2023年新高考复习讲练必备第27讲椭圆（解析）.docx

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1、2023年新高考复习讲练必备第27讲椭一、知识梳理.椭圆的定义如果为，西是平面内的两个定点，是一个常数，且2a四厂2|,那么平面内满足IPBI + IP&I =2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中两个定点B, B称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距 离历方21称为椭圆的焦距.其数学表达式：集合 M=P|PR| + |PB|=2a, |FiF2|=2c,其中 q0, c0,且 a, c 为常 数：(1)假设ac,那么点P的轨迹为椭圆；(2)假设。=c,那么点尸的轨迹为线段；(3)假设aVc,那么点P的轨迹不存在.1 .椭圆的标准方程和几何性质二、考点和典型例题标准方程5+:=30) %2/+从-l(6Z

2、/?0)图形yB2烈 JA2xy 松性质范围一bWyWbbWxWb一对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点4(一0), A2(q, 0),Bi(0, b), &(0, b)4(0, d)9 A2(0, a), Bi(一 b, 0), B2b 0)轴长轴A1A2的长为%;短轴的长为丝焦距FiF2=2c离心率e- 0(0, 1) a a, b, c的关系c2=a2b2故椭圆上不存在点P,使得乙.【典例3-5】椭圆二+与=1（。0）的一个顶点为。（0,1）,离心率为也. cr2求椭圆的方程：过椭圆右焦点且斜率为Z（ZwO）的直线加与椭圆相交于两点A3, y轴交于点E,线段A8的中点为P,直线/过点

3、E且垂直于。尸（其中。为原点），证明直线/过定点.【解析】依题意， =立， a 2/. 3a2 = 4c2乂 b = 1, a2 = b2 -h c2, c2 = 3, a2 = 42，椭圆的标准方程为+），=1. 4由（1）知右焦点坐标为（G,。），设直线加方程为 =% g），A（X，X）9JT9JT+ y2 =1y = Z（x_g）86k2/. X, + x7 =-1.1+4攵2.4A以 2.xp =-, yp/1 + 4/得，（1 + 4左2）一86公尤+ 12攵2-4 = 0,=k（Xp-岛1 + 4/，直线OP的斜率G 1=-；，Xp 4k.直线I的斜率号=4% ,令 = 0得点后坐

4、标为（0, ,直线/的方程为y = 4日-即尸耳4%-6）,二直线/恒过定点1、椭圆的定义及应用【典例1-1】,尸2是两个定点,且闺例1=2。（，是正常数），动点P满足|尸娟+|尸勾=片+1,那么动点p的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段 D.直线【答案】c【详解】解:因为储+L.2a （当旦仅当。=1时，等号成立）,所以|防| + |尸11|月巴|,当。0且。W1时，PFxPF2 FF2,此时动点P的轨迹是椭圆；当。=1时，PF.PF2=FF29此时动点尸的轨迹是线段工.应选：C.22【典例1-21椭圆上 +上=1的两个焦点为，F2,过F2的直线交椭圆于N两点，假设耳MN 43的周长为

5、（）D. 8D. 8A. 2B. 4C. 6【答案】D【详解】22由+ = 1 = = 2.43因为M, N是椭圆的上的点，耳、尸2是椭圆的焦点,所以“月+咋=2a,NE + N8 =2 ,因此的周长为 MF；+MN + N4 =M+ME + NE + N =2a + 2a = 4a = 8 , 应选：D【典例1-3】椭圆C:=1（。b0）的两个焦点分别为耳，工，尸是椭圆上一点，M|+|P用= 10,且离心率为，那么椭圆。的标准方程为（222222A. 一 + = I B. 一 + = 1C. 一 + = 1251025203020【答案】B【详解】根据椭圆定义可得|尸耳|+|尸闾=2 = 1

6、0,所以。=5,由离心率e = =正.,所以二石， a 5由=25 5 = 20,22所以椭圆C的标准方程为三十二=1. 25 20应选：B【典例1-4】椭圆三+目=1的左、右焦点分别为G，A，点以在椭圆上，假设I叫1=4,那么/我附乙= 92（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】c【详解】22解：由题意，椭圆方程工+工=1, “J得q = 3,Z? = J,c =，92所以焦点 （-币,0）,月（e,0）,又由椭圆的定义，可得网+|网=2/=6,因为IM4|=4,所以|M闾二2,在4中，由余弦定理可得忻尼2MGMe|cosNKM,所以（2疗 =42 + 22 2 x 4

7、x 2cosN耳明,解得cosNEg =-4,又由/大M鸟 （0,180）,所以/Mg=120.应选:C.22O【典例1-5】点P在椭圆三十:=1上，耳与Fz分别为左、右焦点，假设/耳”=?,那么与神的16 43面积为（）A. 45/3B. 673C. 8百D. 1373【答案】A【详解】pfpf2 = s附+|叫2T甲小，又属剧=45 解得附|附1 = 16, cE=一鹏一S4FPF =；|尸制| 尸用 sin/PB=；xl6x* = 4G.应选：A.2、椭圆的简单几何性质22【典例2-1】椭圆二十与=1的左右焦点分别为序乙,右顶点为8,点A在椭圆上，满足 cr lr2 =4% =6。，那么

8、椭圆的离心率为（A. BB. V13-32C. 273-3D. V3-1【答案】B【详解】由？耳4月?ABF2, ?AFF2 ?4片3得*46耳A4 ,故|A娟2=|大闻?忸闻，即|小用=J2c(+c),故AF2-la - yl2c(a+c) , FR = 2c ,在居中，由余弦定理可得：耳号=际 + AF2 _2*AF2 cos60 ,探 I螂z-，2c(q+c)探 I螂z-，2c(q+c)2c(q+c)急 O即2+，闻备,那么/+5己 10e+4 = 0,/+5/_ i0e+4 = 0? (/ 1)+5(/-2e+l) =0? 5(e 1) (/+6e-4)=0,因为 ew,所以/+66.

9、4 = 0 解得e = g-3或-g-3 (舍)，应选：B.2222【典例2-2】椭圆G：上1与双曲线。2：的离心率之积为1,那么双曲线G的两条渐近线的倾斜角分别为()A兀兀7-6B.713713一 兀 2兀D.33【答案】D【详解】因为椭圆a：因为椭圆a：%。】与双曲线如/小的离心率之积为-所以有容.上产= ln=3/nb =宿,因此双曲线。2的两条渐近线方程为：y = -xy = y/3x9 aTT7 71所以双曲线G的两条渐近线的倾斜角分别为三， 应选：D【典例2-3】点4 6为椭圆吟+ /叱八。)的长轴顶点，P为椭圆上一点，假设直线防PB(32 1的斜率之积的范围为-，-W ，那么椭圆

10、的离心率的取值范围是()I 45)A.B.V3 V2c.c.D.fi nJ93【答案】A【详解】力 2/ o n （ i n由题得：%=下“卜丁十所以 应选：A.2【典例2-4】双曲线/ 一二=1的左、右顶点为A, B,焦点在y轴上的椭圆以A, 5为顶点，且离 4心率为且，过A作斜率为的直线/交双曲线于另一点M,交椭圆于另一点N,假设京=2丽，那么%的 2值为（）A. 久3 B. 土RI c. D. 1353【答案】B【详解】22设所求椭圆的标准方程为3 +a=1 （。22设所求椭圆的标准方程为3 +a=1 （。/?0）,半焦距为* = J/-/卜双曲线炉 = 1的左顶点为A（-I,o）,右顶

11、点为B（l,o）, 4由于椭圆三+乂 = 1以A, 3为顶点，那么。=1,该椭圆的离心率为e = = Y3, a2 h2a 2a = 2解得卜=1c = a/3b = 2,所以，椭圆的方程为f+2L = i, 42,所以，椭圆的方程为f+2L = i, 4由于前=2而7,所以，=坐 a 2b a2 c2X.设点由于点N在椭圆上，点”在双曲线上,2联立得：3焉+/-2 = 0,解得=-1或%=寸当=-1,所以y=。，此时点N与点A重合，不满足题意舍去;当x= , c =一力 2 =且1,FF0 =2c = y/13 ,25322MF + MF2 = 2a = 5因为且点”为第一象限内的点,那么眼

12、耳(+眼用2=闺周2=3,MR MF2翻折前，过点耳作耳A，MN,垂足为点A,过点尸2作入垂足为点3,那么忸闻= 2sin(9, |BM| = 2cos9, |Af；| = 3sin 工6 =3cos6, (2)(ji、AM = 3 cos0 =3sin6,(2)所以，=忸M|二|3sin6 2cosq,因为平面MA与，平面MA%,平面MA/。平面”叫=MN, 5（=平面加叫,BF21MN ,.3与，平面MN百，34u平面MN, /. BF2VBF,又因为Af；_LMN,耳司2 =忸+忸=|a用2 +|阴2 +忸鸟=9cos2 e +（3sin9-2cos，）2 + 4sin2 = 13-12

13、sincos = 13-6sin20 , 061,所以耳4。,那么/耳Ag =-1（尤-佝，即x + 回-# = 0,设尸（辰osd&sin。），那么点尸到直线A5的距离为d = f 巴也，其最大值为41ax=曳2二1）,同理点。到直线48的最大 -222值为Q =（二+ 1）,所以四边形AP3Q面积的最大值为 max2=j|A斗（4ax +心）=j . 20.26 = 2指，故正确.应选：BD【典例3-21（多项选择）过椭圆+1=1的中心任作一直线交椭圆于P,。两点，乃是椭圆的左、右焦 25 lo点，A, 5是椭圆的左、右顶点，那么以下说法正确的选项是（）A. PQ与周长的最小值为18B.四

14、边形P耳。与可能为矩形C.假设直线出斜率的取值范围是|,|,那么直线尸3斜率的取值范围是-,D.两方的最小值为-1【答案】AC【详解】a：根据椭圆的对称性，|也+|国+|眄|=|图+|%i+i尸耳i=i尸a+io,当尸。为椭圆的短轴时，|pq有最小值8,所以PQ&周长的最小值为18,正确；B：假设四边形尸片为矩形，那么点P,。必在以片鸟为直径的圆上，但此圆与椭圆!+ = 1无交点，错 25 lo、口厌；（ 门16 1-泡C：设那么女也=%二 巾 二I 25人16 ,因为直线抬斜率的范围是犷 -x0+50-5-xJ-25- x-25 25|，外，所以直线PB斜率的范围是-1，-,，正确；D：设产

15、宙,为）,那么尸耳,尸3 = （-3-玉，一 %）（5-%,一 %）二君一2%-15 + y： =% 一 2%15 + 16 1-今 ,乙J为-5X。5,所以当天=和寸，峭而最小值为-治，错误.应选：AC9【典例3-3（多项选择）椭圆C：三+6关于坐标原点对称，那么（C. C的焦距是短轴长的2倍92525的左，右焦点分别为耳，鸟，A, B两点都在。上，且A, BB.D.布| 十忸制为定值存在点4使得A耳，人工【答案】ABD【详解】解:由题意,a2 =6,/?2 =2,c2 =a2-b2 = 4,所以q =逐/=V2,c = 2,| AB 2a = 26，1 = 0,所以A正确，C错误;由椭圆的

16、对称性知，|蝴|+忸耳|=|A用+|A图=勿=2后,所以B正确;6 + 6_42当A在y轴上时，cos/耳4耳=b0）的两焦点分别为耳（TO）和6（1,0）,短轴的一个端点为（0,73）.求椭圆。的标准方程和离心率；椭圆。上是否存在一点P,使得尸耳，。尸2?假设存在，求耳工的面积；假设不存在，请说明理由.【解析】由焦点坐标知c = l,由短轴端点倒知/2 = 5 所以/=/+/=3 + 1 = 4,22故所求椭圆标准方程为三+ = 1.43（2）假设椭圆。上存在一点尸（公，为），使得尸”，尸尸2，那么所.质= （T-%）（1%,%） = 0,即7 + 巾=1,片+%=1联立 焉 耳2,得/2=-8,此方程无解143