2022年平面几何辅助线添加技法总结与例题详解 .pdf

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1、第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例 1设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BPCQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使 BAP CAQ 时,ABC 是什么三角形？试证明你的结论.答：当点 A 运动到使 B

2、AP CAQ 时,ABC 为等腰三角形.证明：如图1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点D.连结 DA.在 DBP AQC 中,显然 DBP AQC,DPB C.由 BPCQ,可知DBP AQC.有 DPAC,BDP QAC.于是,DABP,BAP BDP.则 A、D、B、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故 ABDP.所以 ABAC.这里,通过作平行线,将 QAC“平推”到 BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆,使证明很顺畅.例 2如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,BAF BCE.求证：EBA ADE.证明：如图 2,分别过点 A、B 作 ED、EC

3、 的平行线,得交点 P,连 PE.由 AB CD,易知 PBA ECD.有PAED,PBEC.显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有BCE BPE,APE ADE.由 BAF BCE,可知BAF BPE.有 P、B、A、E 四点共圆.于是,EBA APE.所以,EBA ADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E 四点共圆,紧密联系起来.APE 成为 EBA与 ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例 3在 ABC 中,

4、BD、CE 为角平分线,P为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线,M、N、Q 为垂足.求证：PMPNPQ.证明：如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交BD ADBPQC图1PEDGABFC图2ANEBQKGCDMFP图3于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交PQ、AC 于 K、G,连 PG.由 BD 平行 ABC,可知点 F 到 AB、BC 两边距离相等.有 KQPN.显然,PDEPFDEFGDCG,可知 PGEC.由 CE 平分 BCA,知 GP 平分 FGA.有 PKPM.于是,PMPNPKKQPQ.这里,通过添加平行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PMPK

5、,就有 PM PNPQ.证法非常简捷.3 为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例 4设 M1、M2是 ABC 的 BC 边上的点,且 BM1CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于 P、Q、N1、N2.试证：APABAQAC11ANAM22ANAM.证明：如图 4,若 PQ BC,易证结论成立.若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC 于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线BC 于E.由 BM1CM2,可知 BECEM1EM2E,易知

6、APABDEBE,AQACDECE,11ANAMDEEM1,22ANAMDEEM2.则APABAQACDECEBEDEEMEM2111ANAM22ANAM.所以,APABAQAC11ANAM22ANAM.这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.例 5AD 是 ABC 的高线,K 为 AD 上一点,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F.求证：FDA EDA.证明：如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分别交直线DE、DF、BE、CF 于 Q、P、N、M.显然,ANBDKAKDAMDC.有 BDAMDCAN.(1)由BDAPFBAF

7、BCAM,有 APBCAMBD.(2)APEDCM2M1BQN1N2图4图5MPAQNFBDCEK文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:

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10、4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编

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13、ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7由DCAQECAEBCAN,有 AQBCANDC.(3)对比(1)、(2)、(3)有AP AQ.显然 AD 为 PQ 的中垂线,故 AD 平分 PDQ.所以,FDA

14、EDA.这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使 AP 与AQ 的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例 6在 ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且 MDN 90.如果 BM2 CN2 DM2DN2,求证：AD241(AB2AC2).证明：如图 6,过点 B 作 AC 的平行线交ND 延长线于E.连 ME.由 BDDC,可知 EDDN.有BED CND.于是,BENC.显然,MD 为

15、EN 的中垂线.有 EMMN.由 BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2,可知 BEM 为直角三角形,MBE90.有ABC ACB ABC EBC90.于是,BAC90.所以,AD2221BC41(AB2AC2).这里,添加 AC 的平行线,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.例 7如图 7,AB 为半圆直径,D 为 AB 上一点,分别在半圆上取点E、F,使 EADA,FBDB.过 D 作 AB 的垂线,交半圆于C.求证：CD 平分 EF.证明：如图 7,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,G、H 为垂足,连 FA、EB.易知DB2FB2ABHB,AD2AE2

16、AGAB.二式相减,得DB2AD2AB(HBAG),或 (DB AD)ABAB(HB AG).于是,DBAD HBAG,或DBHBADAG.就是 DH GD.显然,EGCDFH.故 CD 平分 EF.这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证CD 平分 GH.为此添加CD 的两条平行线EG、FH,从而得到G、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图 8,三直线 AB、AN、AC 构成一组直线束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有BNDMANAMNCME,即BNDMNCME或MEDMNCBN.此式

17、表明,DM ME 的充要条件是BNNC.利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.图6ANCDEBMAGD O HBFCE图7图8ADBNCEM文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1

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20、编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W

21、1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6

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23、文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7例 8如图 9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E、F,对角线 BDEF,AC 的延长线交 EF 于

24、 G.求证：EG GF.证明：如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交AE、AF 于 M、N.由 BDEF,可知 MN BD.易知SBEFSDEF.有 SBECSKG*5DFC.可得 MCCN.所以,EGGF.例 9如图 10,O 是 ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为 O 与 BC、CA、AB 的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证：AK 平分 BC.证明：如图 10,过点 K 作 BC 的行平线分别交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、OE、OF.由 ODBC,可知 OKPQ.由 OFAB,可知 O、K、F、Q 四点共圆,有 FOQ FKQ.由 OE

25、AC,可知 O、K、P、E 四点共圆.有 EOP EKP.显然,FKQ EKP,可知FOQ EOP.由 OFOE,可知RtOFQ RtOEP.则 OQOP.于是,OK 为 PQ 的中垂线,故 QKKP.所以,AK 平分 BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.第二讲巧添辅助圆在某些数学问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆

26、,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例 1如图 1,在 ABC 中,ABAC,D 是底边 BC 上一点,E 是线段 AD 上一点且 BED2CED A.求证：BD2CD.分析：关键是寻求BED2CED 与结论的联系.容易想到作BED 的平分线,但因 BEED,故不能直接证出BD2CD.若延长 AD 交 ABC 的外接圆于 F,则可得 EBEF,从而获取.证明：如图 1,延长 AD 与 ABC 的外接圆相交于点F,连结 CF 与 BF,则 BFA BCA ABC AFC,即 BFD CFD.故 BF:CF BD:DC.又 BEF BAC,BFE

27、 BCA,从而 FBE ABC ACB BFE.故 EBEF.作 BEF 的平分线交BF 于 G,则 BGGF.图9ABMEFNDCGAOEPCBFQK图10ABGCDFE图1文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ

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30、4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:

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33、4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7因 GEF21BEF CEF,GFE CFE,故 FEG FEC.从而 GFFC.于是,

34、BF2CF.故 BD 2CD.1.2 利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中,ABC60,BAD BCD90,AB2,CD1,对角线 AC、BD 交于点 O,如图 2.则 sinAOB_.分析：由 BAD BCD90可知 A、B、C、D 四点共圆,欲求 sin AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD 即可.解：因 BAD BCD 90,故 A、B、C、D 四点共圆.延长 BA、CD 交于 P,则 ADP ABC60.设 AD x,有 AP3x,DP2x.由割线定理得(2 3x)3x2x(1 2x).解得ADx23 2,BC21BP43.由托勒密定理有BDCA(4 3)(232)211

35、0312.又 SABCDSABDSBCD233.故 sin AOB263615.例 3已知：如图3,ABBCCA AD,AH CD 于 H,CPBC,CP 交 AH 于 P.求证：ABC 的面积 S43APBD.分析：因SABC43BC243ACBC,只须证 ACBCAPBD,转化为证 APC BCD.这由 A、B、C、Q 四点共圆易证(Q 为 BD 与 AH 交点).证明：记 BD 与 AH 交于点 Q,则由 ACAD,AHCD 得 ACQ ADQ.又 ABAD,故 ADQ ABQ.从而,ABQ ACQ.可知 A、B、C、Q 四点共圆.APC90 PCH BCD,CBQ CAQ,APC BC

36、D.ACBCAPBD.于是,S43ACBC43APBD.2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆例 4如图 4,四边形 ABCD 中,AB CD,ADDC DBp,BCq.求对角线AC 的长.ABCDPO图2A图3BPQDHC文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2

37、R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T

38、4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:

39、CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 H

40、H2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL

41、4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编

42、码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1

43、 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7分析：由“ADDCDBp”可知 A、B、C 在半径为 p 的 D 上.利用圆的性质即可找到AC 与p、q 的关系.解：延长 CD 交半径为p 的 D 于 E 点,连结 AE.显然 A、B、C 在 D 上.ABCD,BCAE.从而,BCAE q.在 ACE 中,CAE 90,CE2p,AEq,故AC22AECE224qp.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例 5已知抛物线y x22x8 与 x 轴交于 B、C 两点，点 D 平分 BC.若在 x 轴上侧的A 点为抛物线

44、上的动点,且 BAC 为锐角,则 AD 的取值范围是_.分析：由“BAC 为锐角”可知点 A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点 A 在 x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图 5,所给抛物线的顶点为A0(1,9),对称轴为x1,与 x 轴交于两点B(2,0)、C(4,0).分别以 BC、DA 为直径作 D、E,则两圆与抛物线均交于两点P(1 22,1)、Q(1 22,1).可知,点 A 在不含端点的抛物线PA0Q 内时,BAC90.且有 3DP DQAD DA0 9,即 AD 的取值范围是3AD9.2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例 6AD 是 RtABC 斜

45、边 BC 上的高,B 的平行线交AD 于 M,交 AC 于 N.求证：AB2AN2BMBN.分析：因AB2AN2(ABAN)(AB AN)BM BN,而由题设易知AMAN,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图 6,2 3 4 590,又 3 4,1 5,1 2.从而,AMAN.以 AM 长为半径作 A,交 AB 于 F,交BA 的延长线于E.则 AEAFAN.由割线定理有BMBNBF BE(ABAE)(ABAF)(ABAN)(ABAN)AB2AN2,即AB2AN2BMBN.例 7如图 7,ABCD 是 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AB 和 DC 相交于

46、 E,延长 AD 和 BC 相交于 F,EP 和 FQ 分别切 O 于 P、Q.求证：EP2FQ2EF2.分析：因EP 和 FQ 是 O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、FQ 向 EF 转化.证明：如图 7,作 BCE 的外接圆交EF 于 G,连结 CG.AEDCB图4ABDCPQEyx0(1,9)(-2,0)(4,0)图5EANCDBFM12345图6AOQPCBGFED文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R

47、4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4

48、C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:C

49、J6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH

50、2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4T4C10T2H7文档编码:CJ6F7X3L1W1 HH2R4A1G2T6 ZL4