圆和正方形的关系教案+坞根小学+周玲超公开课.docx

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1、圆和正方形的关系教学设计【内容分析】本节课教学内容是在人教版小学数学六年级上册第5单元的69-70页。与实 验教材不同的是，在学习了 “圆的面积”这一内容之后，该教材增加了 “求圆与 外切正方形、内接正方形之间面积”这一解决实际问题的内容。要求学生利用图 形之间的关系，灵活计算这两局部的面积，并在“讨论”环节进一步得出更为一 般化的结论。要计算正方形的面积，首先要求出正方形的边长，这是比拟常规的思路。例 如，求圆的外切正方形的面积时，观察到正方形的边长和圆的直径相等，所以很 容易求出来。但在求圆的内接正方形的边长时却遇到了困难，圆的直径和正方形 的对角线相等，但没有方法直接求出正方形的边长。此

2、时，教材引导学生改变观 察角度，把正方形分割成两个三角形，这两个三角形的底是圆的直径，高是圆的 半径，很容易求出其面积。在解决几何问题时，经常会有这种“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”的情形。有时，换一个角度看问题，会发现一个全新的世界。 经历这样的问题解决过程，有助于提高学生多角度分析问题的意识和能力。教材 在“回顾与反思”环节，进一步讨论半径为r的情况，使学生发现，圆的外切正 方形面积是，外切正方形与圆之间的面积是0.86巴内接正方形的面积是2 r2, 圆与内接正方形之间的面积是1.14 r2 o这些结果中隐藏着很多有意思的数学事 实，如：外切正方形的面积始终是内接正方形面积的2倍，外切

3、正方形与内接正 方形之间的面积正好是2产即和内接正方形面积相等，等等。【学情分析】在这一单元中，学生对圆已经有了一定的认识，掌握了圆的周长和面积计算 公式，也知道了圆环的计算公式，学生对圆的组合图形的计算已经有了比拟清晰 的思考过程。为了让学生的举一反三能力进一步加强，为了让学生感受到数学知 识对生活的利用而开设了圆的外切正方形与内接正方形。五年级的用字母表示 数是由数到式的一个过渡，学生能从具体数字抽象到字母，已经有了用字母表 示数的经验，但理解仍然模糊，没有真正理解用字母表示数的意义及目的。虽然 六年级学生的抽象思维有了一定的开展，但具体形象思维仍占主导。在学习的过 程中学生可能会觉得用字

4、母代替数这一概念有点抽象，为了能让学生克服这一难 题在导入时设计了用字母代替数的好处。这样学生在体验到字母代替数的实用性 之后对学习的兴趣更浓厚了。在本节课，我把教学重点放在让学生经历问题解决 的全过程上，在此基础上进一步延伸思考，总结一般性的数学规律，掌握探究规 律的一般方法，使学生知道用字母表示数这是代数最本质的东西。【教学目标】1 .探究圆与内接或外切正方形的面积关系，让学生经历问题解决的全过程， 积累一般性的问题解决经验。2 .渗透从特殊到一般的数学思想，提高发现、提出问题和分析、解决问题 的能力。3 .进一步体验图形和生活之间的联系，渗透中国传统文化教育，提高学好 数学的兴趣和学好数

5、学的自信心。【教学重难点】重点：圆与外切正方形和内接正方形的面积之间的关系。难点：会解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。理解从特殊到 一般的数学思想。【教学过程】一、情境引入，揭示课题1 .文化引入，激发兴趣同学们，听说过天圆地方吗？古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自 己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天 空看作是倒扣着的一口巨大的锅。我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说 法。从古人的天圆地方说，到如今的建筑设计中，都有着方、圆的知识，我们一 起来看看。这是鸟巢、水立方。2 .观察比拟，揭示课题中国建筑设计中经常能见到下面两种类型的设计。这两

6、种设计有什么联系和 区别呢？联系：都是由一个正方形和一个圆形组成。左图外边是正方形，里面是圆形; 右图是外边圆形，里面是正方形。区别：左图外边是一个正方形，内部是一个最大的圆，即外方内圆，也叫外 切正方形。右图外边是一个圆，内部是一个最大的正方形。即外圆内方也叫内接 正方形。这节课我们就一起来深入探究有关圆面积的综合运用的问题。二、新知探索，渗透思想L仔细阅读，明确问题把这两幅图抽象成数学图形，两个圆的半径都是1m,怎样计算正方形 和圆之间局部的面积？3 .分析题意，列式解答探究“外方内圆”的面积差由图可知，正方形的边长二圆的直径正方形的面积等于2X2,圆的面积等于3.14X12那么面积差等于

7、2X2314X12=0.86 (m2 )探究“外圆内方”的面积差右图中正方形的边长不方便求出，那么无法求出正方形的面积。不妨换个角度 来思考：将正方形的面积转化成两个一样的三角形面积，圆的直径等于三角形的 1x2x1 Ix底，圆的半径等于三角形的高，那么面积差=3.14X12.【2 J -=1.14 (m2) o除此之外，同学们也可以想一想有没有其它的转化方案。4 .反思提炼，渗透思想特殊性当r=l时，结果是这样。当r=2呢？等于3呢？等于4呢？)可以把圆的半径用r表示，面积差可以怎样表示？质疑：结果能代表所有这样的图形的面积差吗？不能，因为所举的数据有限，具有特殊性。一般性要想知道所有这样的

8、图形中正方形和圆形面积的关系怎么办？可以把圆的半径用r表示。面积差可以怎样表示？检验：当二1时:和前面的结果完全一致。观察填好的表格，你有什么发现？不管是外方内圆还是外圆内方，正方形的面积都和圆的半径有关。在左图中, 中间局部的面积等于半径的平方的0.86倍；在右图中，中间局部的面积等于半 径的平方的1.14倍。小结：咱们先研究了半径等于1、2、3、4这样一些特殊的例子，然 后通过寻找其中相同的地方，从而发现了解决这个问题更为一般的数学规律。你 们知道吗？像这样从特殊到一般的方法是数学上一种非常重要的研究方法，很多 重要的数学规律和结论就是这样被发现的。三、分层练习，拓展提升L巩固练习，比照区

9、分一件古代铜钱的模型(如图5),外圆的直径为20cm,中间正方形的 边长是6cm,这个模型的面积是多少？3. 1 4 x (20 + 2)262=278 (cm2)为什么不直接用刚才的结论呢？这里的外圆内方，正方形的对角线不是圆的直径。正方形不是圆里最大的正 方形。所以不能直接用刚才的结论。小结：是呀，我们不仅要读懂题意，明确要求的问题。还要具体问题具体分 析。2.学以致用，研究面积比那面积之比又是怎么样的呢？接着看！(出示表格)半径：lm, 2m, 3m, 4m, , rS外正S S3s内正S外正：S h： S内正观察填好的表格，你有什么发现？他们的面积比与半径无关，S外正：S回：S内正固定

10、=4a：nr2 : 2r2 = 4 : n : 2o四、课堂总结，升华认识同学们，通过今天的学习，你有什么收获呢？圆在生活中运用非常广泛，只要你们做生活的有心人，你们在未来的学习和 生活中将会有更多的收获。【教学反思】1、引领学生实践探究，培养自主思考能力。引导学生经历解决一个问题的 所有步骤：提炼现实情境，转化成数学模型，提出问题，阅读理解，分析问题， 从而找到解决问题的方案解决，对解答的结果和解决的方法进行检验和回顾反 思。学习要求出示给学生后，放手让学生去探究半径为1m时，外方内圆和外圆 内方方圆之间的面积。由特殊情况到一般情况，半径为r时代式的结论的推导并 检验正确与否。2、鼓励学生打

11、破定势思维，提升数学思维和数学素养。计算正方形的面积, 学生常用边长的平方来计算，在外圆内方图形中，正方形的边长无法直接求出， 不能按照常规思维来解决，对于学生来说具一定的挑战，这时教师提示要多角度 思考问题，引导学生一点点找到解决问题的线索，学生能利用可用信息顺藤摸 瓜，想到把正方形分成两个三角形，并且知道正方形的对角线是圆的直径。培 养学生多维思考问题的方法，提升学生的数学思维和数学素养。3、渗透中国传统文化，感受数学文化的魅力和应用价值。外方内圆和外圆 内方表达了中国的传统文化，从古代的天圆地方说到鸟巢、水立方，学生初步感 知到传统文化传承和发扬，再到中国古建筑“外圆内方和“外方内圆的两种经 典设计为情景和载体来直观承载需要解决问题一一求正方形与圆之间的那局部 面积。学生不仅感受到中国传统文化的博大精深，同时感受到数学文化的魅力以 及数学在社会生产生活中的应用价值。