中值定理-导数的应用.ppt

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1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社微积分第四章第四章 中值定理中值定理微积分中值定理中值定理 第二章我们

2、讨论了微分法，解决了曲线的切线、第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。应用问题。我们知道，函数我们知道，函数在区间在区间上的增量上的增量可用它的微分可用它的微分来近似计算来近似计算 其误差是比其误差是比高阶的无穷小高阶的无穷小是近似关系是近似关系微积分是极限关系是极限关系,都不便应用都不便应用 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此，不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange中值定理给出了圆满的解答：中值定理

3、给出了圆满的解答：导数应用的理论基础导数应用的理论基础 本章我们先给出本章我们先给出Rolle定理（它是定理（它是Lagrange定定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明Lagrange定理和定理和Cauchy定理，有了定理，有了Cauchy定理定理就可以给出就可以给出Taylor中值定理及中值定理及L，Hospital法则，法则，这就是本章理论部分的主要内容。这就是本章理论部分的主要内容。微积分理论部分结构图理论部分结构图Lagrange定理定理特例特例Rolle定理定理推广推广Cauchy定理定理推推广广Taylor定理定理微积分 本章的导数应用部分

4、就是以此为基础展开讨论本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了条件；有了L，Hospital法则，可以进一步讨论法则，可以进一步讨论等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和单调性还可证明一些不等式。单调性还可证明一些不等式。重点重点微分中值定理微分中值定理L，Hospital法则法则Taylor公式公式求函数的极值和最值求函数的极值和最值微积分难点难点中值定理中值

5、定理L，Hospital法则的运用法则的运用利用中值定理证明不等式利用中值定理证明不等式基本要求基本要求 正确理解和掌握正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之定理及它们之 间的关系间的关系 熟练运用熟练运用L法则求未定式的极限法则求未定式的极限掌握函数展开成掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记公式的方法，熟记的的Taylor公式公式微积分熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式来证明不等式正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法条件及求法掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点掌握函数

6、凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点会用中值定理证明不等式会用中值定理证明不等式先讲中值定理，以提供必要的理论基础先讲中值定理，以提供必要的理论基础微积分一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理定理定理(Rolle)(Rolle)若函数若函数f f(x x)满足满足（1 1）在闭区间）在闭区间 a a,b b 上连续上连续（2 2）在开区间）在开区间(a a,b b)内可导内可导（3 3）在区间端点处的函数值相等）在区间端点处的函数值相等f f(a a)=)=f f(b b)例如例如,微积分几何解释几何解释:若连续曲线弧的两个若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处且

7、除去两个端点外处处有不垂直于横轴的处有不垂直于横轴的切线，切线，物理解释物理解释:变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.微积分证证微积分微积分注注 Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：如：y=x2在在-1,2上满足上满足(1),(2)，不满足，不满足(3)却在却在(-1,2)内有一点内有一点 x=0 使使但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立但定理的条件又都是必须的，即为了保证

8、结论成立三个条件缺一不可。三个条件缺一不可。例如例如,微积分又例如又例如,在在0,1上除去上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的不连续外，满足罗尔定理的一切条件一切条件再例如再例如在在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件尔定理的一切条件罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；的点。有的函数这样的点可能不止一个；微积分另外还要注意点另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，也不一定能指出是

9、哪一点，如如在在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而上满足罗尔定理的全部条件，而但却不易找到使但却不易找到使但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用微积分例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,微积分例例2证明证明至多有三个实根至多有三个实根证证直接证明有困难，采用反证法直接证明有困难，采用反证法设设有四个实根有四个实根连续、可导连续、可导对对用罗尔定理得用罗尔定理得连续、可导连续、可导对对用罗尔定理得用罗尔定理得微

10、积分连续、可导连续、可导对对用罗尔定理得用罗尔定理得矛盾矛盾得证结论成立得证结论成立微积分二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理微积分几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为微积分作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.微积分拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理

11、推论推论1推论推论2 2微积分例例2 2证证微积分例例3 3证证由上式得由上式得微积分例例4证证Lagrange定理定理微积分例例5设抛物线设抛物线与与 x 轴有两个交点轴有两个交点函数函数f(x)在在a,b上二阶可导上二阶可导曲线曲线y=f(x)与抛物线与抛物线在（在（a,b）内有一个交点）内有一个交点证明证明证证如图所示如图所示oxyy=f(x)abcMN微积分由罗尔定理，得由罗尔定理，得再由罗尔定理，得再由罗尔定理，得微积分三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理微积分几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数微积分Cauchy定理又称为广义微分中值定理定理又称为广义微分中值定理

12、微积分例例6 6证证分析分析:结论可变形为结论可变形为微积分例例7设设f(x)在在x=0的某邻域内具有二阶导数，且的某邻域内具有二阶导数，且试证试证证证由题设知由题设知满足满足Cauchy定理的条件定理的条件 由由Cauchy公式得公式得再对函数再对函数应用应用Cauchy公式，有公式，有微积分若若f(x)在在x=0的某邻域内具有的某邻域内具有 n 阶导数，且阶导数，且这就是这就是Taylor公式公式微积分例例8 设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，证明证明证证f(x)在在a,b上满足上满足Lagrange定理的条件定理的条件满足满足Cauchy定理的条件定理的

13、条件满足满足Cauchy定理的条件定理的条件微积分注注这类所谓多中值问题的证明一般不作辅助函数这类所谓多中值问题的证明一般不作辅助函数而是分别求出一个函数的而是分别求出一个函数的Lagrange公式，另一公式，另一个函数的个函数的Cauchy公式，利用公式，利用f(b)f(a)或某种运或某种运算建立关系。算建立关系。微积分微积分微积分微积分微积分微积分微积分返回返回微积分四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.微积分思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.微积分思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个例子都可说明问题以上两个例子都可说明问题.