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2022年新人教A版高中数学4.1.2《用数学归纳法证明不等式》word教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案选修4-5 学案 4.1.2数学归纳法证明不等式(2)姓名学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.会运用数学归纳法证明不等式重点：应用数学归纳法证明不等式.?知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证 n 取时命题(即nn时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当时命题成立，证明当n=k1 时命题(归纳递推）.30.由 10、20知，对于一切 nn的自然数 n 命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.数学归纳法的应用：例 1.求证：23mem，其中1m，且mN例 2 已知数列na的各项为正，且1

2、11,(4),2nnnaaaanN.（1）证明12,nnaanN;（2）求数列na的通项公式na.名师精编优秀教案例 3(06 湖南）已知函数()sinf xxx,数列na满足:1101,(),1,2,3,nnaaf an证明:()101nnaa;()3116nnaa.文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2

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9、H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10名师精编优秀教案例 4（09 山东）等比数列na的前 n 项和为nS,已知对任意的nN,点(,)nn S均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记22(l og1)()nnbanN证明：对任意的nN，不等式1212111 1nnbbbnbbb成立选修4-5练习 4.1.2数学归纳法证明不等式（2）姓名1、正数 a、b、c 成等差数列，当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，试证明：an+cn2bn.文档编码:CW5C3K8U7

10、O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8

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17、5 辽宁）已知函数3()(1)1xf xxx,设数列na满足111,()nnaaf a，nb满足*12|3|,()nnnnbaSbbbnN（）用数学归纳法证明1(31)2nnnb；（）证明23.3nS.文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ

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24、8O9 ZQ10H1F1X2C10名师精编优秀教案5、（05 湖北）已知不等式nnn其中,log21131212为大于 2 的整数，log2n表示不超过n2log的最大整数.设数列na的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111nannaabbannn证明:,5,4,3,log222nnbban6、(09广东）已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn从点(1,0)P向曲线nC引斜率文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8

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29、编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5

30、C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7

31、O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10名师精编优秀教案(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnP xy（1）求数列nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112 sin1nnnnnxxxxxxxy.参考答案:1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证 n 取第一个值时命题成立(即nn时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当 n=k时命题成立，证明当n=k1 时

32、命题也成立(归纳递推）.30.由 10、20知，对于一切 nn的自然数 n 命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例 1.求证：23mem，其中1m，且mN分析：此题是20XX 年广东高考数学试卷第21 题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O

33、9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10

34、H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2

35、C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编

36、码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C

37、3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O

38、7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I

39、1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10名师精编优秀教案（1）当 m=2 时，44232e，不等式成立（2）假设*(2,)mk kkN时，有23kek，则2(1)22236kkeeek ek，2k，63(1)330kkk，即63(1)kk从而2(1)63(1)kekk，即1mk时，亦有23mem由（1）和（2）知，对1,mmN都成立证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明220122223(11)332(21)123(1211)21230mmmmmemmCCCmmmmmmmmmm当1m，且mN时，2

40、3mem例 2（20XX 年江西第21 题第（1）小题，本小题满分12 分）已知数列na,:的各项都是正数且满足0111,(4),.2nnnaaaanN（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式an.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一用数学归纳法证明：1 当 n=1 时，,23)4(21,10010aaaa210aa，命题正确.2 假设 n=k 时有.21kkaa则111111,(4)(4)22kkkkkknkaaaaaa时11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkk

41、aaaaaaaaaa而1110,40,0.kkkkkkaaaaaa又2111(4)4(2)2.22kkkkaaaa1kn时命题也正确.文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N

42、8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9

43、ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1

44、F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C1

45、0文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:

46、CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K

47、8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10名师精编优秀教案由 1、2 知，对

48、一切nN 时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1 当 n=1 时，,23)4(21,10010aaaa2010aa；2 假设 n=k 时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaa2,nnba令则21222221 222121111111()()()222222nnnnnnnbbbbb又

49、bn=1，所以211(),2nnb21122()2nnnab即本题也可先求出第（2）问，即数列na的通项公式2112()2nna，然后利用函数211()2()2xfx的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷例 3（06 年湖南卷.理.19 本小题满分14 分）已知函数()sinf xxx,数列 na 满足:1101,(),1,2,3,.nnaaf an证明:()101nnaa;()3116nnaa.证明:（I）先用数学归纳法证明01na，1,2,3,文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10

50、H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2C10文档编码:CW5C3K8U7O7 HP8I1N8V8O9 ZQ10H1F1X2

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4.3 金币

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