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2022年新人教A版高中数学《用数学归纳法证明不等式》word学案 .pdf

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文档编号：60298556

上传时间：2022-11-15

格式：PDF

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1、名师精编优秀教案二用数学归纳法证明不等式知识梳理1.本节例题中的有关结论（1）n2-1,x 0,n 为大于 1 的自然数，那么有_；当是实数，并且满足1 或者 0时，有 _；当是实数并且01时，有 _.（4）如果n(n 为正整数)个正数a1,a2,an的乘积a1a2an=1，那么它们的和a1+a2+an _.2.用数学归纳法证明不等式在数学归纳法证明不等式时，我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是_.知识导学本节内容主要是认知如何用数学归纳法证明正整数n 的不等式（其中 n 取无限多个值）.其中例 1 提供出了一种全新的数学思想方法：观察、归纳、猜想、证明，这是在数学归纳法中经常

2、应用到的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的.猜想归纳能培养探索问题的能力，因此，应重视对本节内容的学习.前面已学习过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等.而本节又增了数学归纳法证不等式，而且主要解决的是n 是无限的问题，因而难度更大一些，但仔细研究数学归纳法的关键，即由n=k 到 n=k+1 的过渡，也是学习好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题了.疑难突破1.观察、归纳、猜想、证明的方法这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探

3、索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论.例 1 中若只观察前3 项：a1=1,b1=2a1b3，就此归纳出n22n(n N+,n 3)就是错误的，前 n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论.2.从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n

4、=k”到“n=k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n=k”到“n=k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构.典题精讲【例 1】(经典回放)已知函数(x)=1x+1,f(x)=(a+b)x-ax-bx,其中 a,bN+,a 1,b 1,a b,且名师精编优秀教

5、案ab=4,(1)求函数 (x)的反函数g(x);(2)对任意 nN+，试指出f(n)与 g(2n)的大小关系，并证明你的结论.思路分析：欲比较 f(n)与 g(2n)的大小，需求出 f(n)与 g(2n)的关于 n 的表达式，以利于特殊探路从n=1，2，3，中寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明.解：(1)由 y=1x+1,得1x=y-1(y 1),有 x+1=(y-1)2,即 x=y2-2y,故 g(x)=x2-2x(x 1).(2)f(n)=(a+b)n-an-bn，g(2n)=4n-2n+1,当 n=1 时 f(1)=0,g(2)=0，有 f(1)=g(2).当 n=2 时，f(2

6、)=(a+b)2-a2-b2=2ab=8,g(22)=42-23=8,f(2)=g(22).当 n=3 时，f(3)=(a+b)3-a3-b3=3a2b+3ab2=3ab(a+b)3abab2=48.g(23)=43-24=48,有 f(3)g(23).当 n=4 时,f(4)=(a+b)4-a4-b4=4a3b+4ab3+6a2b2=4ab(a2+b2)+6a2b24ab 2ab+6a2b2=14a2b2=224.g(24)=44-25=224,有 f(4)g(24),由此推测当1 n2时，f(n)=g(2n),当 n3时，f(n)g(2n).下面用数学归纳法证明.(1)当 n=3 时，由上

7、述推测成立；（2）假设 n=k 时，推测成立.即 f(k)g(2k)(k 3),即（a+b）k-ak-bk4k-2k+1,那么 f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-a ak-b bk=(a+b)(a+b)k-ak-bk+akb+abk.又依题设a+b2ab=4.akb+abkkkbaba2=2(ab)21k=2k+2,有 f(k+1)4(a+b)k-ak-bk+2k+24(4k-2k+1)+2k+2=4k+1-2k+2=g(2k+1),即 n=k+1 时，推测也成立.由（1）（2）知 n3时，f(n)g(2n)都成立.绿色通道：为保证猜想的准确性，当设n

8、=1,2 时，得出f(n)=g(2n)，不要急于去证明，应再试验一下n=3,4 时，以免出现错误.【变式训练】已知等差数列an公差 d 大于 0，且 a2,a5是方程 x2-12x+27=0 的两根，数列 bn的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1-21bn.(1)求数列 an,bn 的通项公式；文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L

9、9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR

10、1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N

11、10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档

12、编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7

13、D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5

14、V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3

15、A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9名师精编优秀教案（2）设数列 an的前 n 项和为 Sn，试比较nb1与 Sn+1的大小，并说明理由.思路分析：“试分析”在告诉我们，nb1与 Sn+1的大小可能随n 的变化而变化，因此对n的取值验证要多取几个.解：(1)由已知得，.27,125152aaaa又 an的公差大于0，a5a2.a2=3,a5=9.d=339525aa=2,a1=1.Tn=1-21b1,b1=32.当 n2 时，Tn-1=1-21bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-21bn-(1-21bn

16、-1),化简，得bn=31bn-1,bn是首项为32,公比为31的等比数列，bn=32(31)n-1=n32.an=2n-1,bn=n32.(2)Sn=2)12(1nn=n2,Sn+1=(n+1)2,nb1=23n,以下比较nb1与 Sn+1的大小:当 n=1 时，2311b,S2=4,11bS2,当 n=2 时,2912b,S3=9,21bS3,当 n=3 时,22713b,S4=16,31bS5.猜想：n4时，nb1Sn+1.下面用数学归纳法证明：（1）当 n=4 时，已证.(2)假设当 n=k(k N+,k 4)时,kb1Sk+1,即23k(k+1)2,那么，n=k+1 时,23111k

17、kb=323k3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+1 2=S（k+1）+1,n=k+1 时，nb1Sn+1也成立.由（1）(2)可知 nN+,n 4 时，nb1Sn+1都成立.综上所述，当n=1,2,3 时，nb1Sn+1.【例 2】(2006 江西高考，22)已知数列 an满足：a1=23,且 an=12311nanann(n 2,nN+).(1)求数列 an的通项公式；（2）求证：对一切正整数n，不等式a1 a2an2 n！恒成立.思路分析：由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；第（2）问的证明，可以等价变形，视为证明新的不等式.解：（1

18、）将条件变为：1-)11(311nnanan,因此，数列 1-nan 为一个等比数列,其首项为1-11a=31,公比为31，从而 1-nnan31n,文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V

19、4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A

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25、此得 an=133nnn(n 1).(2)证明：据得,a1 a2an=)311()311)(311(!2nn为证 a1a2an21.显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个nN+,(1-31)(1-231)(1-n31)1-(31+231+n31).用数学归纳法证明式；()n=1 时，显然式成立，()假设 n=k 时，式成立.即（1-31）（1-231）（1-k31）1-(31+231+k31),则当 n=k+1 时，(1-31)(1-231)(1-k31)(1-131k)1-(31+231+k31)(1-131k)=1-(31+231+k31)-131k+131k(31+231+k31)1

26、-(31+231+k31+131k).即当 n=k+1 时,式也成立.故对一切nN+,式都成立.利用,得（1-31）(1-231)(1-n31)1-(31+231+n31)=1-311)31(131n=1-211-(31)n=21+21(31)n21.绿色通道：本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明”，“只需证明”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的.文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:

27、CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W

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30、10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2

31、 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6

32、W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L

33、9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9名师精编优秀教案【变式训练】已知数列 an是正数组成的等差数列，Sn是其前 n 项的和，并且 a3=5,a4S2=28.(1)求数列 an的通项公式；（2）求证：不等式(1+11a)(1+21a)(1+na1)332121n对一切 nN+均成立.思路分析：第（2

34、）问中的不等式左侧，每个括号的规律是一致的，因此121n显得“多余”，所以可尝试变形，即把不等式两边同乘以12n，然后再证明.(1)解：设数列 an的公差为d，由已知，得.28)3)(2(,52111dadada(10-3d)(5+d)=28,3d2+5d-22=0,解之得 d=2 或 d=311.数列 an 各项均为正，d=2.a1=1,an=2n-1.(2)证明：nN+,只需证明(1+11a)(1+21a)(1+na1)12332n成立.当 n=1 时，左边=2，右边=2，不等式成立.假设当n=k 时，不等式成立，即（1+11a）(1+21a)(1+ka1)12332k.那么当 n=k+1

35、时，(1+11a)(1+21a)(1+ka1)(1+11ka)12332k(1+11ka)=1222332kk以下只需证明323321222332kkk.即只需证明2k+23212kk.文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N

36、10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档

37、编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7

38、D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5

39、V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3

40、A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L

41、9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR

42、1K6W2N10L9名师精编优秀教案(2k+2)2-(3212kk)2=10,(1+111a)(1+211a)(1+111ka)1)1(233232332kk.综上知，不等式对于nN+都成立.【例 3】（经典回放）设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+2)1(nnx2,nN+,x(-1,+),试比较 Pn与 Qn的大小，并加以证明.思路分析：这类问题，一般都是将Pn、Qn退至具体的Pn、Qn开始观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性.P1=1+x=Q1,P2=1+2x+x2=Q2,P3=1+3x+3x2+x3,Q3=1+3x+3x2,P3-Q3=x3,由此推测,Pn与 Qn的大小要由x

43、的符号来决定.解：(1)当 n=1,2 时，Pn=Qn.(2)当 n3 时，（以下再对x 进行分类）.若 x(0,+)，显然有PnQn;若 x=0，则 Pn=Qn;若 x(-1,0),则 P3-Q3=x30,所以 P3Q3;P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以 P4Q4;假设 PkQk(k 3),则 Pk+1=(1+x)Pk(1+x)Qk=Qk+xQk(运用归纳假设)=1+2)1(2xkk+x+kx2+2)1(3xkk=1+(k+1)x+2)1(kkx2+2)1(kkx3=Qk+1+2)1(kkx3Qk+1，即当 n=k+1 时，不等式成立.所以当 n3,且 x(-1,0)时，P

44、n12;n=2 时，22=22;n=3 时,2352,猜想 n5时,2nn2,简证2kk2(k 5),则当 n=k+1 时,2k+1=2 2k2 k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2.综上所述，n=1 或 n5时，f(2)1122nn;n=2 或 4 时,f(2)=1122nn;n=3 时，f(2)1122nn.问题探究问题：有两堆棋子，数目相同，两人游戏的规则是：两人轮流取棋子，每人可以从一堆中任意取棋，但不能同时从两堆取，取得最后一颗棋子的人获胜，求证后取棋子者一定可以获胜.设每堆棋子数目为n，你可以先试试能证明上述结论吗？导思：分析题设中的数学

45、思想，转化为数学问题，而本问题可以用数学归纳法证明.探究：下面用第二数学归纳法证明.证明：设每堆棋子数目为n.（1）当 n=1 时，先取棋子者只能从一堆里取1 颗，这样另一堆里留下的1 颗就被后取棋子者取得，所以结论是正确的.(2)假设当 n k(k 1)时结论正确，即这时后取棋子者一定可以获胜.考虑当 n=k+1 时的情形.先取棋子者如果从一堆里取k+1 颗，那么另一堆里留下的k+1 颗就被后取棋子者取得，所以结论是正确的.先取棋子者如果从一堆里取棋子m(1 m k)颗，这样，剩下的两堆棋子，一堆有 k+1 颗，另一堆有k+1-m 颗，这时后取棋子者可以在较多的一堆里取m 颗，使两堆棋子数目

46、都是k+1-m 颗，这时就变成了n=k+1-m 的问题，而不论 m 是 1k 的哪个整数，n=k+1-m 都是不大于 k 的正整数，由归纳假设可知这时后取棋子者一定可以获胜.于是，当n=k+1 时结论正确.由（1）（2）知，根据第二数学归纳法，无论每堆棋子的数目是多少，后取棋子者都能获胜.文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2

47、 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6

48、W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L

49、9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:CZ7D1W4Q5V4 HU3A9O10L9X2 ZR1K6W2N10L9文档编码:

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4.3 金币

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