第5讲n维空间中的点集.ppt

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1、第5讲n维空间中的点集 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第5讲 n维空间中的点集 一聚点、内点、边界点与Bolzano-Weirstrass定理问题问题1 1：给定给定R Rn n中一个集合中一个集合E E及点及点P P，P P与与 E E有几种可能的关系？有几种可能的关系？第5讲 n维空间中的点集 定义定义1 设 ，（i）若存在 ，使 ，则称 为 的内点内点。（ii）若对任意 ，则称 为 的边界点边界点。（iii）若对任意 ，中总有 中除 外的 点

2、，即 ,则称 为 聚点聚点。第5讲 n维空间中的点集 不难看到，如果对任意 ，则 中一定含 中无穷多个点。定义定义2 2 若 ，则 的聚点全体记作 ，称为 的导集，称为 的闭包，记为 。定理定理1 1 的充要条件是的充要条件是 为为 的一个极限点，的一个极限点，即存在一串互异的即存在一串互异的 ，使得，使得 。第5讲 n维空间中的点集 证明：充分性由聚点的定义不难得到。为证必要性，令 ，由于 ，故 ，取 中可能有相同者，为避免这种情况发生，不妨取 ，则存在 ，使第5讲 n维空间中的点集 ，再取 ，假如已取到 个互不相同的点 ，且 ，则取 ，显然第5讲 n维空间中的点集 但 ，于是可取从而 互不

3、相同。由归纳法知可找到一串互异的点 满足 。证毕。第5讲 n维空间中的点集 定理定理2 2 若若 ，则，则 。定理定理3 3 若若 ，则则 第5讲 n维空间中的点集 定理3的证明：由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ，从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使第5讲 n维空间中的点集 中必有无穷多个都属于 或都属于 ，不妨设 ，则由 ，知 。如果有无穷多个在 中，则将会有 ，总之 。从而 。综上 。证毕。第5讲 n维空间中的点集*定理定理4 4 （波尔察诺（波尔察诺-外尔斯特拉斯（外尔斯特拉斯（Bolzano-Bolzano-Weierstrass Weierstrass）定

4、理）若）定理）若 是是 中一中一 个有界的无穷集合，则个有界的无穷集合，则 至少有一个至少有一个 聚点聚点 ，即，即 。第5讲 n维空间中的点集 Bolzano-Weirstrass定理的证明：为简单计，只就 的情形证之，一般情形可类似证明，只需将正方形换成 维立方体便可。因为 有界，故有常数 ，使 ，用坐标轴将 分为四个小正方形，每个小正方形边长显然为 ，由 是无穷的，显然四个小正方形中，至少有一个闭正方形含 中无穷多个点，记此小正方形为 ，再次用平行于坐标轴的直线将 分为四个第5讲 n维空间中的点集 小正方形，则每个小正方形的边长 ，同理，其中至少有一个小闭正方形含中无穷多个点，记此小 闭

5、正方形为 。依此方式进行下去，可得一串小闭正方形 ，的边长为 ，且含 中无穷多个点。此外还有 ，于是由闭矩形套定理知 含唯一的点，记此点为 。则因对任意 ，是无穷集，任取 ，则 ，取 ，使 ，则 ，取 ，则 ，假设已取了 个互异的点 ，则取 使显然 ，又取 第5讲 n维空间中的点集 第5讲 n维空间中的点集 则 是 个互异点，且 ，这说明 是 的极限点，从而 。证毕。与聚点相对的概念是孤立点，集合 的边界点若不是 的聚点，则称为 的孤孤立立点点。当然，的孤立点一定在 中。如果 的每一点都是孤立点，则 称 为孤立集合孤立集合。第5讲 n维空间中的点集 二开集与闭集问题问题3 3：回忆直线上的开区

6、间与闭区间，它们：回忆直线上的开区间与闭区间，它们 有何异同？有何异同？第5讲 n维空间中的点集 定义定义3 3 若集合 的每一个点都它的内点，则 称 为开集。定义定义4 4 若 ，则称 为闭集。按上述定义易得定理定理5 5 ，恒为闭集。恒为闭集。第5讲 n维空间中的点集 证明：假设 ，则对 的任意邻域 ，任取 ，则由 知对 的任意邻域 ，第5讲 n维空间中的点集 不妨设 ，则 ，且 。任取 ，则 。这说明，的任意邻域中均含 中除 外的点，从而 ，即 ，所以第5讲 n维空间中的点集 故而 是闭集。证毕。第5讲 n维空间中的点集 开集与闭集的关系：定理定理6 6 假设假设 ，则，则 是闭集当且仅

7、是闭集当且仅 当当 是开集。是开集。推论推论1 1 若若 是开集，是开集，是闭集，则是闭集，则 是开集，是开集，是闭集。是闭集。第5讲 n维空间中的点集 开集、闭集的性质：定理定理7 任意一簇闭集之交为闭集；任任意一簇闭集之交为闭集；任 意有限个闭集之并仍为闭集。意有限个闭集之并仍为闭集。第5讲 n维空间中的点集 证明：不妨设 为闭集，因 ，故 ，从而 ，所以 是闭集。下设 为闭集，则 ，因此 为闭集。证毕。第5讲 n维空间中的点集 定理定理8 8 任意一簇开集之并为开集，任任意一簇开集之并为开集，任 意有限个开集之交仍为开集。意有限个开集之交仍为开集。证明：设 为开集，则 ，由定理 6，每个

8、 是闭集，再由定理7知 是闭集，从而 是开集。第5讲 n维空间中的点集 又设 为开集，则 ，为有限个闭集的并，从而为闭集，所以 为开集。证毕。第5讲 n维空间中的点集 应该注意到，任意多个开集之交未必是开集，任意多个闭集之并也未必是闭集，例如 前者为可数个开集之交，后者为可数个闭集之并。三Borel有限覆盖定理 问题问题4 4：回忆数学分析中的有限覆盖定理及回忆数学分析中的有限覆盖定理及 其证明，该证明对其证明，该证明对R Rn n中的有界闭集中的有界闭集 是否也适用？是否也适用？第5讲 n维空间中的点集 第5讲 n维空间中的点集 定定理理9 9（BorelBorel有有限限覆覆盖盖定定理理）

9、设设F F是是有有界界闭闭集集，是是一一簇簇开开集集，F F，则一定存在则一定存在F F中有限个开集中有限个开集 ，使得，使得 F F。证证明明：首首先先证证明明，一一定定存存在在 ，使使得得对对任任意意 ，包包含含在在某某个个 中中。假假若若不不然然，则则对对任任意意则则对对任任意意 ，存存在在 ，使得使得 不包含任何属于不包含任何属于 的开集中。的开集中。从而可得从而可得F F中一串点列中一串点列 满足满足 （任意（任意 ）。由于）。由于F F是有界集，故有收敛子列是有界集，故有收敛子列 ，设，设 ，则，则因因F F闭，故闭，故 ，而由，而由 覆盖覆盖F F知存在某知存在某个个 ，使，使

10、，于是由，于是由 是开集知存是开集知存 第5讲 n维空间中的点集 第5讲 n维空间中的点集 在在 ，使，使 。注意到。注意到 因此当因此当 充分大时，必有充分大时，必有 。这与这与 的取法矛盾，所以一定有的取法矛盾，所以一定有 ，使，使得对任意得对任意 ，包含在某个包含在某个 中。中。由由F F是有界的，可以用形如是有界的，可以用形如 的超平面将的超平面将F F分成有限多块，使每一小块中任分成有限多块，使每一小块中任意两点的距离都小于意两点的距离都小于 ，不妨记这些小块为，不妨记这些小块为F F1 1，F F2 2，F Fmm，任取，任取 F Fi i ，则存在，则存在 ，使得使得 ，注意到，注意到 F Fi i ，故有，故有 。证毕。证毕。第5讲 n维空间中的点集