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2022年数学归纳法 .pdf

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1、数学归纳法2015 高考会这样考1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力复习备考要这样做1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 nk(kn0，k N*)时命题成立，证明当nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立上述证明方法叫作数学归纳法难点正本疑点清源 1数学

2、归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算 nn0的 n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值第(2)步，证明nk1 时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法小试牛刀1凸 k 边形内角和为f(k)，则凸 k1 边形的内角和为f(k1)f(k)_.答案解析易得 f(k1)f(k).2用数学归纳法证明：“1121312n11)”，由 nk(k1)不等式成立，推证nk1 时，左边应增加的项的项数是_答案2k解析nk 时，左边

3、 11212k 1，当 nk1 时，左边 1121312k112k11.所以左边应增加的项的项数为2k.3用数学归纳法证明1aa2 an11an21a(a1，nN)，在验证 n1 成立时，左边需计算的项是()A1 B1aC1aa2D1aa2a3答案C 解析观察等式左边的特征易知选C.4已知n 为正偶数，用数学归纳法证明11213141n21n21n412n时，若已假设nk(k2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案B 解析因为假设nk(k2 且 k 为偶数)，故下一个偶数为k2，故选 B

4、.5已知 f(n)1n1n11n21n2，则()Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1213Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2)121314Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1213Df(n)中共有 n2 n1 项，当 n 2 时，f(2)121314答案D 解析从 n 到 n2共有 n2n1 个数，所以 f(n)中共有 n2n1 项.二、典型例题题型一用数学归纳法证明等式例 1已知 nN*，证明：112131412n112n1n11n212n.思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1 到 2n 的连续正整数，末项与 n 有关，

5、右边的分母是从n1 到 nn 的连续正整数，首、末项都与n 有关证明当 n1 时，左边 11212，右边12，等式成立；假设当nk(k N*)时等式成立，即112131412k 112k1k11k212k，那么当 n k1 时，文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10

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12、S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4左边 112131412k112k12 k1 112 k11k11k2 12k12k112 k11k21k312k12k11k 112 k11k1 11k1 21k1 k1k1 k1右边，所以当 n k1 时等式也成立综合知对一切n N*，等式都成立探究提高用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n n0时命题的真假(必不可少)“假设 nk(kN*，且kn0)时命题正确”并写出命题形式分析“nk1 时”命题是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公

13、式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉【变式 1】用数学归纳法证明：对任意的nN*，11313512n1 2n 1n2n1.证明(1)当 n1 时，左边11313，右边121113，左边右边，所以等式成立(2)假设当 nk(k N*)时等式成立，即11313512k1 2k1k2k1，则当 nk1 时，11313512k1 2k112k1 2k3k2k112k1 2k3k 2k3 12k1 2k32k2 3k12k1 2k3k12k3k 12 k1 1，所以当 n k1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切n N*等式都成立题

14、型二用数学归纳法证明不等式例 2用数学归纳法证明：文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L

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20、2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y41n21121312n12n(nN*)思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小证明(1)当 n1 时，左边 11

21、2，右边121，3211232，即命题成立(2)假设当 nk(k N*)时命题成立，即1k21121312k12k，则当 nk1 时，1121312k12k 112k212k 2k1k22k12k2k1k12.又 1121312k12k112k2 12k2k2n12均成立证明(1)当 n2 时，左边 11343；右边52.左边右边，不等式成立(2)假设当 nk(k2，且 k N*)时不等式成立，即113115 112k12k12.则当 nk1 时，113115 112k1112 k1 12k122k22k12k222k1文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J

22、8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文

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29、3 整除，其中n 为正整数思维启迪：当 nk 1时，把 42(k1)13k3配凑成 42k13k2的形式是解题的关键证明(1)当 n1 时，4211312 91 能被 13 整除(2)假设当 nk(k N)时，42k13k2能被 13 整除，则当 nk1 时，方法一42(k1)13k342k1 423k2 342k1 3 42k1 3 42k1 133(42k13k2)，42k1 13 能被 13 整除，42k13k2能被 13 整除 42(k1)13k3能被 13 整除方法二因为 42(k1)13k33(42k1 3k2)(42k1 423k2 3)3(42k13k2)42k1 13，42k

30、1 13 能被 13 整除，42(k1)13k33(42k13k2)能被 13 整除，因而42(k1)13k3能被 13 整除，当nk 1时命题也成立，由(1)(2)知，当 n N时，42n13n2能被 13 整除探究提高用数学归纳法证明整除问题，P(k)?P(k1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被 p 整除且 P(k1)P(k)能被 p 整除?P(k1)能被 p 整除”【变式 3】已知 n 为正整数，a Z，用数学归纳法证明：an1(a1)2n1能被 a2 a1 整除证明(1)当 n1 时，an1(a 1)2

31、n1 a2a1，能被 a2a1 整除(2)假设 nk(k N)时，ak1(a1)2k1能被 a2a1 整除，那么当nk1 时，ak2(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU

32、5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K

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38、3R8 ZU5P5J8K8Y4(a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被 a2a1 整除即当 nk1 时命题也成立根据(1)(2)可知，对于任意n N，an1(a 1)2n1能被 a2a1 整除题型四归纳、猜想、证明【例 4】在各项为正的数列 an中，数列的前n 项和 Sn满足 Sn12an1an.(1)求 a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列 an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想审题视角(1)数列 an 的各项均为正数，且Sn12an1an，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察 a1，a2，a3猜想出 an的通项公式an，然后再证明规范解答解(1)S1a11

39、2a11a1得 a211.an0，a11，1 分由 S2a1a212a21a2，得 a22 2a210，a221.2 分又由 S3a1a2a312a31a3得 a23 22a3 10，a332.3 分(2)猜想 annn 1(n N*)5 分证明：当n1 时，a1110，猜想成立6 分假设当nk(k N*)时猜想成立，即 akkk1，则当 nk1 时，ak1Sk 1 Sk12ak11ak112ak1ak，即 ak112ak11ak112kk11kk112ak11ak1k，a2k12 kak110，ak1k1k.即 nk1 时猜想成立 11 分由知，annn1(n N*)12 分温馨提醒(1)本

40、题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力(2)本题易错原因是，第(1)问求 a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9

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44、文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:C

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46、S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10

47、HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4式第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk 到 nk1 时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2 对于证明等式问题，在证 nk1 等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法3归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保

48、证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写失误与防范1数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题2 严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础3注意 nk1 时命题的正确性4在进行n k1 命题证明时，一定要用n k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法课堂练习一、选择题(每小题 5分，共 20 分)1用数学归纳法证明“1222 2n22n31”，在验证 n1 时，左边计算所得的式子为()A1 B12 C1222D122223答案D 解析左边的指数从0 开始，依次加1，直到 n2，

49、所以当n1 时，应加到23，故选 D.2用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D 6 答案C 解析令 n0分别取 2,3,5,6，依次验证即得文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10

50、L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3R8 ZU5P5J8K8Y4文档编码:CP8F5B2S6Y10 HM10L9C1W3

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4.3 金币

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