2022年高中数学知识点易错点梳理八解析几何.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点高中数学学问点易错点梳理八解析几何第 18 题（解几综合题） 从平几中寻突破到解几中找关系解析几何：近几年江苏高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：1、求曲线方程, 适当关注点的轨迹问题,特别是一些依据定义求解的简洁问题.2、位置问题 含切线问题 . 3、定点定值问题、最值问题. 4、 范畴问题 ,以上这些问题由于综合性较强,所 以备受高考命题者的青睐,常用来考察同学在数形结合、等价转化、分类争论、规律推理等 方面的才能解析几何复习中要以直线和圆、圆锥曲线的标准方程为重点,要重

2、视表达解 析几何基本思想的问题的学习,重视以椭圆为背景的圆的问题的学习另外, 解析几何的运算量很大, 忌讳不利用定义、图形的几何特点瞎算18.1 、圆锥曲线中的精要结论：22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221.焦半径： 1椭圆 xyab右“-”）.1ab0 ：PF1aex0 ,PF2aex0. （左 “ +”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_02抛物线：PFxp2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.弦长公式：AB1k 2xx1k2 xx 24x1 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

3、料_121211yyk 22111k 2 y1y 24 y1 y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2【注】： 1 焦点弦长： i 椭圆：| AB |2a2 pe x1x2 .2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii 抛物线：AB x1x2ii 抛物线：2 p .p2sin. 2 通径（最短弦） ： i 椭圆、双曲线：.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny21（ m, n 同时大于0 时表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆, mn0 时表示双曲线） .可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品_精品资料_4.椭圆中的结论：1 内接矩形最大面积：2ab .2 P,Q 为椭圆上任意两点,且OPOQ ,就11112222.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 椭圆焦点三角形：2SbtanPF 1F2,（2| OP | OQ |abF1 PF2 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 当点 P 与椭圆短轴顶点重合时F1 PF2 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25 共离心率的椭圆系的方程：椭圆 xa22y1ab b 20 的离心率是ec c aa 2b 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2方程a 2

5、b 2tt 是大于 0 的参数, ab0 的离心率也是ec ,我们称此方程为共a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率的椭圆系方程5.双曲线中的结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221 双曲线 xay（ a212bb0, b0 ）的渐近线：xy.22022abx 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 共渐近线yx 的双曲线标准方程为aa 2b 2为参数,0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 -

6、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 双曲线焦点三角形：S PF 1F 2b cot,（22F1 PF2 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 等轴双曲线： 双曲线 x 2y 2a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx 渐近线互可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相垂直 ,离心率 e2 x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品_精品资料_5 共渐近线的双曲线系方程：a 2b 20 的渐近线方程为a 2b 20 假如双曲线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_渐近线为xay0 时,它的双曲线方程可设为 bx2y 2a2b 20 6双曲线一个焦点到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一条渐近线的距离等于b6.抛物线中的结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 抛物线y2 px p0 的焦点弦 AB 性质：22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i x1 x 2线相切.p. y yp 2124.ii 1| AF |1| BF |2.iii 以 AB 为

8、直径的圆与准pp 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iv 以 AF （或 BF ）为直径的圆与y 轴相切. v S AOB.2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 抛物线y 22 px p0 内结直角三角形OAB 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i x1 x24P 2 , y y4P 2 .ii l恒过定点2 p,0.iii A, B 中点轨迹方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1AB2y2iv p xOM2 p .2AB ,就 M 轨迹方程为：xp2y 2AOBminp 2 . v S4 p 2.可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品_精品资料_3 抛物线y2 px p0 ,对称轴上肯定点Aa,0 ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 当 0a p 时,顶点到点A 距离最小,最小值为a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii 当 ap 时,抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小,最小值为2app 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18.2 、两个常见的曲线系方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1过曲线f1x,y0 , f2x, y0的交点的曲线系方程是22f1x, yf2 x, y0为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_2共焦点的有心圆锥曲线系方程xy1 ,其中 kmax a 2 , b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2kb2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22当 kmin a ,b 时,表示椭圆.当min a2 ,b2kmax a2 , b2 时,表示双曲线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18. 3、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）.在ABC 中,给出ADABAC,就 AD 是ABC 中 BC 边的中线.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）给出P

11、MPN0 ,即已知 P 是 MN 的中点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）给出以下情形之一：AB | AC .存在实数, 使ABAC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如存在实数, 且1, , 使 OCOAOB等于已知A, B, C 三点共线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）给出MAMB0 ,等于已知 MAMB ,即AMB 是直角,给出MAMBm0 ,等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

12、品_精品资料_于已知AMB 是钝角,给出MAMBm0 ,等于已知AMB 是锐角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） 给出MAMBMAMBMP,等于已知MP 是AMB 的平分线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）在平行四边形ABCD 中,给出 ABAD ABAD 0 ,等于已知ABCD 是菱形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7）在平行四边形ABCD 中,给出 |ABAD| | ABAD| ,等于已知ABCD 是矩形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_（ 8）在ABC 中,给出 OPOAABAC R ,就 AP 通过ABC 的内心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB | AC |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点18.4 、解题规律盘点1、交点直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立,当二次项系数不为0 时,可编辑

14、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x1x2x1 x2, xmyb 与二次曲线联立,0y1y2.y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立,直线与二次曲线有一个公共点：二次项系数不等于00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l抛物线直线 l二次项系数为0,表示平行于渐近线的两条直线.二次项系数为0, =0双曲线二次项系数为0,表示平行于对称轴的一条直线.二次曲线不为0, =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2定点处理思路. 3设参数方程.椭圆22x 2y

15、2222a b1 ab 0 的参数方程是：x a cosy b sin 为参数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、直线圆 xa xbr的参数方程：x ary brcos sin 为参数）以简化运算 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设直线方程分斜率k 存在、 k 不存在两种情形争论假如什么信息也没有：争论斜率不存在情形,当斜率存在时,往往设为斜截式：ykxb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_巧设直线方程x x0k yy0 回避争论及运算等问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线过定点 x0 , y0 时,如设成y y0

16、k xx0 有时会显现以下情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(i) 简洁忽视斜率不存在的情形.ii 运算较繁,有时仍会陷入僵局.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 过 x 轴上一点 m,03 两解问题：的直线一般设为xtym 可以防止对斜率是否存在的争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截得平行线的弦长是定值3、角圆外一点引切线（斜率圆 外 一 点 引 两 条 长不存在）度相等的割线,割线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 余弦定理 ;2向量的夹角公式4、直线与圆锥曲线1直线与圆锥

17、曲线问题解法：1.直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解.【运算规律】 ：直线与圆锥曲线位置关系运算程式【后话】 :联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解时,留意以下问题：联立的关于 “x ”仍是关于 “y ”的一元二次方程？二次项系数系数为0 的情形争论了吗？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？2.设而不求（点差法） 处理弦中点与直线斜率问题步骤如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22已知曲线 xy1 a,b0 ,设点A x , y 、 B x , y 中点为 M x , y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b211

18、2200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2b2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2作差得k AB. kAB kOM0 .对抛物线y2px p0 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2

19、a y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ppkAB.y1y2y 0【细节盘点 】*1. 用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,留意 用判别式、韦达定理、弦长公式.留意对参数分类争论和数形结合、设而不求思想的运用.留意 焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式.*2. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与“弦”相关, “平行弦 ”问题的 关键 是 “斜率 ”、“中点弦 ”问题 关键 是“韦达定理 ”或“小小直角三角形”或“点差法 ”、“长度 弦长 ”问题 关键是长度 弦长 公式或 “小小直角三角形”.*3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,涉及到“交点 ”时,转化为函数有解问题

20、.先 验证因所设直线斜率存在,造成交点漏解情形,接着 联立方程组, 然后 考虑消元建立关于x 的方程仍是y 的方程, 接着 争论方程二次项系数为零的情形,再对二次方程判别式进行分析,即0 时,直线与曲线相切,*4. 求解直线与圆锥曲线的“弦长 ”、“交点 ”问题时, 必要条件 （留意判别式失控情形）是他可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_们构成的方程组有实数解,当显现一元二次方程时,务必先 有“ 0 ”.求解直线与圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_锥曲线的其它问题时,如涉及到二次方程问题,必需优先 考虑 “二次项系数 ”与“判别式 ”问题 .*5. 解决直线与圆的关

21、系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用 如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等.*6. 韦达定理在解几中的应用：求弦长.判定曲线交点的个数.求弦中点坐标.求曲线的方程.2直线与圆锥曲线相交的弦长公式:AB xx 2 yy 21212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 AB1k 2 xx 24 xx | xx|1tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB |11k 2 y 2y 211 yk 21y 24 y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

22、料_12【 注 】： 弦 端 点A x1 , y1 , B x2 , y2 , 由 方 程ykxb F x, y0消 去y得 到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2bxc0 ,0 ,为 直 线 AB 的 倾 斜 角 , k 为 直 线 的 斜 率 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| xx|xx 24 x x.12121 23抛物线的切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线y22 px 上一点Px , y 处的切线方程是y yp xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 过 抛 物 线 y22 px00外 一 点Px, y

23、 00所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_002y0 ypxx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线y 22 px 与直线AxByC0 相切的条件是pB2AC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、几何定值、极值问题几何极值问题实际上就是以几何条件显现的极值问题,通常运用几何中的有关不 等式和定懂得决,有时运用“对角 ”变换及局部调整法,有时运用三角方法,如有关三角函数性质、 正弦定理、 三角形面积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何学问外,经常需要用如下

24、结论：周长肯定的三角形中,以正三角形的面积最大.周长肯定的矩形中,以正方形面积最大.面积肯定的三角形中,以正三角形的周长最小.周长肯定的平面曲线中,圆所围成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点的面积最大.在面积肯定的闭曲线中,圆的周长最小. 在边长分别相等的多边形中,以圆内接多边形的面积最大.在等周长的边形中,以圆内接多边形的

25、面积最大.在面积肯定的边形中,正边形的周长最小 .几何定值问题主要是争论和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素的和谐几何性质或位置保持不变等问题.常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（线段比、面积比） 、定积（面积、线段积）等.常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等.几何定值问题可以分为两类：一类是肯定的定值问题,即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所给图形的位置、大小、外形无关.另一类是相对定值问题,即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关,这种定值是随题设图形的位置、大小和外形的变化而转变的,因此, 只有相对的意义,也就

26、是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示 .解打算值问题常用的处理思路和方法：（ 1）利用综合法证明时,需要转变题目的形式,把一般定值题转化为特别情形,因此, 常作帮助图形. 其次要明确图形中哪些元素是固定元素,哪些量是定量, 分析问题时要环围着固定元素和定量进行,把定值固定在已知量上.（ 2）利用参数法证明时,要依据题设的条件,选取适当的参数,然后将所要证明的定值用参数表示出来,最终消去参数,便求得用常量表示的定值.（ 3）利用运算法证明时,通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来,再通过运算证明所求的式子的值为定值.（ 4）综合运用几何、代数、三角学问

27、证题.6、求轨迹方程的常用方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直接法：直接通过建立x 、 y 之间的关系,构成法.F x, y0 ,是求轨迹的最基本的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_待定系数法：可先依据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可 .代入法 相关点法或转移法.定义法：假如能够确定动点的轨迹满意某已知曲线的定义,就可由曲线的定义直接写出方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交轨法 参数法 ：当动点P x, y坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,可

28、考虑将x 、 y 均用一中间变量参数 表示,得参数方程,再消去参数得一般方程.7、定义解题椭圆：第肯定义：平面上一动点P 到平面上两个定点F1、F2的距离和为定值,且|PF1|+|PF2 |F1F2|,就 P 点轨迹为椭圆双曲线： |PF1|-|PF2|=定值 1：双曲线| PF | de （e0,1：椭圆. e =1：22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2022江 苏 卷18 ） 在平面 直角坐标系 xoy 中,已知圆C1 : x3y14 和 圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2 : x42y524 .可编

29、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）如直线 l 过点A4,0,且被圆C1 截得的弦长为23 ,求直线 l 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）设 P 为平面上的点,满意：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线l1 和 l2 ,它们分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与圆 C1 和圆C2 相交,且直线l1 被圆C1 截得的弦长与直线l2 被圆C2 截得的弦长相等,试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

30、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点求全部满意条件的点P 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y0 或 7 x24 y280 点 P 坐标为 3 ,13 或 5 ,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222（ 2022江苏卷18 ）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中

31、,如图,已知椭圆x2y21 的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F设过点 T（ t, m ）95可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的直线TA 、TB与椭圆分别交于点M x1 , y1 、 N x2 , y2 ,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m0, y10, y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）设动点 P 满意PF 2PB24 ,求点 P 的轨迹.（ P 的轨迹为直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9线 x）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）设 x12, x21,求点 T 的坐标.（ T 的坐标为37

32、, 10 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）设 t9 ,求证：直线MN 必过 x 轴上的肯定点（其坐标与m 无关）（直线 MN 必过 x轴上的点（ 1, 0）x2y 2（ 2022 江苏卷 18）如图,在平面直角坐标系xOy 中, M 、N 分别是椭圆1的顶42点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC ,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为ky（1）当直线PA 平分线段 MN ,求 k 的值.（ k2 ）2P（2）当 k=2 时,求点P 到直线 AB 的距离 d.（ d22 ）B3MCx（3）对任意k0 ,求证： PA PBAN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载