2022年高中数学必修⑤《等差数列的前项和》教学设计.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课题：必修2.3 等差数列的前n 项和三维目标：1、 学问与技能（ 1）懂得等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程,并懂得推导此公式的方法倒序相加法,记忆公式的两种形式.（ 2）用方程思想熟悉等差数列前项和的公式,利用公式求.等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值.（ 3）会用等差数列的前n 项和公式解决一些简洁的与前n 项和有关的问题 .2、过程与方法（ 1）通过对历史出名的高斯求和的介绍,引导同学发觉等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与

2、末项的和这个规律,然后体验从特别到一般的争论方法.通过公式的探究、发觉,在学问发生、进展以及形成过程中培育同学观看、联想、归纳、分析、综合和规律推理的才能.（ 2）通过公式的推导过程,呈现数学中的对称美.通过有关内容在实际生活中的应用,使同学再一次感受数学源于生活,又服务于生活的有用性,引导同学要善于观看生活,从生活中发觉问 题,并运用数学学问和方法科学的解决问题.3、情态与价值观1 通过对数列学问的进一步学习,不断培育自主学习、合作沟通、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,提高参加意识和合作精神.（ 2）通过生动详细的现实问题,激发同学探究的爱好和欲望,树立同学求真的士气和自信

3、心,产生喜爱数学的情感,形成学数学、用数学的思维和意识,培育学好数学的信心,体验在学习中 获得胜利的成就感,为远大的志向而不懈奋斗.教学重点：等差数列前项和公式的推导和应用教学难点：公式推导的思路及综合运用教具： 多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推动教学法教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一、双基回眸科学导入： 前面,

4、我们学习了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,并运用这些学问解决了很多的实际问题,请同学们回忆一下学过的等差数列基本学问和性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 等差数列定义：即anan 1d n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 由三个数 a, A, b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列,这时, A 叫做 a 与 b 的等差中项 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 等差数列通项公式：a na1n1 d n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana mnmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 在等差数列中,如

5、 m + n= p + q就 等差数列在现实生活中比较常见,如：a ma na paq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_建筑工的上一堆圆木,从上到下每层的数目分别为1, 2 , 3,10 .问共有多少根圆木？因此等差数列求和就成为我们在实际生活中常常遇到的问题.如何用简便的方法了？当然,如是数少了,即使口算,也能快速得出如数多了了,比如： 1+2+3+100=？仍能不能快速算出了？在 200 多年前,历史上最宏大的数学家之一,被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了快速求出1+2+3+100 和的好戏.同学们或许都听说过这个故事,哪个同学来简洁的说一说高斯是怎样来运算的？答：当时,当

6、其他同学忙于把100 个数逐项相加时, 10 岁的高斯却用下面的方法快速算出了正确答案：（ 1+100）+（ 2+99）+（ 50+51）=10150=5050（数学王子,德国数学家高斯10岁的时候,有一次数学老师布特纳要求同学将前100个自然数加起来,即求1+2+3+100的和.老师刚说明完题目,高斯就把写有答案的石板交了上去,布特纳连看也没看,心想这个全班最小的同学准是瞎写了些什么,或者交了白卷,过了很久,其他同学才一个个把石板叠在上面,等到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 13 页 - - - - -

7、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -布特纳发觉只有高斯的石板上写着一个正确的答案而比他大的孩子都错了的时候,才大吃一惊,由于在这之前,他从未教过同学运算等差数列.那么高斯是怎样奇妙的算出结果的了？我们分析,可能是 高 斯 将 这100个 数 分 成50组 （ 1+100）,（ 2+99）,（ 3+98 ）,（ 50+51 ）,而每组两数之各都等于101 ,因此, 1+2+3+100=101 50=5050 . ）高斯的算法实际上解决了求等差数列1, 2, 3, n,前100 项的和的问题.

8、但这只是前100 项的和,我们想知道前n 项的和怎样求,更想知道有没有一个公式来表示.这就是我们今日要争论的问题二、 创设情境合作探究：【创设情境 】第一,我们依据高斯的算法,来运算一下1, 2,3, n ,的前 n 项的和：（同学分组争论,呈现做法） 有的同学可能直接依据高斯的算法：（ 1+n） +2+n-1+3+n-2+但不知道数的个数是偶数仍是奇数,不肯定能恰好都配成对. 有的同学可能依据上面解法存在的问题,对n进行分类讨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_论：加法.n为偶数：n为奇数： 最终沟通出正确方法：由1+2+ n-1+nn+n-1+2+1（n+1）+（ n+1）+（

9、 n+1） +（n+1）从而初步总结出推导等差数列前n 项和的一般方法： 倒序相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【合作探究 】 借此东风,引领同学合作沟通,推导出等差数列前n项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sna1a2an 1a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可 请 同 学 们 先 根 据1+2+n-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归

10、纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn11+n2来估计一下snna1a n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有的同学确定会估计出来：2然后勉励一下,在让同学分组合作沟通,推导出来用两种方法表示 sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sna1 a1d a12d a1n1 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把上式的次序反过来又可以写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sna na nd a n2sn2d a1an a n a1 nan 1d a1an 可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品_精品资料_由 +,得na1=n个a n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此得到等差数列 an sn的前 n 项和的公式n a12an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_什么：请同学们把把 a na1n1 d 代入 snna12a n 中,看能得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_snna1得：nn21 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】（ 1）对于第一个公式,我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了.对于其次个公式,只要知道等差数列首项、公差和项数就可以求等差数列前n项和了.实际解

12、题时可依据题目给出的已知条件选 择合适的公式来解决.（ 2）这两个公式除了“ 数” 的本质外,用 “ 形” 也可以直观的说明一下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -仍可用梯形面积公式来说明等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式 .（ 3） 除此之外,等差数列仍有其他方法（可对基础较好的同学要介绍）

13、当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径.例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 d2dn1d na1=12=n1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1=nn21 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

14、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、互动达标巩固所学：【自主达标 】1依据以下各题中的条件,求相应的等差数列和 Sn. a n 的前 n项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a14, a814.5, d18, n8o.7, a n32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：同学独立完成： （ 1） Sn=-88 ;2 604.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*2.求集合 M=m| m=2n - 1 .n N并求这些元素的和.,且 m 60的元素个数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差为 2答：由 2n 1

15、 60得 ： n 30.5所以共有 30 项 ,公这些元素的和为30 1 + 1530 2 = 930.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【互动达标 】（下面的全部问题,都先让同学合作探究、沟通一下）既然数列与实际生活有亲密关系,那么,第一来探究一个实际问题：问题 .12022 年 11 月 14 日训练部下发了关于在中学校实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程 的总目标：从起用 10年时间,在全市中学校建成不同标准的 校内网 .据测算,该市用于“校校通”工程的经费为500万元 .为了保证工程的顺当实施,方案每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从起的

16、将来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【分析】 对于应用问题,第一应认真阅读、审清题意.然后,抽象、提炼出相关数据,并分析出它们的本质关系,把实际问题转化为相应的数学问题【解析】 依据题意,从2022-20XX年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50 万元.所以,可以建立一个等差数列,表示从起各年投入的资金,其中a1500 ,d=50.那么,到 20XX 年（ n=10）,投入的资金总额为（万元）答：从202220XX年,该市在“校校通”工程中的总投入是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

17、6 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -7250 万元.【点评】 通过此题引领同学逐步依据以下步骤来进行： 先阅读题目. 引导同学提取有用的信息,构件等差数列模型. 写这个等差数列的首项和公差,并依据首项和公差挑选前n项和公式进行求解.可能显现的错误（也是数列的实际问题中常见的、典型的错误）： 懂得错题意,把前n 项和与最终一项混淆nsn 21 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题.2 已知数列 a n 的前 n 项为2,求这个数列的通

18、项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式 .这个数列是等差数列吗？假如是,它的首项与公差分别是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】 这是一个关于前n项和的逆向问题,想一想sn 与a n 的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系,然后列出sn与sn1 , 看到它们的关系,就会直接得到a n 了.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】根据可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与sn 1a1a2a n 1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2可知,当n1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

19、料_ansnsn 1n1 n n 21 21 n212n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=1时,也满意式.所以数列的通项公式为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 的等差数列.由此可知,数列是一个首项为,公差为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】（1）引领同学总结出已知前n项和,求通项公式的方法.（2）用这种数列的 来确定的方法对于任何数列都是可行的,而且仍要留意不肯定满意由求出的通项表达式,所以最终要验证首项是否满意已求出的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

20、第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -as1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）nsnsn1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【深化探究 】结合此例摸索课本45 页“探究”：一般的,假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个数列 a n 的前 n 项和为其中 p、q、r为常数,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 0,那么这个数列肯定是等差数列吗？假如是,它的首项与公差

21、分别是什么？引导分析得出： 观看等差数列两个前n 项和公式,和,公式本身就不含常数项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以得到：（1）假如一个数列前n项和 snr 不为 0,就这个数列肯定不是等差数列.pn2qnr的常数项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）假如一个数列前n 项和 sn0,就这个数列肯定是等差数列.2pnqnr 中常数项 r 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最终结论： 数列 an 是等差数列等价于snAn2Bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品_精品资料_问题.3 已知一个等差数列 an 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？【分析】最直接的思路是利用方程思想 ： 将已知条件代入等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列前 n项和的公式后,可得到两个关于a1 与 d 的二元一次方程,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此可以求得a1 与 d ,从而得到所求前n 项和的公式 .【解析】解：由题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

23、_精品资料_知,将它们代入公式得到解这个关于与 d 的方程组,得到=4, d=6,所以【引领同学探讨其他解法】 总结出解决数列基本问题的几种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -常用的思想方法：【另法一】得所以- , 得,所以代入得：所以有【另法二 】由问题.2的探究知等差数列的前n项和可表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n

24、sAn 2Bn利用待定系数法可求出结果（在这里,也可看成是运用了可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数思想 ）再通过以下的变式探究出解决数列问题常用的整体思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知一个等差数列1220.求前 30 项的和 an 前 10 项的和是 310,前 20 项的和是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】 除了引领同学用刚学过的方程思想 与函数思想 来解决外,再引导同学合作探究用整体思想 来解决【解析】 由等差数列的性质,不难推得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a 2数列a10、a11a12a20、 a

25、2 1a 22a30成等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有（2 s20s10 s10s30s20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得：前 30 项的和为 2730 .【点评】 上述方法没有列出方程求出详细的个别量,而是恰当的运用了数学中的整体思想来快速求出的,要留意体会这种思想在数学中的运用（实际上,换元法表达的也是整体思想） .下面再给出一个题目表达一下在等差数列中整体思想的广泛运用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在一个等差数列 an 中,已知a1010,求s19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_引领学生合作探究出：可

26、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s1919a12a19 19 a102a10 19a101910190可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而进一步体会一下 整体思想 所反映的数学本质.小结： 设计上述几个问题的目的：一是为了表达解决数列问题常用的三种思想方法：方程思想整体思想函数

27、思想 （可连续用问题4 来表达）二是为了呈现数列在实际中的应用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题.4 已知等差数列5,42 ,3 4 ,77可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的前 n 项和为,求使得最大的序号 n 的值 .【 分 析 】 等 差 数 列 的 前n项 和 公 式 可 以 写 成, 所以可以看成函数当 x=n 时的函数值 .另一方面,简洁知道关于 n 的图象是一条抛物线上的一些点 .因此,我们可以利用二次函数来求n 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 由题意知,等差数列5,4 27,3 4 ,75的公差为7 ,所以可编

28、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sn5nnn21 5 7155 n141522112556可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最大值 .于是,当 n 取与 2最接近的整数即7 或 8 时,取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】 通过此题同学们会进一步感受到函数思想 的广泛运用,此题仍可运用以下的方法：因数列是递减的等差数列,所以只要找到正项与负项的分界处即可：解 a n0且a n 10四、思悟小结：学问线：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - -

29、 - -第 10 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）等差数列前项和的定义.（ 2）等差数列前项和公式.（ 3）相关的等差数列的性质.思想方法线：（ 1）待定系数法.（ 2）方程思想.（ 3）整体思想.（ 4）函数思想.题目线：（ 1）利用等差数列的通项公式、前项和公式解决关于前项和的基本问题.（2）利用等差数列的通项公式、前项和公式解决上述问题的逆向问题.（3）实际问题.（4）相关的综合问题.如：最值问题等等.五、针对训练巩固提高：一、挑选题：

30、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知数列（）an的通项公式为 an23n ,就an的前 n 项和Sn 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 n2n3 n2n3 n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 223 n2nB 22C 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知等差数列an, a150 , d2 , Sn0 ,就 n 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 48B 49C 50D 51可编辑资

31、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、在等差数列an中,如 a4a612 ,Sn 是数列an的前 n 项和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 S9 的值为（）A 48B 54C 60D 66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、设Sn 是等差数列a5an的前 n 项和

32、,如 a35S99 ,就 S5（）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 1C 2D 2二、填空题：5（ 1）正整数前 n 个偶数的和.（2）正整数前 n 个奇数的和.（3）在三位整数的集合中有个数是5 的倍数,它们的和为.（ 4 ） 在 正 整 数 集 合 中 有个 三 位 数 , 它 们 的 和为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 数 列an的 前 n 项 和 Sn2n 2n1 , 就 它 的 通 项 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是.7依据以下条件,求相应的等差数列an的有关未知数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

33、料_（1） a120, a n54, sn999, 就d.n=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d21 , n337, sn629, 就a1 =. a n =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a5 , d1 , s5,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n（ 3）66n =. an =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） d2, n15, a n10,就a1 =. sn =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8如一个等差数列前3 项的和为 34 ,最终 3 项的和为 146 ,且全部项的和为 390 ,就这个数

34、列有 项三、解答题：9一个多边形的周长等于158cm,全部各边的长成等差数列,最大边的长等于44cm,公差等于 3cm,求多边形的边数.10在小于 100 的正整数中共有多少个数被7 除余 2？这些数的和是多少？11有两个等差数列2, 6,10, 190 及 2,8, 14, 200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的次序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -12一家冷饮厂每个月都要对一种大型冰激凌机进行修理.修理人员发觉,修理费用与时间有以下的关系：第n个月花费修理费2（ n 1） + 500 元.这种冰激凌机的售价为50 万元,使用 5 年后报废.那么,这台冰激凌机从投入使用到报废,每天的平均消耗是多少（一年按 365 天计,结果保留3 位有效数字）？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载