瑞士策马特峰.ppt

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1、瑞士策马特峰 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 1.为何能以某事件发生的频率2.作为该事件的 概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体3.期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占4.有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础5.是什么？答复大数大数定律定律中心极中心极限定理限定理设非负 r.v.X 的期望 E(X)存在，则对于任意实数 0,证证 仅证连续型 r.v.的情形

2、 重要不等式重要不等式 5.1 大数定律大数定律5.1设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E(|X|k)存在，则对于任意实数 0,推论推论 1设随机变量 X 的方差 D(X)存在，则对于任意实数 0,推论推论 2 切贝雪夫(chebyshev)不等式或当 2 D(X)无实际意义,马尔可夫(Markov)不等式例例1 1 设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的 6000 粒种子中,良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.解解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)例1实际精确计算用Poisson 分布近似计算取=1000例例2 2 设每次试验中，事件

3、A 发生的概率为 0.75,试用 Chebyshev 不等式估计,n 多大时,才能在 n 次独立重复试验中,事件 A 出现的频率在0.74 0.76 之间的概率大于 0.90?解解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A发生的次数,则X B(n,0.75)要使，求 n例2即即由 Chebyshev 不等式，=0.01n,故令解得大数定律大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是每次试验中 A 发生的概率,则有或大数定律证证 引入 r.v.序列Xk设则相互独立，记由 Chebyshev 不等式故在概率的统计定义中,事件 A 发生

4、的频率 “稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：频率与 p 有较大偏差是小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里贝努里(Bernoulli)Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义定义定义a 是一常数，(或则称 r.v.序列依概率收敛于常数 a,记作故是一系列 r.v.设有若 在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从(0,1)分布的 r.v.序列 Xk 的算术平均值,Y n 依概率收敛于其数学期望 p.结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列Chebyshev 大数定律相互独立，设 r.v.序列(指任

5、意给定 n 1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差则有或定理的意义定理的意义当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术算术均值均值数学数学期望期望近似代替可被注注2相互独立的条件可以去掉，代之以注注1不一定有相同的数学期望与方差，可设有相 设 r.v.序列则有互独立具有相同的分布，且记注注3则则连续，若作业 P185 习题五3 4习题每周一题11 电视台需作节目电视台需作节目A 收视率收视率的调查的调查.每天在播电视的同时每天在播电视的同时,随机地向随机地向当地居民打电话询问是否在看电视当地居民打电话询问是否在看电视.若若在看电视在看电视,再问是否在看节目再问是否在看节目A.设回答设回答 第第12周周 问问 题题看电视的居民户数为看电视的居民户数为 n.若要保若要保证以证以 95%的概率使调查误差在的概率使调查误差在10%之内之内,n 应取多大？应取多大？每晚节目每晚节目A 播出一小时播出一小时,调调查需同时进行查需同时进行,设每小时每人能设每小时每人能调查调查20户户,每户居民每晚看电视每户居民每晚看电视的概率为的概率为70%,电视台需安排多电视台需安排多少人作调查少人作调查.又，若使调查误差在又，若使调查误差在 1%之内之内,n 应取多大？应取多大？