2022年高中数学圆锥曲线题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运用的学问 ：直线和圆锥曲线常考题型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、中点坐标公式：xx1x2 ,yy1y2,其中x, y 是点A x , y, B x , y 的中点坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、弦长公式：如点A x1, y1, B x2,y2 在直线ykxbk0 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 y1kx1b, y2kx2b ,这是同点纵横坐标变换,是两

2、大坐标变换技巧之一,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB xx 2 yy 2 xx 2 kxkx 21k 2 xx 21k 2 xx 24x x 1212121212121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或者AB xx 2 yy 211 x 2 yy 211 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212x1 k212122kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 yy 24 y y .21212k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两条直线l1 :yk1xb1, l2 :yk2xb2 垂直：就k1k21两条

3、直线垂直,就直线所在的向量v1 v20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、韦达定理：如一元二次方程常见的一些题型：ax 2bxc0 a0 有两个不同的根x1, x2 ,就 x1x2b , x xc .1 2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 1、已知直线l : ykx1 与椭圆C :1 始终有交点,求m 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4mx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

4、_精品资料_解：依据直线l : ykx1 的方程可知,直线恒过定点（0 , 1）,椭圆C :1 过动点（0,m , 且m4 ,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4mx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_果直线l : ykx1 和椭圆C :1 始终有交点,就m1,且 m4 ,即 1m且m4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4m规律提示：通过直线的代数形式,可以看出直线的特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l : ykx1过定点（0,1）l : yk x1 过定点（,10）l : y2k x1过定点（1, 2）可编辑资料 - -

5、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T-1,0 作直线 l 与曲线N ： y2x 交于 A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E x0 ,0,使得ABE 是等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边三角形,如存在,求出x0 .如不存在,请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依题意知,直线的斜率存在,且不等于0.设直线l : yk x1 , k0 , A x1,y1 ,Bx2, y2

6、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yk x12222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由消 y 整理,得k xy2x2 k1xk0 由直线和抛物线交于两点,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k 2124k44k221 0 即 0k1 由韦达定理,得：4x1x22k2k 21, x1x21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就线段 AB 的中点为2k1 , 1 .线段的垂直平分线方程为

7、：y11 x212k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k 22k2 kk2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y=0,得 x11 ,就 E11 ,0ABE为正三角形,E11 ,03到直线 AB 的距离 d 为AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_022k222k222k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2214k 221k23 14k 221k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB x1x2 y1y221kdk2 k21k2k2 k可编辑资料 - - -

8、欢迎下载精品_精品资料_解得 k395满意式此时x0.133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型三：动弦过定点的问题x2y23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 3、已知椭圆C：221ab ab0 的离心率为,且在x 轴上的顶点分别为A 1-2,0,A 22,0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I）求椭圆的方程. （ II）如直线l : xt t2 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点T 的任一点,直线PA1,PA2 分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点

9、？并证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I）由已知椭圆C 的离心率 eca3 , a22 ,就得 c3, b1.从而椭圆的方程为x24y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）设M x1, y1 ,N x2, y2 ,直线A1M 的斜率为k1 ,就直线A1M 的方程为yk1 x2 ,由yk1 x22 2消y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4 y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22216k2428k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整 理 得14k1 x16k2x16k1402和x1是

10、方 程 的 两 个 根 ,2x11114k 2就 x11,114k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4k1y114k 2,即点M的坐标为28k2114k2,4k114k 2,同理,设直线A2N的斜率为k 2 ,就得点N的坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8k 2124k11kk2yyyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_214k2,2 14k 2y pk1t2, ypk2t212kkt,直线 MN 的方程为：121 ,xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y=

11、0 ,得 xx2 y1y1x1 y2 ,将点M 、N 的坐标代入,化简后得：x4 y2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又t2 ,042t椭圆的焦点为3, 043 ,即 t43t3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43故当 t时, MN 过椭圆的焦点.3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 4、已知点 A 、B 、C 是椭圆 E：a 2b21ab0 上的三点,其中点A 23,0 是椭圆的右顶点,直线BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过椭圆的中心O,且AC BC0 , BC2 AC ,如图.

12、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(I) 求点 C 的坐标及椭圆E 的方程. II 如椭圆 E 上存在两点P、Q,使得直线PC 与直线 QC 关于直线x直线 PQ 的斜率.3 对称,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： IBC2AC ,且 BC 过椭圆的中心OOCACAC BC0ACO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又A 23,0点 C 的坐标为3,3 .A 23,0 是椭圆的右顶点,a23 ,就椭圆方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_x2y2221 将点 C 3,3 代入方程,得b24 ,椭圆 E 的方程为xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12b 2124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(II) 直线 PC 与直线QC 关于直线x的方程为：3 对称,设直线PC 的斜率为k ,就直线QC 的斜率为k ,从而直线PC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3k x3 ,即ykx31k ,由ykx31k 消 y,整理得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x23 y21

14、20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13k 2 x263k1k x9k 218k30x3 是方程的一个根,x39k18k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 xP9k 218k2Q3 同理可得：x9k 218k32P13k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_313k 313k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yPyQkxP31kkxQ31k kxP12kxQ 2 3k 2313k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9k218k39k218k336kyPyQ11可编辑资料

15、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xPxQ313k 2 313k 2 313k2 kPQxPxQ就直线PQ 的斜率为定值.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型五：共线向量问题x2y2uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 5、设过点D0,3 的直线交曲线M：941 于 P、Q 两点,且 DP= l DQ,求实数 l 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuruuur.x 1 =l x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 Px 1,y1,Qx 2,

16、y2, Q DP = l DQx 1,y1-3= l x 2,y2-3 即.y1 =3 + ly2 - 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.x 2y2222.+= 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：方程组消元法又Q P、Q 是椭圆x y+=1 上的点. 94可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94.lx 2 l y2 + 3 -3l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+= 1.94可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l y+ 3 -3l 2 -l 2y213l -

17、513l -51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去 x 2,可得22 = 1 -l4即 y2=6l又 Q 2 y2 2, 2 6l2 解之得：55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就实数 l 的取值范畴是1 ,55.方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为：y kx3,k0 ,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx32222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x29 y2消 y 整理后,得 49 k x3654kx450P、Q 是曲线 M 上的两点54k44549k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

18、_54k45xx 2xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 144k2800 即 9k25由韦达定理得：x1x249k 2, x1x249k 212122x1x2x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_54 2 k 21 2369 k24411可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4549k 2 即51 29k 219k 2由得09k 2,代入,整理得5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1369,解之得15 当直线PQ 的斜率不存在,即x10 时,易知5 或.总之实数l 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_512555范畴

19、是1 ,5.5题型六：面积问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例题 6、已知椭圆C： xa 2y1 （ a b0）的离心率为6 , 短轴一个端点到右焦点的距离为3 .2b23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求椭圆C 的方程.（）设直线l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点,坐标原点O 到直线 l 的距离为的最大值.3 ,求 AOB 面积2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c解：（）设椭圆的半焦距为c ,依题意aa6 ,x23b1 ,所求椭圆方程为33,y21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

20、精品资料_（）设A x1, y1 ,Bx2, y2 .（ 1）当 AB x轴时,AB3 .（2）当 AB 与 x 轴不垂直时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线 AB 的方程为ykxm .由已知m1k 23 ,得 m223 k 241 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把 ykxm代入椭圆方程,整理得23k21 x26kmx3m30 ,xx6km, x x3m21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123k211 223k1可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品_精品资料_22222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2AB1k 2 xx 21k2 36k m12m112k13k1m 3k19k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_213k 2123k 213k 2123k212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k 2121213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33k0 34 .当且仅当9 k 2,即 k时等号成立.当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9k 46k 2121236k23可编辑资料 - - - 欢迎下

22、载精品_精品资料_9 kk26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k0 时, AB3 ,综上所述AB max2 .当 AB 最大时,AOB 面积取最大值S1233AB max22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系xOy 中,过定点C（ 0, p）作直线与抛物线x 2=2py （ p0 ）相交于A 、B 两点.（）如点N 是点 C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB 面积的最小值.（）是否存在垂直于y 轴的直线l,使得l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？如存在,求出l 的方程.如不存在,说明理由.可编辑资料

23、- - - 欢迎下载精品_精品资料_x2（）依题意,点 N 的坐标为N（ 0,-p）,可设 A（ x1,y1）,B（ x2,y2）,直线 AB 的方程为y=kx+p, 与 x2=2py 联立得2 py可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去 y 得 x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p 2.于是S ABNS BCNS ACN12 p x1x22ykxp.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ p xxpxx 24x x p4 p2k 28 p22 p2k 22.可编辑资料 - -

24、- 欢迎下载精品_精品资料_12121 2当k0时,（ S ABN）min22 p2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） 假设满意条件的直线l 存在, 其方程为y=a,AC 的中点为O ,t与AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ 的中点为H,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 O HPQ, O 点的坐标为（x1 , y1p）O P 221 AC212x1 y12p2 122 .yp12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O Hay1p 21 2ayp ,

25、 2222PHO PO H=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 y 24p 2 142 a12y1p ap y122a pa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2PQ2 PH 2 = 4 ap y 2a pa) .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 ap 20 ,得 ap ,此时 PQ 2p 为定值,故满意条件的直线l 存在,其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程为 yp,即抛物线的通径

26、所在的直线.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222解法2：（）前同解法1,再由弦长公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB1kx1x21kx1x24x1x21k4 p k8 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 p 1k 2k 22. 又由点到直线的距离公式得d2 p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而, S1 dAB12 p 1k 2k 221k 22 p2 p 2k 22 ,当k0时,（ S）max22 p2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABN

27、221k2ABN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（） 假设满意条件的直线t 存在, 其方程为y=a ,就以 AC 为直径的圆的方程为x0 xx1 yp yy10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2将直线方程y=a 代入得就x1x1x2 a4apapay1 0,y1 4 ap y1 2a p设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P（ x ,y）,Q（ x,y ）,就

28、有 PQxx4 ap ya pa2ap ya pa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2244342121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 ap 20,得ap ,此时 PQ 2p 为定值,故满意条件的直线l 存在,其方程为yp.即抛物线的通径所在的直线.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型八：角度问题例题 8、（如图（ 21）图, M（ -2 , 0）和 N（ 2, 0）是平面上的两点,动点P满意：PMPN6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

29、精品资料_（）求点P的轨迹方程. （）如PM PN21cosMPN, 求点 P 的坐标 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N 为焦点,长轴长2a=6 的椭圆因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b=a222c25 ,所以椭圆的方程为xy1.95可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由PMPN2, 得1cos MPNPMPNcosMPNPMPN2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

30、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 为 c o sM P NMN1,P不 为 椭 圆 长 轴 顶 点 , 故P 、 M、 N 构 成 三 角 形 . 在 PMN中4,由余弦定理有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22MNPM2PN2PMPNcosMPN . 将代入,得4222PMPN2 PMPN2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2故点 P在以 M、N 为焦点,实轴长为23 的双曲线x3y21 上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 知,点P的坐标又满意xy21 ,所以由方程组5x29 y23 3245,x,解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_95x23 y23.5y.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 P 点坐标为 3 3 ,5 、（ 33 ,-5）、（ -335335,）或（,-）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222222问题九：四点共线问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料