(2013-2016)考研数一真题答案解析.doc

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1、 考研超级班主任 让考研更轻松！ 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1.已知极限，其中k，c为常数，且，则（ ）A. B. C. D. 【考点分析】：无穷小的比较，同阶无穷小，洛必达法则的应用。 【求解过程】：D（洛必达法则）=由于c为常数，则k-3=0，即k=3，因此。【方法总结】：此类题目为典型的基础题，历年真题中出现若干次，也是一种经典的练习题目，此类题目解题方法比较固定，无非就是，洛必达法则，等价无穷小代换和泰勒公式的使用，读者对这类题目只

2、要打好基础，多多练习即可；若此类问题解决不好，一定要充分的复习基础，考研数学基础第一。2.曲面在点处的切平面方程为（ ）A. B. C. D. 【考点分析】：切平面方程求法。【求解过程】：A一个曲面在某个点的切平面方程，核心就是该点处的法向量。法向量为（，）=求得法向量为（1，-1，1），因此。【方法总结】：同样是考查基础的题目，详情见高数（同济版下册）98页，关于切平面和切线的求法要熟练，教材中例题和本题十分相似，不再赘述。 3.设，令，则（ ）A . B. C. D. 【考点分析】：傅里叶级数，收敛定理。【求解过程】：C注意观察本题目，和函数形式为正弦级数，因此是奇函数，同时观察的形式，得

3、知周期为2，为连续点，因此【方法总结】：傅里叶级数的题目类型比较单一，多数是考查和函数的求法和收敛定理的使用，收敛定理内容见高数（同济版下册）306页，和函数求法见316页。4.设，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则A. B. C. D 【考点分析】：格林公式。【求解过程】：D（格林公式），其中表示所围成的部分。如下图，红色部分（）内部被积函数均为正值可以发现被积函数在内均为正值，且面积大于，因此。同时的面积大于，并且包括所有部分，而除去的其他部分被积函数均为负值，因此。并且的面积小于，而包括所有部分，而除去其他部分被积函数均为负值，因此。综上，最大为。【方法总结】： 本题考察格林公式的使用，

4、转化为二重积分后亦可直接算出四个积分的值然后比较，但明显增加了计算量。关于格林公式的定义见高数（同济版下册）202页。5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【考点分析】：向量组等价定义。【求解过程】：B两个向量组等价，那说明他们列向量可以互相表示。设A，C的列向量组为（）。,对于每一个向量，C中各个列向量均可由A中列向量表示；由于B可逆，同理。两个向量组的任何一个列向量向量都可以由对方列向量线性表示。【方法总结】

5、： 本题考察列向量组等价的定义。6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ）A. B. 为任意常数 C. D. 为任意常数【考点分析】：相似矩阵。【求解过程】：B两个矩阵相似，他们拥有相同的特征值，分别为2，b，0.设A=,则=很明显只要满足a=0即可使A的特征值满足上述条件。【方法总结】： 本题考察列相似矩阵的定义。7.设是随机变量，且，则（ ）A. B. C. D【考点分析】：标准正态分布性质。【求解过程】：A全部转化到标准正态分布上。通过观察标准正态分布图像可知，。【方法总结】： 本题考察标准正态分布的定义和性质。8.设随机变量,，给定，常数c满足，则( )A. B. C. D.【考点分析】：数

6、理统计三大分布。【求解过程】：C，设,因此。，因此，可以得知【方法总结】： 牢记三大分布的形式和性质是解决本题的关键。二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则 。【考点分析】：隐函数求导，极限。【求解过程】：1(设m为n的倒数)方程左右两边对x求导，得：，当x=0时，带入得y=1,将他们一并带入上式，得，因此极限的值为1.【方法总结】：为0*型的极限，此类极限求法为先将其化作型或者型，然后使用洛必达法则，等价无穷小代换或者泰勒公式求得。10.已知y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3

7、= xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。【考点分析】：二阶常系数微分方程求解。【求解过程】：容易得知y3= xe2x是该方程的一个特解，而为该方程对应的齐次方程的两个线性无关的特解，根据二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构得知，该方程通解为：。【方法总结】：二阶常系数微分方程求解方法重在记忆，其出题形式不多变，多多练习熟悉即可。关于其求法详解见高数（同济版上册）325，332页11.设。【考点分析】：参数方程求导。【求解过程】：先求一阶导数，带入t的值，原式=。【方法总结】：对于参数方程求导和反函数求导的题目，需要掌握求导的过程，特别对于其中二阶倒数甚至更高阶

8、导数的求法，更需认真对待。12.。【考点分析】：反常积分，分部积分法。【求解过程】：【方法总结】：分部积分法的应用是本题的关键，对于常见函数的微分积分公式的记忆也是不可或缺的。13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则A。【考点分析】：伴随矩阵。【求解过程】：-1从题目条件得知，根据A和它的伴随矩阵之间的关系得知（1）再根据公式，两边取行列式解得：或而对于A对应的行列式如果为0，由（1）得知与非零阵的条件矛盾。因此。【方法总结】：，该公式的使用极为广泛，需要熟练掌握。14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a

9、为常数且大于零，则PYa+1|Ya=【考点分析】：贝叶斯公式，指数分布公式。【求解过程】：。【方法总结】：对于几个常见的分布函数的形式要牢记并熟练掌握。三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) （15）（本题满分10分）计算，其中f(x)【考点分析】：换元积分法，分部积分法，积分上限函数求导。【求解过程】：。被积函数带有积分号，要先想办法去掉积分号，先使用分部积分。原式通过计算后只需求得的值即可。综上所述，原式值为。【方法总结】：换元积分法和分部积分法要熟练掌握，在准确记忆的基础上多多练习计算积分，就可以熟能生巧，积分上下限

10、函数求导方法要熟练掌握，其具体方法见高数(同济版上册)237页。(16)(本题10分)设数列an满足条件：S（x）是幂级数（1）证明：（2）求【考点分析】：微分方程，幂级数。【求解过程】： （1）证明： 求导得：求二阶导数：根据题目已知条件：得知，易得知： 证毕（2）由（1）得知微分方程对应的特征方程为,因此为：带入，解得分别为2，1.。综上所述，。【方法总结】：幂级数求导和积分的性质要熟练掌握（同济高数下276页），几种常见的微分方程解法需牢记。（17）（本题满分10分）求函数.【考点分析】：多元函数极值及其求法。【求解过程】：根据二元函数极值的必要条件，得到方程组：求得驻点为。根据取得极值

11、的充分条件：在点上，所以函数在此点不存在极值。在点上，所以函数在此点取得极小值，带入得函数值为。综上所述，函数在上取得极小值。【方法总结】：对于多元函数极值求法，教材叙述较为详细，同时提醒一下容易被同学们忽略的地方：1) 极值问题除了要考虑函数的驻点外，也要考虑一些偏导数不存在的点。2) 对于条件极值和拉格朗日乘数法也要熟练掌握。在同济版高数下册111页对于函数极值问题的求法叙述十分详细，笔者认为只要练习几道题，这类问题完全可以解决。(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（1） 存在（2） 存在【考点分析】：中值定理。【求解过程】：（1） 构造函数。

12、因为是奇函数所以得到，进而得到：根据罗尔定理，存在即,证毕。（2） 构造函数。因为是奇函数得， 可以得到：根据为奇函数得到，两边求导也就得知根据罗尔定理，存在即存在,证毕。【方法总结】：使用罗尔定理证明函数存在性问题，关键在于构造函数，构造函数的方法是求得要证明式的原函数，有时可能需要借助等，如第二问中构造函数为亦可，这时使用第一问的结论内使用罗尔定理得到证明。19.(本题满分10分)设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。（1） 求曲面的方程；（2） 求的形心坐标。【考点分析】：直线旋转形成曲面的方程，立体的形心。【求解过程】： （1

13、）求得L的方向向量为，因此直线L的方程为：绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程为：消去参数，因此L绕z轴旋转后得到的曲面方程为: 即。（2） 求型心坐标的关键为求，由于立体关于x,y轴对称，因此形心坐标为。根据形心坐标公式：综上，求的形心坐标为。【方法总结】：曲面参数方程求法是固定的，具体方法见同济版高数下册34页；而形心的求法为固定公式，记住并会应用即可，具体方法见同济版高数下册170页关于质心的求法。20.（本题满分11分）设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。【考点分析】：矩阵基本运算，线性方程组。（本题有必要细说一下，笔者在考场第一次遇见这个题目时候，开始觉得

14、是通过变换这个等式AC-CA=B来求解，导致浪费了一部分时间，实际上本题是解线性方程组的题目，而方法也是十分简单的设出C的四个未知数即可。）【求解过程】： 设,通过运算AC，CA得：，,问题转化为解线性方程组：（此处代表初等行变换）若此线性方程组有解，那么可知a,b分别为-1，0。带入，解得综上所述 （其中为任意常数）。【方法总结】：本题是一个线性方程组十分基础的题目，唯一存在可以认为为难点的地方是，可能根据以前的经验，本题并不是一个线性方程组的题目。21.（本题满分11分）设二次型，记，。（1） 证明二次型f对应的矩阵为；（2） 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。【考点分析

15、】：二次型。【求解过程】： （1） 证明：因此二次型f对应的矩阵为。证毕。（2） 证明：设（1）中矩阵为，求得A的一个特征值2求得A的另一个特征值为1。在三维空间内必存在一个向量，它和都正交。因此。因此f在正交变换下的标准形为。【方法总结】：二次型基础题，熟练掌握基本内容即可。22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为令随机变量（1） 求Y的分布函数；（2） 求概率.【考点分析】：分布函数。【求解过程】： （1） 先求出的值：，解得。设Y的分布函数为，可知：综上所述，Y的分布函数为。（2）【方法总结】：熟练掌握分布函数定义是解决本题的关键。23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为其中

16、为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本。（1） 求的矩估计量；（2） 求的最大似然估计量。【考点分析】：矩估计和极大似然估计。【求解过程】： （1）因此的矩估计量。（2） 构造似然函数，对似然函数取对数：令，得到的最大似然估计量。【方法总结】：矩估计和最大似然估计是常考的内容，并且解决的方法单一，一定要对此类题目掌握熟练，争取满分。2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】C【

17、考点】函数图形的渐近线【解析】对于选项A， 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A没有铅直渐近线，而不存在，因此选项A中的函数没有斜渐近线；对于选项B和D，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C选项，.由于，又.所以存在斜渐近线.故选C.（2）设函数具有2阶导数，则在区间内（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【答案】D【考点】函数图形的凹凸性【解析】令有，当时，在上是凹的，所以，从而.选D.（3）设是连续函数，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换【解析】画出积分区域.或.故选D.（4）若，则（ ）（A） （B）

18、 （C） （D）【答案】A【考点】定积分的基本性质【解析】故当时，积分最小.故选A.（5）行列式（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【考点】行列式展开定理【解析】.故选B.（6）设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（ ）（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】A【考点】向量组的线性无关的充要条件【解析】记若线性无关，则线性无关.由线性无关不一定能推出线性无关.如：，线性无关，但此时线性相关.故选A.（7）设随机事件A与B相互独立，且，则（ ）（A）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4【答案】B

19、【考点】概率的基本公式【解析】.故选B.（8）设连续型随机变量相互独立，且方差均存在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则（A） （B）（C） （D）【答案】D【考点】统计量的数学期望【解析】，.，.，二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲面在点处的切平面方程为【答案】【考点】曲面的切平面【解析】，曲面在点处的切平面方程为，即（10）设是周期为的可导奇函数，且，则【答案】1【考点】函数的周期性【解析】由于，所以又是奇函数，解得是以4为周期的奇函数，故（11）微分方程满足条件的解为【答案】【考点】变量可分离的微分方程【解析】 令，则，

20、代入，得即分离变量，得两边积分得，即即代入初值条件，可得，即整理可得.（12）设是柱面与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分【答案】【考点】斯托克斯公式【解析】由斯托克斯公式，得其中（13）设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是【答案】【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形【详解】【解法一】二次型对应的系数矩阵为：，记特征值为则，即特征值必有正有负，共3种情况；故二次型的负惯性指数为特征值1负2正或1负1正1零；，即【解法二】若负惯性指数为1，则（14）设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若是的无偏估计，则【答案】【考点】统计量的

21、数字特征【解析】根据题意，有三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】（16）（本题满分10分）设函数由方程确定，求的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导： 令，得，或（舍去）将代入原方程得 解得，此时.对式两端再求导，得将，代入上式，得 ，即在处取极小值，极小值为.（17）（本题满分10分）设函数具有2阶连续导数，满足，若，求的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【解析】由，知，由，代入得即

22、令，则特征方程齐次方程通解为设特解，代入方程得，特解原方程的通解为由，得 （18）（本题满分10分）设为曲面的上侧，计算曲面积分【考点】高斯公式【解析】因不封闭，添加辅助面，方向向上（其中，因为积分区域关于对称，积分函数分别是的奇函数）在曲面上，故（19）（本题满分10分）设数列满足，且级数收敛.（I）证明：（II）证明：级数收敛.【考点】级数敛散性的判别【解析】证明：（I），级数收敛，级数收敛，.（II）解法1：，且级数收敛，级数收敛.解法2： 同阶无穷小有相同的敛散性，由 收敛收敛（20）（本题满分11分）设为阶单位矩阵.（I）求方程组的一个基础解系；（II）求满足的所有矩阵.【考点】齐次

23、线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解【详解】对矩阵施以初等行变换（I） 方程组的同解方程组为，即基础解系为（II）的同解方程组为：，即通解为的同解方程组为：，即通解为的同解方程组为：，即通解为，为任意常数（21）（本题满分11分）证明：阶矩阵与相似【考点】矩阵的特征值、相似对角化【详解】设，因为，所以的特征值为：的特征值为：关于的特征值，因为，故有个线性无关的特征向量，即必可相似对角化于同理，关于的特征值，因为，故有个线性无关的特征向量，即必可相似对角化于由相似矩阵的传递性可知，与相似.（22）（本题满分11分）设随机变量的概率分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布，（I）求的分

24、布函数；（II）求【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望）【详解】（I） 当 时， 当时， 当时， 当时，综上：（II）随机变量的概率密度为 （23）（本题满分11分）设总体的分布函数，其中是未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.（）求与；（）求的最大似然估计量；（）是否存在实数，使得对任何，都有？【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性）【解析】（）的概率密度为（）设 为样本的观测值，似然函数为当时，两边取对数，得两边求导，得令，得所以，的最大似然估计量为.（）存在.因为是独立同分布的随机变量序列，且，所以根据辛钦大数定律，当时，依概率收敛于，

25、即.所以对于任何都有.2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:共8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微

26、分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A）(3) 若级数条件收敛，则 与依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点(D) 发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，

27、收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）. (4) 设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，所以，故选（B）(5) 设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，由，故或，同时或.故选（D） (6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中 ，若 ，则在正交变换下的标准形为( )(A) (B) (C) (D)

28、 【答案】(A)【解析】由，故.且.由已知可得:故有所以.选（A）(7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) .(8)设随机变量不相关，且，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】 ，选(D) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：方法二： (10) 【答案】【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化

29、简. 【解析】 (11)若函数由方程确定，则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令，则又当时，即.所以，因而(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则【答案】【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得，其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以 (13) 阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】 【解析】由题设知，而且相互独立，从而 .三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)

30、 设函数，若与在是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：因为分子的极限为0，则，分子的极限为0，(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.【答案】.【解析】设在点处的切线方程为：令，得到，故由题意，即，可以转化为一阶微分方程，即，可分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(17)(本题满分10分)已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.，故，模为，此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问

31、题.为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：，得到.所以最大值为.(18)(本题满分 10 分)（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，写出的求导公式.【解析】（I） （II）由题意得 (19)(本题满分 10 分) 已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.【答案】【解析】由题意假设参数方程， (20) (本题满11分) 设向量组内的一个基，.（I）证明向量组为的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)证明： 故为的一个基.（II）由题意知，即即即，得k=0 (21) (本题满分11 分) 设矩阵

32、相似于矩阵.求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.【解析】(I) (II)的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，(22) (本题满分11 分) 设随机变量的概率密度为对 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.(I)求的概率分布;(II)求 【解析】(I) 记为观测值大于3的概率，则，从而， 为的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生.则，(注：Ge表示几何分布)所以.法二:直接计算记，则，所以，从而.(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.【解析】(I) ，令，即，解得为的矩估计量；(II) 似然函数，当时，则.从而，关于单调增加，所以为的最大似然估计量.2016年考研数学（一）试题解析一、选择题1、C2、D3、A4、D5、C6、B7、B8、二、填空题9、10、11、12、13、14、三、解答题15、16、17、18、19、20、21、22、23、手机微信扫描二维码关注考研班主任微信公众号：kaoyan33，获取最新考研咨讯，免费获取更多资料