2022年高考数学专题十三空间向量简单几何体.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题十三：学习必备欢迎下载简洁几何体空间向量一 才能培育1,空间想象才能2,数形结合思想3,转化才能4,运算才能二 问题探讨问题 1如图 在棱长为1 的正方体 ABCD-A B C D 中, C B C 1求异面直线A B 与B C 所成的角的大小; 2求异面直线A B 与B C 之间的距离 ; A D 3求直线A B 与平面B CD 所成的角的大小; 4求证 :平面A BD/ 平面 CB1D ; D 5求证 :直线 AC 1平面A BD; A 6求证 :平面 ABC1平面B A BD; 7求点A 到平面 CB1D 的距离 ; 8求二面角A1B

2、 CD 的大小 . 问题 2 已知斜三棱柱ABCDA B C D 的侧面A ACC 1名师归纳总结 与底面垂直 ,ABC900,BC2,AC2 3, ; A A B C C 第 1 页,共 8 页且 AA 1A C, AA =A C. 1求侧棱 AA 和底面 ABC 所成的角的大小; B 2求侧面A ABB 和底面 ABC 所成二面角的大小3求顶点 C 到侧面A ABB 的距离 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三 习题探讨挑选题1 甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四周体,碳原子位于该正四面体的中心 ,四个氢

3、原子分别位于该正四周体的四个顶点上 个点 体积忽视不计 ,且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为 的这个正四周体的体积为.如将碳原子和氢原子均视为一 a ,就以四个氢原子为顶点A,8a3B,8 3a3C,1a3D,83 a,就它们的体积之2727392 夹在两个平行平面之间的球,圆柱 ,圆锥在这两个平面上的射影都是圆比为A,3:2:1 aB,2:3:1 C,3:6:2 ,P 点到,D,6:8:3 1cm, 3 设二面角的大小是0 60 ,P 是二面角内的一点的距离分别为2cm,就点 P 到棱 a 的距离是A,221cmB,21cmC,2 3cmB D,4 21 3cmD 334 如图 ,E,F

4、分别是正三棱锥ABCD 的棱 AB,BC E A 的中点 ,且 DEEF.如 BC= a ,就此正三棱锥的体积是A,a3B,2a32424F C C,2a3D,33 a12125 棱长为的正八面体的外接球的体积是A,6B,4 3 27C,8 2 3D,23填空题名师归纳总结 6 如线段 AB 的两端点到平面的距离都等于2,就线段 AB 所在的直线和平面第 2 页,共 8 页的位置关系是. 7 如异面直线a b 所原角为0 60 ,AB 是公垂线 ,E,F 分别是异面直线a b 上到 A,B 距离为2 和平共处的两点,当EF3时 ,线段 AB 的长为. 8 如图 1, 在直四棱柱A B C D

5、1ABCD 中 ,当底面四边形ABCD 满意条件时,有A CB 1D 注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑全部可能的情形 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A D 学习必备欢迎下载F C D B B A C 图1 D E N A B C 图2 M 9 如图 2, 是一个正方体的绽开图 AB 与 EF 所连直线平行 ; ,在原正方体中 ,有以下命题 : AB 与 CD 所在直线异面 ; MN 与 BF 所在直线成0 60 ; MN 与 CD 所在直线相互垂直. 其中正确命题的序号为.将全部正确的都写出 解答题10 如图 ,在 ABC 中,AB=AC

6、=13,BC=10,DE/BC 分别交 AB,AC 于 D,E.将 ADE 沿0DE 折起来使得 A 到 A ,且 1A DE B 为 60 的二面角 ,求 A 到直线 BC 的最小距离 . A A E D O C B O 11 如图 ,已知矩形 ABCD 中 ,AB=1,BC= a a 0 ,PA 平面 ABCD, 且 PA=1. 1问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQ QD.并说明理由 ; 2如边上有且只有一个点 Q,使得 PQ QD, 求这时二面角 Q PD A的正切 . P A D 名师归纳总结 B Q C 第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - -

7、- - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案 : 名师归纳总结 问题 11解:如图 ,以 D 为原点建立空间直角坐标系,有A 1,0,1,B1,1,0,B 1,1,1,C0,1,0 第 4 页,共 8 页得A B 10,1, 1,BC 1 1,0, 1,设1A B 与B C 所成的角为 1,就cosA B B C2121,又000 180 ,得600A BB C2所以异面直线A B 与B C 所成的角的大小为0 60 . 2设点 M 在A B 上,点 N 在B C 上,且 MN 是A B 与B C 的公垂线 ,令 M 1,m ,1m , N ,1, n ,就MNn1,1m mn1由A B

8、 MN0,得0,1, 1 n 1,0 1 n1,1m mn100,解得m2,n2B C MN01,1m mn133所以MN1 1 1 , , 3 3 3,得MN3,即异面直线A B 与B C 之间的距离为3. 333解 :设平面B CD 的法向量为n 1 , , ,而DC0,1,0,由1nDC ,n 1B C , 1有 , , , 0,1,000,得xz,于是n 1 1,0,1, , , , 1,0, 1y0设1n 与A B 所成的角为 1,就cosA B n 10,1,1 1,0,11,又000 180 ,有0 120 . A Bn 1222所以直线A B 与平面B CD 所成的角为0 60

9、 . 4证明 :由A B /CD ,CD1平面 CB 1D ,得A B /平面 CB 1D , 又 BD/B 1D ,B 1D 1平面 CB 1D ,得 BD/ 平面 CB 1D , 而A BBDB ,于是平面A BD/ 平面 CB1D . 5证明 :A1,0,0,C 0,1,1,AC 1 1,1,1,DB1,1,0, 有AC 1A B 1 1,1,1 0,1, 10及AC 1DB 1,1,1 1,1,00,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AC 1A B , 1AC 1DB ,A BBD学习必备欢迎下载B , 名师归纳总结 于是 ,直线 AC 1平

10、面A BD. 第 5 页,共 8 页6证明 :由5知AC1平面A BD, 而AC1平面 ABC ,得平面 ABC 1平面A BD. 7解 :可得B C=CD =D B =2 ,有SB CD 1 11 22sin 600322由VA 1B CD 1V CA B D 1 1 1,得1SB CD 1 1h111 1 1,即3h1,得h3332223所以点1A 到平面CB D 的距离为3. 38解 :由3得平面B CD 的法向量为1n = 1,0,1 ,它即为平面A B C 的法向量 . 设平面B CD 的法向量为n 2 , , ,就n 2B C , 1n 2B D 1 1又B D 1 10,0,11

11、,1,1 1, 1,0由 , , , 1,0, 10,得yx,所以n 21, 1, 1 , , , 1, 1,00zx设1n 与n 所成的角为 2,就cosn 1n 2 1,0,1 1, 1, 16n 1n 2233所以二面角A 1B CD 的大小为arccos6. 3问题 2 解 :建立如下列图的空间直角坐标系,由题意知 A 22,0,0 ,B0,0,0,C0,2,0. 又由面1A ACC 1面 ABC, 且 AA =A C,知点1A 2,1,3 ,AA 12,1, 3, 平面 ABC 的法向量n0,0,1. 1cosAA nAA 1n2,1,3 0,0,12,得AA n0 45AA 112

12、22 1 322于是 ,侧棱AA 和底面 ABC 所成的角的大小是0 45 . 2AB 2 2,0,0,设面A ABB 的法向量n 1 , , ,就由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n 1AA 1 , , , 2,1, 3学习必备y欢迎下载02x3 zn 1AB , , , 2 2,0,02 2 x0n0,0,1,得得x0,y3z .于是 ,n 10,3,1,又平面 ABC 的法向量cosn nn n0,3,1 0,0,11,有n n600. n 1n4 12所以侧面A ABB 和底面 ABC 所成二面角的大小是0 60 . 3从点 C 向面A AB

13、B 引垂线 ,D 为垂足 ,就CBD600CDBC DCBC kn 10, 2,0 0,23 , 3DCkn 14k所以点 C 到侧面A ABB 的距离是3 . 习题名师归纳总结 1 过顶点 A,V 与高作一截面交BC 于点 M, 点 O 为正四周体的中心,O 为底面 ABC 的中心 , 第 6 页,共 8 页设正四周体VABC 的棱长为 m ,就 AM=3m =VM,O M =1 3AM3m , 26O A2AM3m ,VO 1VM2O M26m ,得OO 1VO 1VO6ma3333在Rt AOO 中,AO2OO2AO 12,即a26ma23m 2,得m2 6a . 1333就VO 14a

14、 ,有V VABC112 m0 sin 60 VO 18 33 a .选 B. 33227温馨提示 :正四周体外接球的半径VO :内切球的半径OO =a:1a3:1. 32 V V 2:V 343 R :2 R2 :12 R2 2:3:1,选 B. 333 设 PA棱 a 于点 A,PM平面于点 M,PN平面于点 N,PA= t ,PAM,就tsin012,得3 cos5sin,有sin3或3舍去 , tsin602 72 7所以t121cm ,选 B. sin3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 由 DEEF,EF/AC, 有 DE学习必备欢迎下载

15、平面 ABD. AC, 又 ACBD,DEBD=D, 得 AC名师归纳总结 由对称性得BACCADBAD900,于是ABACAD2a . 或与斜交 . 第 7 页,共 8 页2VBACD112a2a 2a23 a ,选 B. 32222245 可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有 2r2,得r2, 2外接球的体积V4r32,选 D. 336 当AB2时,AB/;当AB2时,AB/或 AB;当AB2时,AB/7 由 EFEAABBF ,得EF2EA2AB2BF22EABFcos1当0 60 时,有94AB212 2 11,得AB2; 22当0 120 时,有94AB21 2 2 11,得AB6.

16、 28 ACBD. 或 ABCD 是正方形或菱形等 9 将绽开的平面图形仍原为正方体NACFEMBD ,可得只 ,正确 . 10 解 :设ABC 的高 AO 交 DE 于点O ,令AO 1x , 由 AO=2 132 512 ,有OO 112x , 在A OO 中 ,A O O600,有A O2A O 12O O22A O 1O Ocos600得AO3x6236. 当x6时,A 到直线 BC 的最小距离为6. 11 解 :1 如图 以 A 为原点建立空间直角坐标系,设 BQx ,就Q 1, ,0,P0,0,1,D 0, ,0得PQ1, , 1,QD 1,ax ,0由 PQQD ,有 1, ,1

17、 1,ax,00,得x2ax10如方程有解 ,必为正数解 ,且小于 a .由a 240,a0,得a2. i 当a2时,BC 上存在点 Q,使 PQQD; ii 当 0a2时, BC 上不存在点Q,使 PQQD. 2要使 BC 边上有且只有一个点Q,使 PQQD,就方程有两个相等的实根, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这时 ,a240,得a2,有x学习必备欢迎下载1. 名师归纳总结 又平面 APD 的法向量n 11,0,0,设平面 PQD 的法向量为n 2 , , 第 8 页,共 8 页而QD 1,1,0,PD0,2,00,0,10, 2, 1, 由n2QD0,得 , , 1,1,00,解得xy z2yn2PD05 , , 0,2, 10有n 21,1,2,就cosn n 2n 1n21,0,0 1,1,21,就tann n 2n 1n2166所以二面角 QPDA 的正切为5 . - - - - - - -