最短路径问题总结提升教学设计.docx

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1、最短路径问题教学设计一、课标分析2011版数学课程标准指出：“模型思想的建立是学生体会和 理解数学与外部世界联系的基本途径。”随着现代信息技术的飞速发 展，极大地推进了应用数学与数学应用的开展，使得数学几乎渗透到 每一个科学领域及人们生活的方方面面。为了适应科学技术开展的 需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中 逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和 参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校 的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，数学建模难度 大、涉及面广，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、 不断完善和提高的过程。新课

2、标强调从生产、生活等实际问题出发, 引导学生运用数学知识，去解决实际问题，培养应用意识与能力。因 此，数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培养学生应用数学 的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段。但从教学的反应信 息看，初中学生的数学建模能力普遍很弱，这与课堂教学中忽视对 学生数学建模能力的培养不无关系。要想提高学生的建模能力，我 们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有的知识出发，从社 会热点问题出发，让学生直接接触数学建模，培养学生抽象能力以 及运用数学知识能力。现实生活中问题是很复杂的，有些问题外表看 来毫无相同之处，但抽象为数学模型，本质都是相同的，这些问题都 可以用类似的方法解

3、决。本节课的教学中注重模型归类，多题一模,五、所选技术:希沃、PPT、思维导图、在线画板、微视频。六、技术使用的目的：(1)思维导图是有效的思维模式，简单却又及其有效。思维导 图运用图文并重的技巧，把最短距离知识点应用方法直观归纳给学生。(2)微视频能够简练归纳总结相关知识点，成为本节课中总结 提升的重要的组成局部，较好地知识内容提升，梳理数学方法应用， 促进学生对所学知识和技能的整体理解和应用。帮助学生更为直观 地理解和发现知识之间的关联。比教师直接灌输知识，会更加印象深 刻，理解也会更加透彻。训练学生归纳能力，培养学生数学建模能力。二、教材分析本节课是在学习了基本领实：“两点之间线段最短”

4、和轴对称的 性质的基础上，引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。 它既是轴对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考, 在知识与能力转化上起到桥梁作用。对于本节课的内容，人教版教 材没有独立编排，只是随着学生数学学习的不断推进，逐步添加了部 分题目来逐步渗透，这也使大局部学生忽视了这一知识点。设计整 合了一些以三角形、直角坐标系为背景的最短路径问题，让学生直面 数学模型，体会数学的本质，有利于学生系统的学习知识。学习目标：1 .能够利用基本领实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”， 从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型，体会轴对 称的“桥梁”作用。2 .通过训练

5、，提高综合运用知识的能力。教学重点：通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短” 问题，学会从知识内容中提炼出数学模型和数学方法。教学难点：从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。突破难点的方法：对应模型，找出本质问题。突出重点的方法:通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点。 突破难点的方法：线段公理和轴对称性质的灵活运用和提升是个难点，加上指导 学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学 中要充分运用现代技术教学手段，通过启发引导，例题讲解，变式提 升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入, 逐一突破难点。三、学情分析

6、对于九年级的学生来说，已学过一些关于空间与图形的简单推理 知识，具备了一定的合情推理能力，能应用线段公理、轴对称的性质 等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维 缺乏灵活性。最短路径问题，学生在八年级已经有所接触。对于直线异侧的 两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小， 学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点。 但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点 的距离之和最小，受已有经验和知识基础的影响，局部学生在八年 级学习时很茫然，找不到解决问题的思路。所以想通过本节课引导 学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的

7、快乐，提高学习的 兴趣，防止死做题，以到达提高学习能力的目的。四、教学设计（一）知识回顾.如下图：从家到学校有三条路可供选择，选择哪条路距离最 短？你的理由是什么？1 .如图，点P是直线I外一点，点P与该直线I上各点连接的所有线 段中，哪条最短？为什么？2 .你能说出轴对称的性质吗？【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识。【设计意图】为本节课的学习扫清知识障碍。（二）创设情境、模型架构情境1：（1）下列图是停车场和售票厅的相对位置，为了在旅游高峰期尽快 到达售票厅排队买票，你们会在人行小路的哪个位置横过小路使得所走的路程最短?（2）现在假设点A,B分别是直线I异侧的两个点，如何在I上找到一个点，

8、使得这个点到点A,点B的距离的和最短？y【设计意图】通过一个很简单的实际问题，让学生认识到数学来源于生活，服务与生活，曾庆学生的应用意识。情景2（1）如图，建春门的河岸1处的旅游船先前往河岸2的渡口接 游客，然后将游客送往桃花岛上游览，请问工作人员把渡口设定在河岸2的何处，使得路径最短，才能到达节约本钱的目的.河岸2(2)能不能抽象为数学问题?【设计意图】通过一个很简单的实际问题，让学生认识到实际问题可 以抽象为数学问题，并通过已学知识来解决实际问题。提高学生的 应用意识。(3)怎样把点B移到直线I的另一侧呢？可利用什么知识？【设计意图】通过作图，回顾对称轴的性质，并让学生认识到具体 怎么应用

9、所学知识。(4)你能用所学知识证明AP+BP最短吗？【学生活动】学生尝试证明，并互相补充，最后达成共识。教师适 当提示。【设计意图】引导学生找出点A或B的对称点及任意一点C ,让 学生尝试排除法。情境3：(1)你能解决“将军饮马问题”吗？【学生活动】根据前面的两个情境问题学生尝试回答，并互相补充， 最后达成共识：a.从A地出发，到河边I饮马，然后到B地；b.在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A, B连接起来的 两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程 之和；强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。【设计意图】用简单思维导图来直观的归纳出前面所探究的步骤，给 学生建

10、立解决问题的知识架构。（2）将军饮马问题的变式：如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的 家，是草地的边沿，是一条笔直的河流。每天牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处。 请在图上画出牧民行走的最短路线（保存作图痕迹）。（3）如何运用将军饮马问题的解决方法去解决实际问题呢？（利用微视频归纳知识点）（三）模型应用课堂练习：1 .练一练：如图，直线I是一条河，P、Q是两个村庄.欲在I上的某 处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图 中实线表示铺设的管道，那么所需要管道最短的是（）.如图，点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边

11、的中点,AD=5,点F是AD边上的动点，那么BF+EF的最小值为（）A. 7.5B. 5 C. 4 D.不能确定【方法总结】此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后 将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据条件求解。2 .如图，在直角坐标系中，点A, B的坐标分别为（1, 4）和（3, 0）,点C是y轴上的一个动点，且A, B, C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（）A. （0, 3） B. （0, 2） C. （0, 1）【方法总结】求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另 一固定点连线，连

12、线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动 点的位置。【方法归纳】 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择。 巩固练习：1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B 关于直线n对称，直线m与A，B和n分别交于P、Q,下面的说法 正确的选项是（ ）A.P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B. Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C. P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D. P、Q都是m上到A、B距离相等的点.如图，ZAOB=30 , NAOB内有一定点P

13、,且OP=10.在0A上有A. 10 B. 15 C. 20 D. 30一点Q, 0B上有一点R.假设PQR周长最小，那么最小周长是()2 .如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为 AC和BD,且AC=BD,假设点A到河岸CD的中点的距离为500米，那么牧 童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是()米.3 .如图，边长为1的正方形组成的网格中，ZXAOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A (3, 2), B (1, 3).点P在x轴上，当PA+PB. (1)如图，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P,使C、 D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并

14、说明理由。(2)如图，在NAOB内部有一点P,是否在OA、0B上分别存在 点E、F,使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两 点，并说明理由。（3）如图，在NAOB内部有两点M、N,是否在OA、0B上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由。出E、F两点，并说明理由。【设计意图】1.学以致用，利用轴对称知识解决问题，及时进行学 法指导，引导学生进行方法规律的提炼总结。2.帮助学生灵活的从复 杂的图形中抽出基本模型图形。3.在教师的引导下从问题的情境中 逐步得出问题的本质。4.引导学生梳理总结从实际问题中抽象出来的 数学模型，形成认知结构，增强从复杂问题中找出基本图形的能力。 5.综合运用数学模型解决问题。6.利用“最短路径”数学模型来解 决问题。训练学生的思维，提高分析问题的能力，培养模型思想。（四）课堂小结.利用简单思维导图巩固建立知识架构。1 .本节课我学会了什么？（1）解决上述问题运用了什么知识？（知识）（2）在解决问题的步骤是什么？（方法）（3）运用上述方法的目的是什么？表达了什么样的数学思想？（数 学思想）【设计意图】引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结: