2022年高等数学教学教案无穷小的比较函数的连续性与间断点2.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.7无穷小的比较18函数的连续性与间断点授课次序 07教学基本指标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学课题1.7无穷小的比较1 8函数的连续性与间断点教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学等价无穷小的应用、分段函数连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教学重点等价无穷小、函数连续性教学难点同济高校编 高等数学 （第 6 版） 的判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考教材自编教材 高等数学习题课教程作业布置高等数学 标准化作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

2、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双语教学课堂教学目标教学过程无穷小： infinitesimal .函数： function .连续性： continuity .连续函数：continuous function.左连续： continuity from the left.间断点：discontinuity point1 明白高阶无穷小、等价无穷小的概念,把握应用等价无穷小求极限的方法2 把握函数连续性的判定3 明白间断点的类型及其判定1 无穷小的比较（45min）,着重介绍等价无穷小的概念及等价无穷小代换定理.2 连续性的概念（20min ）3 间断点（ 25min

3、）本节教学设计函数的连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1背景及引入方法函数的连续性, 在几何直观上看,就是函数的图形曲线没有间断. 与极限概念一样, 函数的连续概念也是微积分最基本概念之一. 函数的连续理论作为数学分析严格化的基本内容,其进展与完善同样经受了相当长的一段时间 .1817 年, 捷克数学家波尔查诺 Bolzano Bernard , 1781 一 1848 在他的名著 纯粹分析的证明中给出了函数连续性的现代定义方式.法国数学家柯西 Cauchy Augustin Louis,1789一 1857 是 19 世纪微积分严格化最有影响的先驱者, 其最大奉献就是在微

4、积分中引进了清楚和严格的表述与证明方法. 他在这方面有三部代表作: 分析教程 1821 年、无穷小分析教程概论 1823 年 和微分运算教程 1829 年 . 柯西在其著作中给出了函数的 连续性定义 : “设 fx是变量x 的函数 , 且设介于两个给定限之间的每个x 值,该函数总有一个唯独的有限值. 假如在这两个给定限之间有一个x 值, 当变量 x 获得一个无限小增量, 函数本身将增加一个差量f x+ 一 f x, 这个差同时依靠于新变量与原变量x 的值 .然后 , 假如对变量x 在两给定限之间的每个中间值, 差 f x+ 一 f x 的肯定值都随的无限减小而无限减小, 那么就说函数f x是变

5、量 x 在这两个限之间的连续函数. 换言之 , 假如在这两个限之间变量x 的每个无限小增量总产生函数fx本身的一个无限小增量,就函数f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x 在给定限之间关于x 保持连续. 进一步 , 我们说函数f x是变量 x 在 x 的某个特别值的邻域内的连续函数,假如它在包含该x 值的任意接近的两限之间连续.”被数学界誉为

6、 “现代分析之父”的德国数学家外尔斯特拉斯 Karl Weierstrass, 1815 一 1897 是微积分严格化的又一功臣. 他期望建立一种不依靠于直观的纯粹的算术化的微积分. 1861 年在其数学笔记中他首次使用“一 ”语言定义函数的连续性: “假如 f x是 x 的函数 ,且 x 是一个确定的值,就如 x 变至 x+h , 函数就会变至 f x+h , 差 f x+h - f x 称为该函数由自变量x 到 x+h 的转变所产生的转变量. 现在假如能对h 确定一个界限 , 使对其肯定值小于的全部h 值, f x+h - f x变得小于无论怎样小的任一量, 就称自变量的无穷小转变对应出函

7、数的无穷小转变. 由于假如一个量的肯定值能变得小于任意选取的无论怎样小的量,就我们说它能变为无穷小. 现在假如一个函数对自变量的无穷小变化, 总对应出函数的无穷小转变, 就称它为此自变量的连续函数 , 或称它随着此自变量连续的转变.”现在微积分教材中关于函数的连续性的“一 ”定义就是依据外尔斯特拉斯的“一 ”型定义稍加改写而成的 .连续函数具有很强的几何直观.因此讲授此学问点可以实行表达与几何相联系以及与函数的极限相比较的方法 . 重在懂得连续概念.2 常见错误分析常见的错误有1不能正确懂得不左、右 连续的含义 , 2 分段函数在段点情形, 3 将间断点的详细说法,如可去、无穷等与间断点的类型

8、相混淆.3.与其他学问点的关联可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它与以下学问点都有亲密联系.（ 1）函数的极限（ 2）函数在闭区间上的性质（ 3）函数的可导性.教学基本内容1 7无穷小的比较备注栏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看两个无穷小比值的极限lim x20lim 3xlimsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 3xx0 x2x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个无穷小比值的极限的各种不怜悯形反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度在 x0 的过程中x20 比 3x0“快些”反过来 3x0 比 x20“慢些”而

9、 sin x0 与 x0“快慢相仿”下面我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时来说明两个无穷小之间的比较定义设及 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 lim0就说是比高阶的无穷小记为o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 lim就说是比低阶的无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 limc0就说与是同阶无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - -

10、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 limkc0k0就说是关于的 k 阶无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 lim1就说与 是等价无穷小记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面举一些例子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1由于lim3x20所以当 x0 时 3x2 是比 x 高阶的无穷小即 3x2 ox x0可编辑资料 - - - 欢

11、迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2由于1limnn1n2所以当 n时1 是比n1 低阶的无穷小n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3由于lim x296所以当 x3 时x2 9 与 x 3 是同阶无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4由于lim 1cos x1所以当 x0 时 1 cos x 是关于 x 的二阶无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5由于limsin

12、x1所以当 x0 时 sin x 与 x 是等价无穷小即 sin x x x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x关于等价无穷小的有关定理定理 1与是等价无穷小的充分必要条件为o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明必要性设就 lim因此o即olim1) lim10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_充分性设o就limlimo lim 1o1因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6由于当 x0 时 sin xx tan xx 1cos x 1 x22所以当 x0 时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xx ox

13、 tan xx o x 1 cos x1 x22o x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 2设且 lim存在就 limlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明limlimlimlimlimlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理2 说明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此假如用来代替的无穷小选取得适当就可使运算简化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求 limtan2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sin 5x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解当 x0 时 t

14、an 2x 2xsin 5x 5 x所以limtan 2xlim 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求 limsin xx0 sin 5xx0 5x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 x33x解当 x0 时 sin xx无穷小 x3 3x 与它本身明显是等价的所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin xlimxlim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 x 33xx0 x23x0 x233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共

15、6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、函数的连续性1 8函数的连续性与间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变量的增量设变量 u 从它的一个初值u1 变到终值 u2终值与初值的差u2 u1 就叫做变量u 的增量记作u即uu2 u1设函数 y fx在点 x 0 的某一个邻域内是有定义的当自变量x 在这邻域内从x0 变到 x0x 时函数 y 相应的从fx0 变到 f x0x因此函数y 的对应增量为yfx

16、0xfx0 函数连续的定义设函数 y fx在点 x0 的某一个邻域内有定义假如当自变量的增量xx x0 趋于零时对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的函数的增量yfx0xf x0 也趋于零即limy0或 limf xf x0 那么就称函数y fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点 x0 处连续x0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 limylim f x0xf x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0设 x x0+x就当x0 时 xx0因此可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载精品_精品资料_limy0lim f xf x0 0limf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0xx0函数连续的等价定义2 设函数 yfx在点 x0 的某一个邻域内有定义假如对于任意给定义的正数总存在着正数使得对于适合不等式|x x0|的一切 x对应的函数值f x都满意不等式|fx fx0|那么就称函数y fx在点 x 0 处连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左右连续性假如limxx0f xf x0就称 y fx在点x0 处左连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如limxx

18、0f xf x0就称 y f x在点x 0 处右连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左右连续与连续的关系函数 y fx在点 x0 处连续函数 y f x在点 x0 处左连续且右连续函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续假如区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1假如 fx是多项式函数就函数 fx 在区间 内是连续的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于fx 在内任意一点x0 处有定义且limPxPx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2 函数f x x 在区间 0内是连续的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 函数 y sin x 在区间 内是连续的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明设 x 为区间 内任意一点就有ysinxx sin x2 sinx cosxx 22可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于当x0 时y 是无穷小与有界函数的乘积所以limy0x0这就证明白函数y sin x 在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内任意一点x 都是连续的4函数 y cos x 在区间 内是连续的二、函数的间断点间肯定义设函数 fx在点 x0 的某去心邻域内有定义在此前提下假如函数fx 有以下三种情形之一(1) 在 x0 没有定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2虽然在 x0 有定义但limfx不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - -

21、 欢迎下载精品_精品资料_3虽然在 x0 有定义且lim f x 存在但 limfx fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx0就函数 f x在点 x0 为不连续而点 x0 称为函数fx的不连续点或间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1正切函数y tan x 在 x处没有定义所以点 x22 是函数 tan x 的间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 limx2tanx故称 x为函数 tan x 的无穷间断点2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_例 2函数 ysin 1 在点 x 0 没有定义所以点 x 0 是函数xsin 1 的间断点x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时函数值在1 与 1 之间变动无限多次所以点 x 0 称为函数sin 1 的振荡间断点 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3函数 yx 21 在 x 1 没有定义所以点 x 1 是函数的间断点x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 lim

23、x 21lim x 12假如补充定义令 x 1 时 y 2就所给函数在x 1 成为连续所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x 1x 1以 x 1 称为该函数的可去间断点xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4设函数 yf x1x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 lim f xlim x1f 11limf xf 1所以 x 1 是函数 fx 的间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x 12x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如转变函数fx在 x

24、1 处的定义令 f 11就函数 f x在 x 1 成为连续所以 x 1 也称为该函数的可去间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5设函数x 1x0f x0x0x1x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 limf xlim x11limf xlim x11limf xlimf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0x0x0x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以极限limf x 不存在x 0 是函数 fx的间断点因函数 fx

25、的图形在x 0 处产生跳动现象我可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -们称 x0 为函数 fx 的跳动间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间断点的类型:通常把间断点分成两类假如x0 是函数fx的间断点但左极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx0 0及右极限 fx0 0都存在那么 x0 称为函数 fx的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点称为其次类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳动间断点无穷间断点和振荡间断点明显是其次间断点教学后记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载