分类讨论的思想方法.docx

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1、分类抗坨的思想方法慕泽刚(重庆市龙坡区渝西中学401326)一、知识要点概述1 .分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统的同种方法 处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原那么或某一确定 的标准，在比拟的基础上，将数学对象划分为假设干既有联系又有区别的局部，然后逐类进行讨论，再把这 几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨 论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想 方法来考查，表达出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅

2、具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、 综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学 生能力的考杳有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因 素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.2 .引入分类讨论的主要原因(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论；(

3、6)按实际问题的情况而分类讨论.二、解题方法指导1 .分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.2 .简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等.3 .解题时把好“四关”(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；(2)要找准划分标准，把好“分类关”；(3)要保证条理清楚，层次清晰，把好“逻辑关”；(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.三、范例剖析4 1解关于x的不等式：皿萼(aWl)X-Z解析：原不等式等价于：丁一2

4、)0,即(a- l)(x-=)(x-2)0X Za 1a2假设al,那么等价于(x -三7)(x - 2)0.a 1a-21a-21a-2a2，原不等式的解集为；(8, L-y)U (2,+8)； ara2a*2 a假设avl时，那么等价于(x -干5(x - 2)2,原不等式的解集为(2,). a-la-loooo当a0时，n2,原不等式的解集为7，2).当a=0时，原不等式为(x - 2)2(),解集为0.综上所述：当a0时，原不等式的解集为；(U，2)； a-1当a=0时，原不等式的解集为0；当0al时，原不等式的解集为(2,当0al时，原不等式的解集为；(8,a-2片)u(2,+ oo

5、).点拨：此题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分al和aVl,在avl时，又需要讨论两个根 a-22与一r的大小，又分为三类，即aVO, a=0和OVaVLa-1例 2 在等比数列an中，Sn= ai+a2+a3+-+an Tn=aia2a3an，Pn=+ + + +：，求证：合) 1 2 d3 anr n解析：由所要证明的等式，知须分别求出Sn、T”、Pn，因此要用等比数列的前n项和公式，根据公式 的要求必须对公比q进行分类讨论.(1)当 q=l 时，Sn=nai,Tn=ain, Pn=:a/n，Tn2=ai2n (*) =Tn2ai J(2)当 qrl 时，SW)n(n-l)，Tn=

6、ain * q 2 ，p,=ai2qnd，盒)=a/nqnSD, T-nqi,金)=Tn2.点拨：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类讨论的前提，课本中的公式比拟多，必须对每 个公式都要有透彻的理解，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分类讨论才能做到心中有数，使解 答过程具有完整性.例 3 解关于 x 的不等式、/31og x-2V2 log x-1 (a0, al)yda解析：转化为等价不等式组，注意对于log#的底数的a进行讨论.d31ogax-2031og x-20a3123由得 logax-,由得 logaXl，由得 logax,，QlogaXq或 *ogaxl23当al时，所

7、求不等式的解集为x|a3Wxa；32当Ovavl时，所求不等式的解集为x| a4Vx Wa3或Ovxva.点拨：此题是一道等价转化与分类讨论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要注意等价性、不要 忽略不等式两边函数的定义域，根据对数函数的性质，对a进行分类讨论.例4如图，一条线段AB,它的两个端点分别在直二面角P+Q的两个平面内移动，假设AB和平面P、Q所成的角分别为a、氏试讨论a+B的范围.解析：(1)当 AB_L/时，a+p=90.(2)AB与/不垂直时，在平面P内作ACJJ, C为垂足，连结BC,:平面P_L平面Q, .AC_L平面Q,A ZABC是AB与平面Q所成的角，即NABC邛，在

8、平面Q内作BD_L/,垂足为D,连结AD,同理/BAD二a,BD BC在 RtzWA 和 RtZACB 中，BDBC, gJ sinasinZBAC,a和NBAC 均为锐角，.aZBAC,而NBAC+B=90。，Aa+p90.(3)假设AB与/重合,那么a+B=O。.综上讨论可知0a+p0).求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解析：如图，设MN切圆于N,那么由动点M组成的集合是：P=M| |MN| |MQ|, X0.VONXMN, |ON|=1, |MN|2=|M012T.设动点 M 的坐标为(x, y)，那么 x2+y2 - 1= X 2(x-2) 2+y2, 整理，得(”T) (x2+y2)-4 A 2x+(4 X 2+l)=0.故 M 的轨迹方程是(入 2-1) (x2+y2)-4 ”x+(4 0+1)=0.(D当人=1时，方程化为xq,且交x轴于点廿，0)的直线;(2)当入H时，方程化为(x - 番)2+y2= J：?它是以点(等;，0)为圆心，兴萼为半径的圆.入J1(人 1rA - 11入1点拨：点M的轨迹方程由条件很容易得出，此题考查的重点是曲线的类型，因此，对于含有x2+y2 项系数入2T是否等于零进行了讨论.