2022年高中排列组合知识点汇总及典型例题3 .docx

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1、一基本原理 1加法原理：做一件事有 2乘法原理：做一件事分_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - n 类方法,就完成这件事的方法数等于各类方法数相加；n 步完成,就完成这件事的方法数等于各步方法数相乘；注：做一件事时,元素或位置答应重复使用,求方法数经常用基本原理求解；二 排 列 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 , 任 取m（ m n） 个 元 素 , 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为Am.n1.n ；n1. 公式： 1.m A nnn1n2nm1nn .m2.规定： 0.11n.nn1.,n1n .n1

2、.2 nn.n11n.n1n.n.3nn1.nn1 1n1n11.1n11.1.n1.n .n 个不同的 m 元素三组合：从 n 个不同元素中任取m（mn）个元素并组成一组,叫做从中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn ； 1. 公式：CmAmn n1 nm1n.规定：C01nnmnAm.m nm.m2. 组合数性质：CmCnm,CmCm1Cm1,C0C1Cn2nnnnnnnnnCr1；注：CrCr1Cr2LCr1CrCr1Cr1Cr2LCr1CrCr1Cr2LCr1Crrrrnnr1rrnnr2rnnn1如Cm 1nCm2就m =m2 或m +m2n明确要完成的是一件什么事 （审题）有序仍是

3、无序n四处理排列组合应用题 1.分步仍是分类；2解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法： 对有限制条件的问题, 先从总体考虑, 再把不符合条件的全部情形去掉；这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法；（2）分类处理：当问题总体不好解决时,常分成如干类,再由分类计数原理得出结论；留意：分类不重复不遗漏；即：每两类的交集为空集,全部各类的并集为全集；（3）分步处理：与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,经常分成如干步,再由分步计 数原懂得决；在处理排列组合问题时,经常既要分类,又要分步；其原就是先分类,后分步；（4）两种途径：元素分析法；位置分析法；3排列应用题：（1）穷举法

4、（列举法）：将全部满意题设条件的排列与组合逐一列举出来； 2、特别元素优先考虑、特别位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“ 捆绑” 起来,看作一“ 大” 元素与其 余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列；（4）、全不相邻问题,插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特别位置时可采纳插空 法. 即先支配好没有限制条件的元素, 然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端 的间隙之间插入；（5）、次序肯定,除法处理；先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按肯定的次序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元

5、素的全排列数；即先全排,再除以定序元素的全排列；_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 6 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参与排列,先对其他元素进行排列, 剩余的几个位置放定序的元素, 如定序元素要求从左到右或从右到左排列,就只有 1 种排法；如不要求, 就 有 2 种排法；（6）“ 小团体” 排列问题采纳先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“ 小团体” 时,可先将“ 小团体” 看作一个元素与其余元素排列,最终再进行“ 小团体” 内部的排列；（7）分排问题用“ 直排法” 把元素排成几排的问题,可归纳

6、为一排考虑,再分段处理；（8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特点：末位数是偶数；不能被2 整除的数的特点：末位数是奇数；能被 3 整除的数的特点：各位数字之和是3 的倍数；4 整除的数的特点：末两位是4能被 9 整除的数的特点：各位数字之和是9 的倍数能被的倍数；能被 5 整除的数的特点：末位数是0 或 5；能被 6 整除的数的特点：各位能被 25 整除的数的特点：末两位数是25,50,75；数字之和是 3 的倍数的偶数；4组合应用题：（ 1）. “ 至少” “ 至多” 问题用间接排除法或分类法: （2） “ 含” 与“ 不含”用间接排除法或分类法 : 3分组问题：匀称

7、分组：分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘；即除法处理；非匀称分组：分步取,得组合数相乘；即组合处理；混合分组：分步取,得组合数相乘,再除以匀称分组的组数的阶乘；4安排问题：定额安排：（指定到详细位置）即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘；随机安排：（不指定到详细位置） 即不固定位置但固定人数, 先分组再排列, 先组合分堆后排,留意平均分堆除以匀称分组组数的阶乘；5隔板法：不行辨论的球即相同元素分组问题 例 1. 电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告, 要求首 尾必需播放公益广告,就共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 例 3.6 人排成

8、一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法？例. 有 4 个男生, 3 个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到 高排列,有多少种排法？1. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,就不同的取法共有2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参与辩论竞赛 （1）假如 4 人中男生和女生各选 2 人,有 种选法； （2）假如男生中的甲与女生中的乙必需在内,有 种选法；（3）假如男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法；（4）假如 4 人中必需 既有男生又有女生,有 种选法16 个人分乘两辆不同的汽车,每辆

9、车最多坐 4 人,就不同的乘车方法数为 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 6 页_归纳总结汇总_ A40 B50 C60 - - - - - - - - - D70 2有 6 个座位连成一排,现有3 人就坐,就恰有两个空座位相邻的不同坐法有A36 种B48 种 C 72 种D96 种3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必需同时使用,且同一数字不能相邻显现,这样的四位数有 18 个D36 个A6 个B9 个 C4男女同学共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中女生有 3 人 D4 人A2 人或 3 人 B

10、3 人或 4 人 C5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级,上楼可以一步上一级, 也可以一步上两级, 如规定从二楼到三楼用 8 步走完,就方法有 A45 种 B36 种 C28 种 D25 种6某公司聘请来 8 名员工,平均安排给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,就不同的安排方案共有 A24 种 B36 种 C 38 种 D108 种7已知集合 A5 ,B1,2 ,C1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,就确定的不同点的个数为 8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5

11、 相邻的六位偶数的个数是 A72 B96 C108 D144 9假如在一周内 周一至周日 支配三所学校的同学参观某展览馆,每天最多只支配一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的支配方法有 A50 种 B60 种 C 120 种 D210 种10支配 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天, 其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的支配方法共有_种 用数字作答 11今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有 _ 种不同的排法 用数字作答 12将 6 位理想者分成 4 组,其中两

12、个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的安排方案有_种 用数字作答 第 3 页,共 6 页_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中如每个信封放2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,就不同的方法共有（A）12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种15. 某单位支配 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,如 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10 月 1 日,丁不排在

13、10 月 7 日,就不同的支配方案共有A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2 号或 6、7 号 共有22 A 2A14 A 4种方法4甲乙排中间 , 丙排 7 号或不排 7 号,共有42 A 2A41 A 31 A 33 A 3种方法4故共有 1008 种不同的排法排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类方法相互独立每类方法又有多种不同的方法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法2,排列排列定义：从n 个不同元素中,任取m（mn）个元素（被取出的元素各

14、不相同）,根据肯定的次序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列；排列数定义；从n 个不同元素中,任取m（mn）个元素的全部排列的个数m A n公式A=nn.规定 0；=1 m .3,组合组合定义从 n 个不同元素中,任取m（mn）个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合组合数从 n 个不同元素中,任取m1m（mn）个元素的全部组合个数Cm第 4 页,共 6 页nm C=n.m .m n性质C=Cn mCm1CmCnnnn_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 排列组合题型总结一直接法 1 . 特别元素法

15、 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满意以下条件的四位数 各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位,数字 6 不在千位；Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数？Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必需全排在一起 有多少种排法（捆绑法）（2）女生必需全分开（插空法 须排的元素必需相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）假如三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二插空法当需排元素中有

16、不能相邻的元素时,宜用插空法；例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,暂时插入两个唱歌节目,且保持原节目次序,有多少中插入方法？捆绑法 当需排元素中有必需相邻的元素时,宜用捆绑法；1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,如使每个盒子不空,就不同的放法有 种,2 ,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的同学参观, 但每天只能支配一所学校, 其中有一所学校人数较多,要支配连续参观 2 天,其余只参观一天,就植物园 30 天内不同的支配方法有（C129 A1928）（留意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 C 其余的就是 19 所学校选 28 天

17、进行排列）_精品资料_ 第 5 页,共 6 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三阁板法名额安排或相同物品的安排问题,相宜采阁板用法例 5 某校预备组建一个由 12 人组成篮球队, 这 12 个人由 8 个班的同学组成, 每班至少一 人,名额安排方案共 种 ；五 平均分推问题 eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发？（1）平均分成三堆,（2）平均分给甲乙丙三人（3）一堆一本,一堆两本,一对三本（4）甲得一本,乙得两本,丙得三本（一种分组对应一种方案）（5）一人的一本,一人的两本,一人的三本_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 6 页