2022年高考文解题策略专题第节三角函数的化简求值及证明.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换,而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以显现小题（挑选或者填空）,也可以与三角函数的性质,解三角形,向量等学问结合,参杂、渗透在解答题中,它们的难度值一般掌握在0.5-0.8 之间 . 提高三角变换才能, 要学会设置条件, 敏捷运用三角公式,把握运算、化简及证明的方法和技能.考试要求懂得同角三角函数的基本关系式.（ 2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式,明白它们的内在联系,能运用上述公式进行简洁的恒等变换.（ 3）把握正弦定理、余弦定理,并

2、能解决一些简洁的三角形度量问题.4能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计 算有关的实际问题.题型一已知三角函数的值求角问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 （）在ABC 中,内角 A（）A, B, C 的对边分别是a,b, c ,如 a2b 23bc , sin C23 sinB ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 30B 60C 120D 150可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如,0, , cos7, tan 501,求 +2=.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨此题（）应先利用正弦定理进

3、行角化边,然后利用余弦定理求角A. 题（）第一应求+2的函数值,为了使角的范畴好掌握,这里选用正切值好一点,然后依据条件依次找出所需的条件,要留意角的范畴 . 解三角形的问题关键是敏捷运用正弦定理和余弦定理,正确进行边化角、角化边,探寻解答. 题（）最困难的的方在于确定+2的范畴,一般的,依据已知条件,把角的范畴限制得越精确,结果也越精确 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（）由 sin C23 sin B 及正弦定理,得c23b ,代入 a2b 23bc ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222ab3b 23b6b ,即 a7 b ,又 c12b,

4、（为什么从角化边入手？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理cos Ab2c2a22bcb212b227b263,（选用余弦定理合理否？）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 A30 应选43b4371313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）,0, , cos,50tan,0,73tan,0,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,5, 6 ,（为什么要把角的范畴定得这样精确？）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 +2 ,32 tan3, 又 tan2 =2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

5、21tan4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ tantan2tan 21 , +211.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=1tantan 24易错点题（）记错公式、遗忘争论角的范畴或者代数运算不娴熟是造成这类解三角形问题的出错的主要缘由 .这里选用余弦定理求角是正确的,假如选用正弦定理求角就不合理,一是显现 2 个角,二是要争论舍弃 1 个角,更简洁出错.题（）中,角的范畴简洁忽视或放大,导致错误.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式与引申 1：已知 , 为锐角, tan题型二三角函数化简、求值问题1= ,7sin10=,求 2 +的值 .10可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2（2022 江西卷文科第17 题）在ABC 中,角 A,B,C 的对边是a,b,c,已知 3a cos AccosBb cosC（ 1）求 cos A 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 a=1,cos BcosC23,求边 c 的值 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精

7、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2 ） 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Bcos C233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosAC cosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绽开易得：cos C2 sin C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理：asin Acc3sin C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易错点此题 涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180这两个学问点的考查, 不知道利用可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_ABC将已知条件定理求出 ccos Bcos C23 中的角化成同角,从而利用恒等变形得出sin C . 再由正弦3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变 式与 引申 2 ：（ 2022 江西卷文理科科第17 题）在 ABC 中,角CA, B ,C的对边分别是a, b, c ,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Ccos C1sin.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求sin C 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 a 2b 24ab8 ,求边 c 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎

9、下载精品_精品资料_题型三三角函数的取值范畴问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知函数f x1cot xsin 2 x2sin xsin x .44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如 tan2 ,求 f .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 x, ,求122f x的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 拨 通过“切化弦” ,“降次”等手段,再利用万能公式或“齐次式”可解决第（1）题.第（ 2）题就首可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先化为一个三角函数的形式,再依据角的范畴来求f x的

10、取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）f xsin 2 xsinx cos xcos 2x1cos2 x1 sin 2xcos2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2211sin 2 xcos 2 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22由 tan2 得 sin 22sincos2 tan4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2cos21tan25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2cos 22sinsin 2cos21tan21tan23,所以53f .5可编辑资料 - - - 欢迎下

11、载精品_精品资料_（ 2）由（ 1）得f x1 sin 2 xcos 2 x12 sin2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x, 得 2 x 12255,4124,所以sin2 x2,142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

12、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 f x2sin2 x1120, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2422cos2 xsinx cos x1tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其它解法思路： 题（ 1）有以下解法 :f xsin2 xsinx cos xcos 2 xsin 2 xcos2 xtan 2 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 f 1tan3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易错点记错二倍角或万能公式.不会在区间

13、5, 5 上,联系三角函数图像求函数的取值范畴.或运可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_124用公式不合理,产生错误.例如用 tan2 ,去求 sin,cos,简洁显现符号处理带来的麻烦等等.urr变式与引申 3：已知向量 mac, b , nac,ba ,且 mn ,其中 A、B、C 是ABC的内角,a ,b,c 分别是角A, B, C 的对边（ 1）求角 C 的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求sin Asin B 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型四三角函数化简、求值的综合应用urrurr可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品_精品资料_例 4已知角A, B, C 是三角形的ABC 三内角,向量m1,3 , ncos A,sinA , m n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 .且1sin 2B22cos BsinB（ 1）求角 A .（2）求 tanC .（ 3）如 AC 边的长为15 ,求ABC 的面积 S 点拨此题难在第（ 2）题,如整理成关于角B 的二次式或齐次式,运算就相对简洁.第（3）题也要留意挑选运算简洁的思路.urr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ 1） m n1, 1, 3cos A,sin A1 , 即3 sin Acos A1.可编辑资料 - -

15、 - 欢迎下载精品_精品资料_2sin A3cosA 1 1 , sin A1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 0A,A625, A, A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_666663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由题知12sin BcosB3 ,整理得sin 2 Bsin B cos B2cos 2 B0 , cosB0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2 Bsin 2 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ tan2 Btan B20 . tan B2 或 tanB1 .而 tanB1 使

16、cos2 Bsin2 B0 ,舍去 . tan B2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ tan Ctan ABtan ABtan Atan B23853.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan A tan B12311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）由（ 1）知,得sin A3,又 tan B2 ,故sin B25 ,cos B5（舍去负值,为什么？）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理ACBC2, BCAC55sin A15 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品_精品资料_sin Bsin Asin B4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin Csin ABsin AB153255123.252510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故三角形的面积19015 3SACBC sin C.216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易错点 ：一是此题有点运算量,很简洁由于挑选的解法运算繁琐而算错.二是不会依据条件回避争论.由角的范畴或其它隐含条件去争论甄别函数值至关重要,也很简洁出错可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其它解法思路：化简12sin B cosB3 时,也有许多的思路,如：可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2 Bsin2 B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由sin BcosBsin Bcos B3 ,得 tan B2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Bsin Bsin Bcos Bcos Bsin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

19、- - - - - -222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 cos BsinB2sin B cos B1tanB2 tan B3, 得 tan B2 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2 Bsin 2 B1tan2 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式与引申 4：在 例 4 题（3）中,如内角A, B, C的对边分别为a、b、c,且 a5 b25, 求边 c 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本节主要考查三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用.恒等变换的才能和运算才能.三角形中的边、角、面积等关系（正余弦

20、定理）.（ 4）等价转化的数学思想方法等等.点评高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出.因此,在复习过程中既要留意三角学问的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要留意三角学问的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角学问的应用意识.本节涉及的学问与技能主要有:（1）三角函数式的化简问题,在最终所得到的结果中,要求所含函数和角的名称或种类最少,三角函数名称尽可能统一,各项的次数尽可能的低,显现的项数最少,一般应使分母和根号不含三角函数式,对能求出详细数值的,要求出值.（ 2）三角函数的求

21、值问题,是训练三角恒等变换的基此题型,求值的关键是娴熟把握公式及应用, 把握公式的逆用和变形.在化简和求值中,重视角的范畴对三角函数值的影响,对角的范畴特殊要留意争论.（3）证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时,需要认真观看题目的特点,敏捷、恰当的挑选公式.证明经常用的方法有： 从一边开头, 证明它等于另一边. 证明左右两边同等于同一个式子.证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.分析法等.（ 4）近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查,且常结合三角形内的三角恒等变换进行考查解三角形这类题目的解答程序是：一是看

22、方向（是从角化边入手仍是边化角入手）.二是用定理（合理且灵 活运用正弦定理和余弦定理）.三是定答案（依据取值范畴争论并确定答案）.仍要特殊留意三角形中三个 角 A、B、C,三条边a、b、c,中线 m a,角平分线AD,外接圆半径R,内切圆半径r,三角形面积S 之间的关系和三角形的外形.（ 5）三角函数的综合问题经常与向量,二次函数等有关,但着力点仍是三角学问,特殊是利用二倍角公式、 “切化弦 ”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形,是高考考查的重中之重. 解答这类综合问题的原就是三点：降次 化次数较高的三角式为次数较低的三角式. 减元 化多种三角函数为单一的三角函数.变角 化多角

23、的三角函数为单角的三角函数.仍要特殊留意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 的变化：21sinx2cosxtan xcot xcos 2x22sinx22cosxcos 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2cos0tanL4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角的变化：,2,2,L化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理运用.在懂得的基础上熟记和敏捷运用各种公式,包括正用公式、反用公式和变用公式.习 题 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知 cos+sin=3 , s

24、in+cos的取值范畴是D, x D,就函数 y= log 122x34 x10的最小值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25A.B.82C.1D.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. ABC的角 A、B、C 的对边分别为a、b、c, m 2b c, a,n cosA, cosC,且 m n 就当 y 2sin2B sin2B 6取最大值时,角B 的大小为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - -

25、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【答案】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式与引申 1：由已知02 + 3, 求得 cos2 + =22 或 tan2 + =1.得 2 + =.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式与引申 2：解：（ 1）已知sin Ccos C1sin C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sin C2cos C2cos2 C2sin 2 C2cos2 C2sin 2 C2sin C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

26、品_精品资料_整理即有：2 sinC cos C2 sin 2 Csin C0sin C2 cos C2 sin C10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2又 C 为ABC 中的角,222sin C022222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Ccos C1sin Ccos C12 sin C cos Ccos2 Csin 2 C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 sin C222cos C324224sin C3422224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）a 2b 24 ab8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

27、_精品资料_a 2b 24a4b44027a2 22b2 202a2, b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又cos C1sinC,c4ab2ab cosC71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式与引申 3：（ 1）由 mn0 得 ac acbba 0a 2b 2c 2ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2c2ab1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理cosC,又 0C,就 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由（ 1）得2 abC,就 A

28、32ab232B,3233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin0AAsin B2,3sin AA6sinA35,66sin A2cos A23 sin A ,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1sin A 21 ,3623 sin A3 ,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

29、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3即 sin Asin B 得取值范畴是,222223 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22变式与引申 4：由余弦定理 ,abc2bc cosA, ab2ac cos Bc,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 c22bc cos A2ac cos Bc2 ,消去c, 再把 由 题 （）中得出的cos B5 , cos A 51, 和已知2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a511 b代入 , 得 c=1.2习 题 2 1可编辑资料 - -

30、 - 欢迎下载精品_精品资料_1. 答案 :B.解：设 u=sin+cos,就 u2+3 2=sin+cos2+cos+sin2=2+2sin+ 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ u2 1, 1u 1.即 D= 1,1 ,设 t=2x3 , 1 x 1, 1 t5 .x= t3 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M2 x3t112 .当且仅当 2t4 ,即t2时, M2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x102t242t4428tmaxt8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q ylog 0.5M 在M0时是减函数 ,可

31、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ylog2log2log85 时, 此时 t2,2 x32, x11,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_min0.50.50.58222. 答案 : B 3.解：由 m n ,得 mn 0,从而 2b ccosAacosC 0,由正弦定理得2sinBcosA sinCcosA sinAcosC 0, 2sinBcosA sinA C 0, 2sinBcosA sinB 0,1 A、B0, , sinB0, cosA 2,故 A 3.y 2sin2 B sin2 B 6 1 cos2B sin2Bcos6 cos2Bsin63127

32、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 12 sin2B2 cos2B1 sin2 B 6 .由 A 3 得 0 B3 , 6 2B 6 6 ,当 2B 6,即 B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, y 取最大值2.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. sin 2x2sinx2sin x cos x2sinx2sinxcos xcos xsinx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan x1sin x cos xcos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q cos3x,cos x32sin x,

33、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sinx cos x7 ,Q 17x7,cos xsin x42 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2512452可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入得sin 2x2sinx =28 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan x75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4（1） sinsincos1sin 22cossin 2sin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21sin 2 sinsin 2cos,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin cos（2）sin 22 2 sin 2sin 2.3 cos 2