2022年高中数学数列讲义总结.docx

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1、精品_精品资料_高中数学数列讲义总结数列概念学问清单1数列的概念（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an,在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项）,在其次个位置的叫第2 项, ,序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an. 数列的一般形式： a1,a2, a3, , an, ,简记作（ 2）通项公式的定义：假如数列an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.例如,数列的通项公式是an= n （ nn 1 数列的通项公式是 an= （ nn 说明：an 表示数列中的第n 项, an= f通

2、项公式. 1 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯一.例如, an= 不是每个数列都有通项公式.例如,1,1.4 ,1.41 , 1.414 ,（ 3）数列的函数特点与图象表示： 序号： 1 2 3 4 5 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项 ： 4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射.从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N的函数 fn当自变量 n 从 1 开头依次取值时对应的一系列函数值f1,f2,f3, fn, 通常用 an 来代 n 替 f群孤立点.（ 4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列

3、.按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列.（ 51 项（或前几项）,且任一项 an 与它的前一项 an公式就叫做这个数列的递推公式.n6） 数列an 的前 n 项和 Sn与通项 an 的关系： anS课前预习1依据数列前 4 项,写出它的通项公式：（ 1） 1, 3, 5,7, .222）,.23451111（ 3 3*41*22*34*5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n22an3（ 1）写出 a10, anan2. 2（ 2） 79 是否是数列中的项？如是,是第几项？ 33如图 , 在第一2秒内它从原点运动到点B10,1,接着按图中箭

4、头所示方向在x 轴、 y 轴及其平行方向上运动,且每秒移动一个单位长度.（ 1）设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时,所经过的时间分别为 an、bn、cn,试写出 an 、bn 、cn 的通相公式. （ 2）求粒子从原点运动到点 P16,44 时所需的时间.（ 3）粒子从原点开头运动,求经过2022 秒后,它所处的坐标2an4（ 1a1an通项公式.an（ 2bn构造新数列bn5 项.5. 设平面内有 n 条直线 n意三条直线不过同一点如用fn表示这 n 条直线交点的个数,就f4=.当 n时, fn（用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 表示）.6. 在某报自测健康状况的报道中

5、,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 . 观看表中数据的特点,用适当的数填入表中空白（ ） 内.等差数列学问清单1、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为anan2、等差数列的通项公式： ann3说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性： d为递增数列,d为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列, d3、等差中项的概念：a定义：假如 a,A,b 成等差数列,那么 A叫做 a 与 b 的等差中项.其中 Aaa , A,bna1n 和

6、的求和公式： Sn225、等差数列的性质：（ 12 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项.（ 2AP,如： a1, a3, a5, a7, . a3, a8, a13,a18, .（ 3m, nandn（ 4m, n,p,qmam说明：设数列 an 是等差数列,且公差为d,（）如项数为偶数,设共有2n 项,就S S 奇aS 偶 anS 奇 nS 偶 n2n项,就S 偶中.6、数列最值（ 1） a1d时, Sn 有最大值. a1d时, Sn 有最小值.（ 2） Sn最值的求法：如已知Sn,可用二次函数最值的求法（ nan,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 Sn 最值时 n 的值（

7、 na课前预习1. 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 Sn=n2,就 an 是（ ） A. 等比数列,但不是等差数列 B. 等差数列,但不是等比数列C. 等差数列,而且也是等比数列 D. 既非等比数列又非等差数列a1a2a3aa1a1 1）A 120 B 105 C90 D 753. 如一个等差数列前 3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为 390,就这个数列有（）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项4. 设数列 an 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48, 就它的首项是（） A.1 B.2 C.4 D.6 5（ 06 全国

8、II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如 A S3S1,就 6 S12S6343111B C D 389106（ 00 全国）设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S7 7,S15 75, Tn为数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn的前 n 项和,求 Tn. n7（ 98 全国）已知数列 bn是等差数列, b1=1,b1+b2+,+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn. （）设数列 an的通项 an=lg （ 1+ 11）,记 Sn 是数列 an的前 n 项和,试比较 Sn 与 lgbn+1bn2的大小,并证明你的结论.8（ 02

9、 上海）设 an（ nN*）是等差数列, Sn 是其前 n 项的和, 且 S5 S6, S6 S7 S8,就以下结论错误选项（） A.d 0 B.a7 0C.S9 S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 9 （ 94 全国）等差数列 an 的前m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前 3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260等比数列 5学问清单1等比数列定义一般的,假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个an常用字母 q 表示 q1an1）（ 2）（ 3）都是等比数列,它们的公比依次是 2,52可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品_精品资料_“从其次项起”、“常数” q、等比数列的公比和项都不为零） 2等比数列通项公式为： an说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d时该数列既是等比数列也是等差数a 列.（ 2）等比数列的通项公式知：如an 为等比数列,就m an3等比中项假如在 a 与 b 中间插入一个数G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G叫做 a与 b 的等比中项（两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项）.4等比数列前 n 项和公式一般的,设等比数列 a1,a2,a3,n 项和是Snq时,a11Snq=1 时, Sn法）. 1说明：（ 1） a1,q,n,Sn 和 a1,an,q,Sn 各已知

11、三个可求第四个.（ 2） 留意求和公式中是 qn,通项公式中是 qn 不要混淆.（ 3）应用求和公式时 qq 的情形.5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：假如ann 项, am是等差数列的第m项,且 man可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是： a1n an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2是其前 n 项的和, kSk, S2kS3k列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如下图所示：S3k3SkS2k课前预习a41,a7a192 2和 2 的等比中项为 . A1 B3a2a5a8,4,a1 和 a10 是方程 2x2的两个根 , 就AB2

12、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 D125.a1a9a10a18.6,a1n 项和为 Sn,等比数列,就 Sn 等于（A 2n3n C 2n D 3n7设A 2 78nfn2fn等于（ ）78n2278n78n8. 设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3S6 2S9,求数列的公比 q.9. 在各项都为正数的等比数列an 中,首项 a1 3,前三项和为 21, 就 a3 a4 a5（ A） 33 （ B）72 （C）84 （ D） 1896 ） ）09 级高三数学总复习讲义数列通项与求和7学问清单1数列求通项与和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）数

13、列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式： an=n（ 2）求通项常用方法作新数列法.作等差数列与等比数列.累差叠加法.最基本的形式是：an=an an1+an 1+an 2+,+a2 a1+a1 .归纳、猜想法.（ 3）数列前 n 项和1重要公式： 1+2+,+n=nn+1 . 2112+22+,+n2=nn+12n+1. 6113+23+,+n3=1+2+,+n2=n2n+12 . 4等差数列中, Sm+n=Sm+Sn+m.nd等比数列中, Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qm.Sn裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=fn+1 fn,然后累加抵消掉中间的很多项,这种先裂后

14、消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和,需要把握一些常见的裂项,如：an=、nn；=n+1. n. 、AnBAnn11=等. n1r 1=CnrCn 1r 、错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和,常用错项相消法. an记 SnqSn并项求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn.数列求通项及和的方法多种多样,要视详细情形选用合适方法.通项分解法： an 2递归数列数列的连续如干项满意的等量关系an+k=fan+k 1,an+k 2,an称为数列的递归关系.由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列.如

15、由 an+1=2an+1,及 a1=1,确定的数列 2n递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（ 1）归纳、猜想、数学归纳法证明.（ 2）迭代法.（ 3）代换法.包括代数代换,对数代数,三角代数.（ 4）作新数列法.最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题.课前预习1 0,首项也不为 0,求和：aiai111113a3, , nan, 的前n 项和.2 求1a 为常数,求数列a,2a,4已知 a令 bna,公比也为 a 的等比数列, n 项和 Sn.12n5求S.6d,且首项为a0的等差数列,01n求和： Sn7求数列1,3+5, 7+9+11,13+15+17+19, 前 n 项和.可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题一、有关通项问题1、利用 an求通项2EG：数列 an 的前 n 项和 Sn1）试写出数列的前 5 项.（ 2）数列 an 是等差数列吗？（ 3） 你能写出数列 an 的通项公式吗？变式题 1、（ 2022 湖北卷）设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2,求数列an 的通项公式.变式题 2、（ 2022 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,ana4 的值及数列 an 的通项公式* 变式题 3、（ 2022a1n 项和为Sn,且 Sn1Sn, n=1, 2,3, ,求 a2, a3, 32、解方程求通项： n8121

17、65883 已知 a3, 求 S17.变式题 1、an 是首项 a1d的等差数列,假如ann 等于（ A） 667 （ B） 668 （C） 669 （ D） 670 3 、待定系数求通项：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,an*变式题 1、（ 2022a1EG5 项：（ 1）a14、由前几项猜想通项：EG：依据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式.（ 1）（ 4）（ 7）（ ）（ ）变式题 1、（ 2022 年深圳理科一模）如下图,第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来,第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来, , ,如此类推

18、. 设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为an, 就 a61111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.a3a4a5a99可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式题 2、观看以下各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交,交点的个数最多是（）,其通项公式为 .A 40 个 B 45 个 C50 个 D 55 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 条直线相交,最多有 1 个交点3 条直线相交,最多有 3 个交点4 条直线相交,最多有 6 个交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、有关等差、等比数列性质问题EG：一个等比数列前 n

19、 项的和为 48,前 2n 项的和为 60,就前 3n 项的和为（ ）A 83 B 108 C 75 D 63变式 1、一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2n 项的和为 60,就前 3n项的和为 . 变式2、（江苏版第76页习题1）等比数列 an 的各项为正数,且a5a6log3a1）A 12 B 10 C 8 D2+log35EG：设数列 an 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,就它的首项是（）A 1 B.2 C.4 D.8变式题 1、在各项都为正数的等比数列an 中,首项 a1为 21,就 a3A 33 B 72 C 84 D 189三、数列求和问题EG：已

20、知 an 是等差数列,其中 a1d1）求数列an 的通项公式,并作出它的图像.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）数列 an 从哪一项开头小于 0？（ 3）求数列 an 前 n 项和的最大值,并求出对应n 的值 变式题 1、已知 an 是各项不为零的等差数列, 其中 a1dS10an 前 n 项和的最大值变式题 2、在等差数列an 中, a1S17Sn的最大值 EG：求和： Snbnx变式题 1、已知数列 an和2nan2ccn 的前 n 项和 Tn n bn4n变式题 2、（ 2022 全国 1 文 21）设 an 是等差数列, bn 是各项都为正数的等比数列,且 a1a

21、3a5an ,bn 的通项公式.（）求数n 项和 Sn变式题 2设等比数列 an 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,如 Sn+1,Sn, Sn+2成等差数列,就 q 的值为 .3、利用等比数列的前 n 项和公式证明 EG： a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b n b n ana n nn 项和 SnEG：（ 1）已知数列 an 的通项公式为 an 1,求前 n 项的和.（ 2）已知数列 an 的通项公式为nn ann 项的和变式题 1、已知数列 an 的通项公式为 an 111n,设 TnTn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1变式题 2、数列 an

22、中, a18,a42,且满意： an+22an+1an0（nN*）, （）求数列 an 的通项公式. （）设 bn 1nSnm,使得任意的 n 均有n12Sn m总成立？如存在,求出m.如不存在,请说明理由32实战训练 A1（ 07 重庆文）在等比数列 an 中, a2 8, a1 64,就公比 q 为（ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 82（ 07 重庆理）如等差数列 an 的前三项和 S3且 a1a2 等于（ ） A 3 B.4 C. 5 D. 63设an 为公比 q1 的等比数列,如 a2022 和 a2022 是方程4x28x的两根,就a20224（ 07d 不为 0,

23、 a1ak 是a1 与 a2k 的等比中项,就 k） 2 4 6 82可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ann25 d 是 2,前 n 项的和为 Sn,就 limn6等差数列 an 中, a1=1,a3+a5=14 ,其前 n 项和 Sn=100, 就 n= A9 B10 C11 D12 5.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,如S2S6 等于（ A） 12（ B） 18（ C） 24（ D） 426（全国 2 文）已知数列的通项 ann 项和 Sn7（ 07 全国 1n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_132 3

24、9已知 a, b, c, d 成等比数列,且曲线 y的顶点是 b , c ,就 ad 等于（ ） 3 2 110a45 项和 S5差 d07 辽宁理）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,如 S3 S66,就 a7） A 63B 45C 36D 27 1,就 a36912（ 07p,qapa1B1（ 07n 项和为 Sn,如 S12就 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,就该数列的前10 项和为 82（ 07 湖南文）在等比数列 an （ na1a4）1A 2 21 221 1021 112B 2223（ 07 湖北理）已知两个等差数列an 和bn 的前 n 项和分别为

25、 An和 Bn,且an为整数的正整数n 的个数是（） bn An7nBnn就使得 A 2B 3 C 4 D 54（ 07 广东理）已知数列 an 的前 n 项和 Snk 项满意5k9 B 8 C. 7 D 65（ 07 广东文）已知数列 an 的前 n 项和 Snan项满意 5kan 的前 n 项和为 Sn,如an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5B 61,就 S5 等于（ ）nn1C6D 1 307a4a2等于（ ） 4 8 16 322, 39n 项和Sn10（ 07n 项和为 Sx 如 a2S4（ A） 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ B） 10（ C） 8（ D） 611（ 07 辽宁文）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,如 S3 S6a7） A 63B 45C 36D 2712a1anc 是常数,的等比数列（ I ）求 c 的值.（ IIn1, 2, 3a1,a2,a3 成公比不为 1可编辑资料 - - - 欢迎下载