2022年数学归纳法及其应用举例数学归纳法教学设计教案 .pdf

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1、课题数学归纳法(二)教学目标一、教学知识点1.深入理解数学归纳法原理和证明问题的步骤.数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法.2.让学生理解运用数学归纳法的关键为什么是第二步,而缺少第一步是不对的.3.理解并掌握递推思想在解决问题中的重要作用.二、能力训练要求1.能灵活运用数学归纳法证明有关等式和不等式问题.2.会用递推思想解决实际问题.三、德育渗透目标1.培养学生分类思想、递推思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想方法.2.培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力.3.引导学生发展、探索创新能力,培养学生的有效的学习方式,使学生由“学会”到“会学”,教会学生

2、掌握自学的方法.教学重点数学归纳法原理及其运用是本课时的教学重点.数学归纳法的基本思想,即先验证使结论成立(有意义)的最小的正整数n0,如果当 n=n0时,命题成立,再假设当 n=k(k n0,kN*)时命题成立(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1 时,命题也成立,那么就可以递推出对于所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,n0+3,命题都成立,所以说第二步是数学归纳法运用的重点.教学难点数学归纳法的应用是这节课的教学难点，特别是应用数学归纳法证明有关等式或不等式中的第二步的代数式变换是一个难点，学生不知道使用整式变形的知识.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教

3、学中的实践的教学方式.在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是在于加强学生对教学过程的参与程度.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导、协调和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的.尽快提出适当的问题,并提出思维的要求,让学生尽快地投入到思维活动中来,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得新的发展,从而实现了建构主义的最终的要求.教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片)幻灯片记作：A)请看问题 1：用数学归纳法证明等式2+4+6+2 n=n2+n+1.如采用下面的证法,对吗？证明：(1)(略).(2)假设 n=k 时,等式成立,就是 2+4+6+2k=k2+k+1,那

4、么,2+4+6+2 k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k2+2k+1)+k+2=(k+1)2+(k+1)+1.所以当 n=k+1 时,等式也成立.由(1)(2),可知等式对于一切自然数nN*都成立.幻灯片记作：B)用数学归纳法证明：nn)21(12121212132(nN*).如采用下面的证明方法,对吗？为什么？证明：(1)当 n=1 时,左边21211,右边212111,等式成立.(2)假设当 n=k 时,等式成立,即kk)21(12121212,则当 n=k+1 时,11132)21(1211)21(1212121212121kkkk,即 n=k+1 时,等式也成立.由(1)

5、(2),可知对于任意自然数nN*,原等式都成立.教学过程.课题导入师上节课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题(证明题)的步骤,请同学说出数学归纳法的步骤.生 1数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题P(n)的一种方法.(1)证明当 n=n0时 n0是使命题P(n)成立的第一个值,命题正确,即 P(n0)正确；(2)假设 n=k(kN 且 k n0)时,结论成立,即 P(k)成立,证明当 n=k+1 时,结论也成立,也就是P(kP(k+1).根据(1)(2),就可以判定命题P(n)对从 n0开始的所有自然数都成立.师请同学们看投影上的问题1.(打出幻灯片 2.1.2 A,请学生阅

6、读)生 2证明过程正确.生 3证明过程不正确.因为缺少第一步,而这个等式本身就是错误的,所以证明过程是不正确的.事实上,当 n=1 时,上式左边=2,右边=12+1+1=3,左边 右边,所以不对.师 回答得很好！这个问题说明如果缺少步骤(1)这个基础,步骤(2)就没有意义了,也就是失去了递推的基础,只有第一步和第二步结合在一起,才能得出普遍性结论.再看问题2.(打出幻灯片2.1.2 B,仍然由学生阅读)生 4证明过程正确,两步都证明了.生 5这是不正确的.因为递推思想要求的不是n=k,n=k+1 时命题到底成立不成立,而是 n=k 时命题成立作为条件能否保证n=k+1 时这个结论正确,即要求的

7、这种逻辑关系是否成立.证明的主要部分应改为11112)21(1212121)21(1 21212121kkkkkk师完全正确.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.在第(2)步中,n=k 时命题成立,可作为条件加以运用,而 n=k+1 时的情况则有待利用归纳假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.不能直接将n=k+1 代入命题,也不能直接用求和公式证明(如问题2).这节课我们将学习怎样运用数学归纳法证明恒等式和不等式(板书课题).讲授新课1.课本例题师在明确数学归纳法本质的基础上,我们来共同研究它在等式证明中的应用.文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X

8、9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7

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15、32+n2=6)12)(1(nnn.(板书)师首先确定第一个值是什么,如何由 P(k)P(k+1)呢？请同学思考.生 6(学生说；教师写)证明：(1)当 n=1 时,左式=12=1,右式16321,左边=右边,n=1 时,等式成立.(2)假设当 n=k 时,等式成立,即 12+22+32+k2=6)12)(1(kkk,那么,12+22+32+k2+(k+1)2=6)12)(1(kkk+(k+1)22)1(6)12)(1(kkkk6)1(6)12)(1(2kkkk6)672)(1(2kkk6)32)(2)(1(kkk6 1)1(21)1)(1(kkk.当 n=k+1 时,等式也成立.根据(1)和

16、(2),可知等式对任何nN*都成立.师完全正确.生 6 在 P(k)P(k+1)时的等式变换是很好的,要一步一步推,不要跳步.例 2用数学归纳法证明：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2.请同学们思考一下如何证明呢？生 7(到黑板上书写,教师在下巡视并指导)证明：(1)当 n=1 时,左边=1 4=4,右边=1 22=4,左边=右边.等式成立.(2)假设当 n=k 时,等式成立,即 1 4+2 7+3 10+k(3k+1)=k(k+1)2;那么,1 4+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)k(k+1)+3

17、(k+1)+1=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+1)+12.n=k+1 时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对一切nN*都成立.生 8应该进行解题回顾,在将归纳假设代入n=k+1 时的左边表达式后,一定要有完整的推导过程,而不能直接写出n=k+1 时等式右边的表达式,这一点对于我们来说尤为重要.师总结得很好！目前,有些同学就是缺少解题回顾,在解完题后一定要进行反思,反思方法和过程,总结规律,以待进一步提高.生 9这道题不用数学归纳法证明,也可以证明.文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10

18、H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文

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25、=3(12+22+32+n2)+(1+2+3+n)2)1(6)12)(1(3nnnnn2)1()12)(1(nnnnn2)112)(1(nnn=n(n+1)2=右边,等式成立.生 10 你的证明过程中运用了例1 的结论,而例 1 又不是公式,所以,我认为你的证明跳步.除非你先证明12+22+32+n2=6)12)(1(nnn才行.师生9 的证明思路是对的,正如刚才生10 所言要先证一个辅助命题,然后才能利用.但你的证法不符合题目的总体要求 用数学归纳法证明等式,所以平时解题一定要按要求去做.2.精选例题例 1(20XX 年全国高考天津市试题压轴题)设 a0为常数,且 an=3n-1-2an-1

26、(nN*).(1)求证:对任意 n 1,an=513n+(-1)n-1 2n+(-1)n 2na0;(2)假设对任意n 1,有 an an-1,求 a0的取值范围.生11(1)n=1 时,左边=a1=31-1-2a1-1=1-2 a0,右边=51 31+(-1)0 21+(-1)1 21 a0=51(3+2)+(-1)1 21 a0=1-2a0,左边=右边.n=1 时等式成立.第二步,我就不会证明了.师假设n=k 时,等式成立,即可以翻译成什么样的式子呢？生 11ak=513k+(-1)k-12k+(-1)k 2ka0.师当 n=k+1 时,等式的两边表达式各是怎样的呢？生 11右=51 3k

27、+1+(-1)k 2k+1+(-1)k+12k+1a0,左=ak+1.师 ak+1能否用 ak来表示呢？请看已知递推关系.生 11ak+1=3k-2ak.师如何利用归纳假设ak的表达式呢？生 11 ak+1=3k-2ak=3k-2513k+(-1)k-1 2k+(-1)k2ka0=513k+1+(-1)k 2k+1+(-1)k+1 2k+1 a0,当 n=k+1 时,等式也成立.由上述可知,等式对一切nN*都成立.师你不是证明得很好吗？要自信！生 12 第(2)题也用数学归纳法求解.先取 n=1,2 时有 a1-a0=1-3a00,a2-a1=6a00,因此文档编码:CV10H1B1O4I10

28、 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H

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32、9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7

33、Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O

34、4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R90a031.

35、下面用数学归纳法证明.生 13(径直走到黑板前,边讲边写)由 an通项公式5(an-an-1)=2 3n-1+(-1)n-1 3 2n-1+(-1)n 5 3 2n-1a0.(i)当 n=2k-1,k=1,2,3,时,5(an-an-1)=2 3n-1+3 2n-1-5 3 2n-1a0 2 2n-1+3 2n-1-5 2n-1=0.(ii)当 n=2k,k=1,2,3,时,5(an-an-1)=2 3n-1-3 2n-1+5 3 2n-1a02 3n-1-3 2n-1 0.故 a0的取值范围为(0,31).师 生 12 的思路特别好,充分利用题设探索出a0的范围,生 13 给出了非常漂亮的证

36、明.同学们,你们的实力是坚实的,只要再细心一点和规范一点那就更好了.例 2求证:n2 时,109312111nnn.(板书)(由学生自行完成第一步的验证；第二步中的假设,教师应重点讲解P(k)P(k+1)命题的转化过程)师当 n=k+1 时,不等式的左边表达式是怎样的？生 14当 n=k+1 时,左边131313121kkkk.师 考虑是否正确？k31是否是此数列的第k 项？显然,k31不是第 k 项,应是第 2k 项,数列各项分母是连续的自然数,最后一项是以3k 收尾,故 n=k+1 时,最后一项应为)1(31k.根据此数列分母的特点,在 3k 后面还有3k+1,3k+2,最后才为3k+3,

37、即 3(k+1),所以正确的答案是左边)1(31231131313121kkkkkk.(在这里,学生极易出现错误,错误的思维定势认为从n=k 到 k+1 时,只增加一项,求和式中最后一项即为第n 项的通项.教师在这里应重点分析,化解难点)为 了 能 利 用 归 纳 假 设,左 边 还 要 添 上11k项,故 当n=k+1时,左 边131)31312111()1(31231131313121kkkkkkkkkkk11)1(3123113110911)1(31231kkkkkkk.明确转化目的,即向109方向努力,为了避免通分化简一系列烦琐运算,应针对问题的特点,巧妙合理地利用“放缩技巧”,使问题

38、获得简捷的证明.生 15由于)1(31131kk,)1(31231kk,因此左边11)1(31)1(31)1(3110911)1(31231131109kkkkkkkk文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10

39、U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9

40、ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q1

41、0X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I

42、10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV1

43、0H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9

44、文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y

45、8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9109=右边.所以 n=k+1 时不等式也成立.师设S(n)表示原式左边,f(n)表示原式右边,则由上面的证法可知,从 n=k 到 n=k+1 的命题的转化途径是：要注意：这里S(k)不一定是一项,应根据题目情况确定.课堂练习用数学归纳法证明：1.(20XX年河南模拟题)设f(x)=1+x13121(x N*).求证:n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)(nN*且 n2).证明:(1)n=2

46、时,左边=2+f(1)=2+1=3,右边=2 f(2)=2(1+21)=3.等式成立.(2)假设 n=k 时等式成立,即 k+f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k).那么当 n=k+1 时,左边=(k+1)+f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)+1+f(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)f(k)-1111kk+1=(k+1)f(k+1)-1+1=(k+1)f(k+1),即 n=k+1 时,等式亦成立.由(1)(2)知,对于 nN*且 n2,等式成立.2.12+32+52+(2n-1)2=31n(4n2-1).提示：n=k 时结论成立,即 12+32+52+(2k-

47、1)2=31k(4k2-1).那么 n=k+1 时,12+32+52+(2k-1)2+(2k+1)2=31k(4k2-1)+(2 k+1)2=31(2k+1)k(2k-1)+3(2 k+1)=31(2k+1)(2k2+5k+3)=31(2k+1)(2k+3)(k+1)=31(k+1)2(k+1)+1 2(k+1)-1.3.1 2+2 3+3 4+n(n+1)=31n(n+1)(n+2).文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I1

48、0 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10

49、H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文

50、档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8K10U6R9文档编码:CV10H1B1O4I10 HC7Q10X2K3X9 ZA5Y8