6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理（1）.docx

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1、余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理教材分析本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第六章平面向量及其应用， 本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。正弦定理是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。 在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理，知识储藏已足够。它是后续课程中解三角形的 理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下 坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。教学目标与核心素养课程目标学科素养A理解并掌握正弦定理的证明；B.运用正弦定理解三角形；C探索正弦定理的证

2、明过程，并能掌握多 种证明方法。1 .数学抽象：正弦定理的识记；2 .逻辑推理：正弦定理的证明；3 .数学运算：用正弦定理解三角形；教学重难点1 .教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；2 .教学难点：正弦定理的探索及证明，两边和一对角解三角形时三角形解的个数。课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.余弦定理及其推论【答案】a1 =b2 +c2 -2bccosA, b2 =a2 +c2 -2accosBc2 = a2 +b2 -2abcosC, b2 +c2 -a2_ a2 +c2-b2 k a1 +b2 -c22bclac2ab二、探索新知探

3、究：余弦定理及其推论分别给出了两边及其夹角，三边直 接解三角形的公式。如果两角和一边，是否也有相应的直接解三 角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？【分析】在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，可得sin A = ,sinB = c ca b=csin A sin BsinC = l,所以a _ b _ csin A sinB sinCa h c思考1：对于一般的三角形， = - =一仍然成立吗? sin A sinBsinC【解析】分锐角三角形、钝角三角形证明。(1)在锐角三角形A4BC中。过点a作单位向量，垂直于ACo由+= 两边同乘以单位向

4、量j 得,J (AC+CB) = j AB,那么 jAC+JC3 = /AB,所以通过复习上节所学， 引入本节新课。建立 知识间的联系，提高 学生概括、类比推理 的能力。通过探究，由直 角三角形得一结论， 提高学生的解决问 题、分析问题的能 力。通过思考，分析在锐 角三角形、钝角三角 形该式子成立，得正 弦定理。提高学生分 析问题、概括能力。171| ACcos90+| jCB cos(90-C) H JII AB|cos(90- A)sin A sinC整理得 aisnC = csin A /.-=- b csin B sinC同理，过点C作与CB垂直的单位向量可得sin A sin 5 s

5、inC(2)在钝角三角形AABC中，不妨设A为钝角，6 如图。过点A作与AC垂直的单位向量了。人a h c同理可得一 二，一 =一。sin A sin BsinC1.正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,口门 a b c即-=-=-sin A sin B sin C变形：(1) : /?: c = sin A: sin B: sin C ；z 、a sin A a sin A b sinBb sinB c sinC c sinC(2): = -= ;，二 ;思考2：利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？【分析】正弦定理可用于两类：(1)三角形的任意两个角与一边，求其

6、他两边与另一角；、品一中生 . 止通过思考，进一步(2)三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.刀丁什说的、一中 解正弦定理的运用例1 .在AA5c中，A = 15,B = 45,c = 3 +JW,解这个三角形。提高学生分析问题【解析】由三角形内角和定理，得的能力。C = 180(A + 8) = 180(15+45) = 120由正弦定理，得_ csinA _(3 + g)sinl50 _ (3 + J)sin(45 30)sin C sin 120sin 120(3 +V3)(sin 45 cos30 - cos45 sin 30)sinl20（3 +扬（巨叵巨，）一上。=叵

7、V3csin B (3 +V3)sin 450 (3 + 3)sin C sin 120V3TX- = V6 + V2例2 .在AABC中，B = 30,b =夜,。=2,解这个三角形。叼 百丁武m csinB 2sin30 V2 内生角牛：由正弦ze理，得sinC = 产=，因为b 叵 2cb,B = 30,所以30 vCvl80。于是。= 45 或C = 135。(1)当。= 45 时，A = 105此时a =Z?sin A V2 sin 105 V2 sin(60 +45)sin B sin 30sin 30V2(sin 60 cos 45 +cos60 sin 45)通过例题让学 生熟

8、悉正弦定理的 运用，提高学生运用 所学知识解决问题 的能力。sin 30叵心x叵+ 1当22 2 2 =C + 12(2)当 C = 135 时，A = 15。此时Z?sin A _ V2 sin 15 _ &sin (45 30)sin B sin 30sin 30夜(sin 45 cos30 - cos45 sin 30)sin 30乙叵V3 V2 17 2 (xx 一)一t乙工=6一1。2三、达标检测.判断正误(1)正弦定理不适用直角三角形.()通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识。(2)在ABC 中，Z?sin A =

9、asinB总成立.()在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.()【答案】(l)x (2)sinB,那么有()ababB. a,匕的大小无法判定【答案】c【解析】因为总=蔡，所以胃=需2 .在中，三个内角A, B,。的对边分别为a, b, c,。 =爽，b=小,8=60。，那么A等于()A. 135 B. 90 C. 45 D. 30【答案】c,也X坐 r-。 b ,日.& tzsin B v / yJ2【解析】由而1=而得而4=丁=方=勺，4=45。或 135.又：ab, ：.AB, AA=45. r13 .在ABC 中，4= q , q=，c,那么一=.【答案】1【解析】由;

10、1=前下得sin。=交乎=+x乎=3，匹又0b, A5=450.A = 60。或120。.当 A = 60。时，C=180o-45-60o = 75,_/?sin C_750_加+也sin B sin 45。-2；当 A=120。时，C=180o-45-120o=15,_ /?sin C_小sin 15。_加一也sin B sin 450 -2,综上，可知 A 60。，C-75, cV 停或 A120, C15。，c 2.四、小结1 .正弦定理；2 .利用正弦定理可以解决的三角形。五、作业习题 6.47 (1) , 10 题通过总结，让学生 进一步巩固木节所 学内容，提高概括能 力，提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。教学反思本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一 个个相关联的探究活动过程，通过“观察实验归纳猜测证明”的数学思想方法发现并证明定 理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向 设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中开展，在“合作” 中增知，在“探究”中创新。