2022年高一数学人教版必修学案中国古代数学中的算法案例.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【入门向导】1.3中国古代数学中的算法案例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_秦朝末年,楚汉相争一次,韩信率1 500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场,楚 军不敌, 败退回营, 汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来只见远方尘土飞扬,杀声震天汉军原来已非常疲乏,这时队伍大哗 韩信骑马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌他命令士兵 3 人一排,结果多出 2 名.接着命令士兵

2、 5 人一排,结果多出 3 名.他又命令士兵 7 人一排,结果又多出 2 名韩信立刻向将士们宣布： 我军有 1 073 名勇士, 敌人不足五百, 我们居高临下, 以众击寡,肯定能打败敌人汉军原来就信服自己的统领,这一来更信任韩信是“ 神仙下凡”“ 神机妙算 ” 于是士气大振,一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团,交战不久,楚军大败而逃这就是历史上出名的“ 韩信点兵 ”,这类问题的有解条件和解题方法被称为“ 中国剩余定理 ” ,是一个典型的算法案例1 用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术” 有人称其为“约分术”, 是一种对分数约分的算法.

3、也可以用来求最大公约数 对于给定的两个不相等的正整数, 用较大的数减去较小的数, 接着把所得的差和较小的数作比较, 并以较大数减去较小数, 连续这个操作, 直到所得的两数相等为止,就这个数就是所求的最大公约数例 1用“等值算法”求84 与 294 的最大公约数分析依据等值算法算理运算如下：294 84 210.210 84 126.126 84 42.84 42 42.42 42 0.解294,84 210,84 126,84 42,84 42,42 故 84 与 294 的最大公约数是42.2 割圆术所谓“割圆术”,就是用圆内接正多边形的面积去无限靠近圆面积,并以此求取圆周率的方法 这个方法

4、, 是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的运算方法之后,经过深思熟虑才制造出来的一种方法割圆术的步骤：第一,从半径为1 的圆内接正六边形开头,运算它的面积S6.其次,逐步加倍圆内接正多边形的边数,分别运算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形 的面积, 到肯定的边数 设为 2m为止,得到一列递增的数 S6,S12,S24, ,S2m.第三,在其次步中各正n 边形每边上作一高为余径的矩形,把其面积S2n Sn与相应的正 n 边形的面积S2n 相加,得 S2n S2n Sn,这样又得到一列递增数：S12S12 S6,S24 S24 S12 ,S48 S48 S24, S2m S2 m Sm第四

5、,圆面积S 满意不等式S2mSS2m S2m Sm估量 S 的近似值,即圆周率的近似值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案3 秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法1秦九韶算法把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值,把求fx anxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1 a10 的值转化为求递推公式

6、：axn 1x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v 0 anv k v k 1x ank k1,2, n中 v n 的值,所以我们可以将这个递推关系通过循环结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构编写程序在运算机上实现2运算次数削减,只需至多n 次乘法和n 次加法运算,而直接求和所用乘法的次数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n1 2,加法的次数为n 次,从而大大提高了运算效率运算机做一次乘法运算需要的时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间是做加法运算的几倍到十几倍,衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率,减少乘法运算的次

7、数也就加快了运算速度所以说,秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法例 2用秦九韶算法求多项式fx x5 0.11x3 0.15x 0.04,当 x 0.3 时 fx的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,分析此题中有些项不存在,如x4, x2 要补上, x4 写为 0 x4x2 写为 0x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解将 f x写为：fx x0 x0.11 x 0x 0.15x 0.04. 按从内到外的次序,依次运算多项式的值 v0 1.v1 1 0.3 0 0.3.v2 v1 0.30.11 0.2. v3 v2 0.30 0.06. v4 v3 0.3

8、0.15 0.132. v5 v4 0.30.04 0.079 6.所以,当 x 0.3 时,多项式的值为0.079 6.点评当多项式中有几项不存在时,可将这几项看作0xn.1 秦九韶算法运算多项式的值,要对多项式进行正确改写例 1fx 3x4 2x2 4x2,求 f 2的值错解fx 3x22 x 4x 2 v1 3 22 214 v2 14 24 24 v3 24 2 2 50 f 2 50.错解辨析错解中 v 1中含有 x的二次式,不符合“秦九韶算法 ” .正解fx 3x432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0 x 2x 4x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

9、料_ 3x 0x 2x 4x 2 v0 3v1 3 20 6v2 6 2 2 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v3 14 24 24 v4 24 2 2 50 f 2 50.2 利用秦九韶算法,当多项式中显现空项时要用0xn 补齐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

10、料_例 2用秦九韶算法,求当x 2 时, f x x5 5x4 x3 1 的函数值错解利用秦九韶算法递推公式,有 v 0 1.v1 1 2 5 3. v2 3 2 1 5. v3 5 21 11.所以 f2 11.正解利用公式有v 0 1. v1 1 2 5 3. v2 3 21 5. v3 52 0 10. v4 10 20 20. v5 20 21 41. 所以 f2 41.课本在算法案例中所介绍的等值算法即更相减损之术与辗转相除法即欧几里得算法都是求两个正整数的最大公约数的方法,它们既有相同之处,也有不同之处更相减损之术的详细算法是：用两数中较大的数减去较小的数,用所得的差与较小的数 构

11、成新的一对数,对这一对数再用较大的数减去较小的数,以同样的操作始终做下去,直到产生一对相等的数,这个数就是所求的最大公约数辗转相除法的详细算法是：用两数中较大的数除以较小的数,如余数等于零, 就除数为最大公约数.否就把前面的除数作为被除数,余数作为除数,连续运算,直到余数为零,此时除数即为最大公约数例如：我们用上述两种方法来求68 与 48 的最大公约数等值算法操作如下：68,48 20,48 20,28 20,8 12,8 4,8 4,4所以 4 是 68 与 48 的最大公约数 辗转相除法操作如下：68,48 20,48 20,84,8 所以 4 是 68 与 48 的最大公约数通过比较不

12、难看出,两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差.不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止,辗转相除法做到余数等于零即可如此看来, 辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些例 1现有长度为240 cm 和 560 cm 两种规格的钢筋如干,要焊接一批同规格的正方体模型,问怎样设计才能保证正方体体积最大且不铺张材料？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

13、- - - - -名师精编优秀教案分析剪裁的长度应能被240 和 560 同时整除,此题即为求240 和 560 的最大公约数解560,240 320,240 80,240 80,160 80,80 ,即 240 和 560 的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm 时,体积最大且不铺张材料例 2有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g ,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数,先求 147 和 343 的最大公约数 147,343 147,196 147,49 98,

14、49 49,49 147 和 343 的最大公约数为49.同理可求得49 与 133 的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 克. 4x 5x 6x 7x 8x 1,当 x654321 泰安模拟 用秦九韶算法运算多项式fx 3x0.4 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别为 A 6,6B 5,6C5,5D 6,5答案A2 烟台模拟 三个数 390,455,546 的最大公约数是A 65B 91C 26D 13答案D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载