心率为，点P0，1和点,nm都在椭圆上，直线PA交轴于点M.未经许可 请勿转载求椭圆C的方程,并求点M的坐标用，n表示；设O为原点,点B与点A关于轴对称,直线PB交轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ?若存在，求点Q的坐标,若不存在,说明理由未经许可 请勿转载 013分2015北京已经知道数列an满足

3、:a，13,且an1=1,2，记集合M=an|nN*未经许可 请勿转载若a16,写出集合的所有元素;如集合存在一个元素是3的倍数,证明：的所有元素都是3的倍数;求集合M的元素个数的最大值. 2015年北京市高考数学试卷理科参考答案:：与试题解析一、选取题每题分,共40分1.5分215北京复数i2i= .1+2iiC12D.12i考试点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数的运算法则解答.解答：解：原式=2ii22i11+2i;故选:A点评：此题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则.注意i2=1 5分2015北京若，y满足，则z=+y的最大值为 A01C.D.2考试点：

4、简单线性规划.专题:不等式的解法及应用分析:作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,即可求出z取得最大值.解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如此图的三角形及其内部阴影部分，由解得A,，目标函数x+2y，将直线z=x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值z最大值=故选：C.点评：此题给出二元一次不等式组,求目标函数z=+2的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.3.5分2015北京执行如以以下图的程序框图，输出的结果为 A，2.,C4,4D.,8考试点：程序框图.专题:图表型；算法和程序框图.

5、分析：模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x,y,的值，当k=3时满足条件k3,退出循环，输出，0解答:解:模拟执行程序框图,可得=,y=1,k=0s,i=2x0,y=2，k=不满足条件k3，s=，2，x2，y=2,k=2不满足条件，4,i0，x=4,y=0,k=3满足条件3，退出循环,输出4，0,故选：.点评：此题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的,y，k的值是解题的关键，属于基础题4.5分205北京设，是两个不同的平面,m是直线且m，“m“是“的 未经许可 请勿转载.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分不要条件.既不充分也不必要条件考试点:必要条件、充分条件与充

6、要条件的判断.专题:简易逻辑.分析：m并得不到,根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于,而，并且m,显然能得到m，这样即可找出正确选项.解答:解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和,的交线平行即可得到m;,，m和没有公共点,，即能得到；“是“的必要不充分条件故选B点评:考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念. 5.分2015北京某三棱锥的三视图如以以下图,则该三棱锥的表面积是A.+B+2+2D5考试点:由三视图求面积、体积专题:空间位置关系与距离分析:根据三视图可判断直观图为：A面AC，A=A,

7、为C中点，=,AEB=1，OA1,:B面AEO,A，OE判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积.解答:解：根据三视图可判断直观图为：OA面AB,C,E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEB,BOA，运用直线平面的垂直得出：BC面EO，AC=，ESAB222,SOAC=SOAB=1=.SBO=.故该三棱锥的表面积是2，故选:C点评：此题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质 6.5分201北京设an是等差数列,以下结论中正确的选项是 A若a1+2，则a2+a30B若1+a30，则若a1+a，若若0a1a2，则a2D.若

8、a1，a+3=213d2d，d0时,结论成立,即A不正确；若+20，则a1，a2+32a1+3d2d,d0时,结论成立，即B不正确；n是等差数列，0a1，a2，即C正确；若10，则2a1a2a3=d20,即D不正确.故选：C点评：此题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础7.5分205北京如此图，函数f的图象为折线ACB,则不等式fxl+1的解集是 未经许可 请勿转载 A.xx0Bx1x1C.|1xD|1x2考试点：指、对数不等式的解法专题:不等式的解法及应用.分析：在已经知道坐标系内作出=lg2x+的图象，利用数形结合得到不等式的解集解答:解:由已经知道x的图象,在此坐标系内作出y

9、=lg2x+的图象,如此图满足不等式xlog2x+1的x范围是0的一条渐近线为+y0,则a= 未经许可 请勿转载考试点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析:运用双曲线的渐近线方程为y=，结合条件可得,即可得到的值.解答：解：双曲线y=1的渐近线方程为=,由题意可得=，解得a=.故答案:为:点评:此题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.分21北京在极坐标系中，点,到直线cos+in=的距离为 1 .未经许可 请勿转载考试点:简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出解答：解：点P2

10、,化为P.直线cos+sn6化为点到直线的距离=1.故答案:为：1.点评：此题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题1.5分2015北京在AB中，a4,=5，c，则=1.考试点:余弦定理；二倍角的正弦;正弦定理专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理求出cosC，coA,即可得出结论.解答:解:ABC中，a=4，b5,c=6，cos=,csA=siC=，iA=，=1故答案:为：点评：此题考查余弦定理，考查学生的计算能力,比较基础.15分01北京在ABC中,点M，N满足，=，若=xy,则= ，= 未经许可 请勿转载考试点：平面向量的基本定理及其意义

11、专题:平面向量及应用.分析:首先利用向量的三角形法则,将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x,y值解答:解：由已经知道得到=；由平面向量基本定理，得到x=,y=；故答案:：:为：点评：此题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示,存在唯一的实数对x，y使，向量等式成立.1.5分2015北京设函数x=，若a=1,则fx的最小值为1 ;若fx恰有2个零点,则实数的取值范围是或a2 .考试点：函数的零点；分段函数的应用专题:创新题型；函数的性质及应用分析:分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值;分别设h=2a，x=xax2a,分两种情况讨论,即可求出a的范围解答:解:

12、当=1时,fx=,当x1时，=4x2x23x+2=x21,当1x时，函数单调递减,当时，函数单调递增，故当x=时,fmi=f=1，设hx2xa,gx=4xx2a若在x，并且当=1时，h=2a，所以0a2,而函数g=4xax2a有一个交点，所以21,且1,所以a1,若函数hxa在1时,与x轴没有交点，则函数gx=4xaxa有两个交点，当a时，h与x轴无交点，gx无交点,所以不满足题意舍去,当h1=2a时,即a2时，x的两个交点为x1=a,x2=2a,都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或2点评：此题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于

13、中档题 三、解答题共6小题，共8分1.3分21北京已经知道函数fx=sincosin.求fx的最小正周期;求fx在区间,0上的最小值考试点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质.分析：运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简fx,再由正弦喊话说的周期,即可得到所求;由的范围,可得x+的范围,再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值.解答:解:fincosinsinx1cosx=sinxcos+osxsin=sinx+，则f的最小正周期为2；由x0，可得x，即有1,则当x=时,si+取得最小值1，则有fx在区间，0上的最小

14、值为.点评：此题考查二倍角公式和两角和的正弦公式,同时考查正弦函数的周期和值域,考查运算能力,属于中档题 6.13分05北京A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间单位:天记录如下：未经许可 请勿转载组：10,1,2,13,14,15，16B组；12,1，5,16，17，4,a假设所有病人的康复时间相互独立，从,B两组随机各选1人,组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.求甲的康复时间不少于天的概率；如果=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;当a为何值时,A，两组病人康复时间的方差相等？结论不要求证明考试点:极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式.专题：概率与统计.分析

15、：设事件A为“甲是A组的第i个人,事件B为“乙是组的第个人,由题意可知PAi=PBi，=1，2,，7事件等价于“甲是组的第或第6或第7个人，由概率公式可得；设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长4BA51A6B1A71AB2A6A2A73AB6A7B6,易得P=0P4B，易得答案:；由方差的公式可得.解答:解：设事件i为“甲是A组的第个人，事件Bi为“乙是B组的第i个人，由题意可知PAi=B=,1，2，7事件“甲的康复时间不少于4天等价于“甲是A组的第5或第6或第个人甲的康复时间不少于14天的概率PAA6A7=PPA6PA7=；设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长，则A1A51A6BA71A

16、B262AB273B67B，PC=PA4BPA51+P61P+A7B+PA2PA6B2+PA72PA73+PA66PAB610A41=0PA4PB1=当a为11或18时,，B两组病人康复时间的方差相等点评：此题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差,属基础题.1.14分201北京如此图,在四棱锥AEFB中,AEF为等边三角形，平面AE平面E，EFBC,BC=4,EF=2a,ECFCB6,O为EF的中点.未经许可 请勿转载求证:AOBE.求二面角FAEB的余弦值；若BE平面C，求a的值.考试点：二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质.专题:空间位置关系与距离

17、；空间角分析：根据线面垂直的性质定理即可证明AOBE.建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角FAE的余弦值;利用线面垂直的性质,结合向量法即可求的值解答:证明：AEF为等边三角形，O为EF的中点，AOF，平面AEF平面FB，AO平面AEF,O平面ECBOB取BC的中点G，连接OG，CB是等腰梯形，GF,由知AO平面EFCB，O平面ECB，OAO，建立如此图的空间坐标系，则O=a，BG=2,H=a,B=2a，EH=Htan60,则Ea，0，0,A0,，a,B2,0，a，0,=a2,，0，设平面AEB的法向量为=,y，z,则,即，令z=1,则x=,=，即=,1，1，平面AEF的法向量为，则co=即

18、二面角AEB的余弦值为；若E平面AC，则BOC，即=0，=a2，,0,=2,，=2a23a22=，解得a=.点评：此题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.181分01北京已经知道函数fx=ln，求曲线y=fx在点0,f处的切线方程；求证，当，1时，x;设实数使得对x，1恒成立,求k的最大值.考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用.专题：导数的综合应用.分析:1利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程.2构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.3对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围解答：解答

19、：1因为f=n+xnx所以又因为f0=0，所以曲线yfx在点0,0处的切线方程为2.2证明:令gx=x2x+，则gx=x21+x2，因为gx00x2+.3由知，当k2时,x对x0，恒成立当k2时，令hx=x，则hx=fxk1+x=,所以当时，x2时，f并非对0，1恒成立综上所知,k的最大值为点评:此题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明.在高考中属常考题型,难度适中191分2015北京已经知道椭圆C:=1b0的离心率为，点,和点m，nm0都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.未经许可 请勿转载求椭圆的方程,并求点的坐标用m，n表示;设为原点，点B与点A关于x轴对称，直线P交x轴于点，

20、问：y轴上是否存在点Q,使得OQMONQ?若存在,求点Q的坐标，若不存在，说明理由未经许可 请勿转载考试点：直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程专题：创新题型;圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：I根据椭圆的几何性质得出求解即可II求解得出，,，0,运用图形得出anQMnONQ，求解即可得出即y2xMxN,n2，根据m，m的关系整体求解解答:解：由题意得出解得:，b1,=1+2,P0，1和点Am，n，11A的方程为：1x,y0时，x=M,0II点与点A关于x轴对称，点Am,n0点B，nm0直线P交x轴于点N,N,0,存在点Q，使得QM=ONQ,Q0,yQ,tanQ

21、=tanNQ,=,即Q2=xMN,n2=1yQ2=2，y=,故y轴上存在点Q,使得OON，或Q,点评：此题考查了直线圆锥曲线的方程,位置关系,数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题.2.13分215北京已经知道数列an满足:a1N*，a136，且an+1n1,2,，记集合M=an|nN*未经许可 请勿转载若a1=6,写出集合M的所有元素;如集合M存在一个元素是的倍数,证明:M的所有元素都是的倍数；求集合M的元素个数的最大值考试点:数列递推式.专题：创新题型;点列、递归数列与数学归纳法分析：a1=6,利用an+1=可求得集合M的所有元素为6，1,4;因为集合M存在一

22、个元素是3的倍数，所以不妨设k是3的倍数,由a+1=n=1,2，可归纳证明对任意nk，an是3的倍数；分a1是的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值解答：解：若a=6,由于+1=n=1,2,，=an|nN*故集合M的所有元素为,1，2；因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由a+1=n=1,2,可归纳证明对任意n，an是3的倍数如果1，M的所有元素都是3的倍数；如果k，因为a=ak1，或a=2ak136，所以2a1是的倍数；于是ak1是3的倍数;类似可得,2，,a1都是的倍数；从而对任意,a是3的倍数;综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则集合M

23、的所有元素都是3的倍数对a16，nn=1，2，,可归纳证明对任意nk,ann=2，3,因为1是正整数,2，所以2是2的倍数.从而当n3时，an是的倍数.如果a1是3的倍数，由知,对所有正整数，an是3的倍数因此当n时,n12，24，36，这时的元素个数不超过.如果a1不是的倍数,由知，对所有正整数，n不是3的倍数.因此当n3时，an4，,16，,28，32,这时M的元素个数不超过8.当a=1时,M=1,2,4，8，1，20，28，3，有个元素综上可知，集合M的元素个数的最大值为8点评:此题考查数列递推关系的应用,突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力,属于难题 未经允许 请勿转载