《概率论与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)（2022年-2023年）.docx

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1、2022年-2023年最新一、填空题(每题3分，共15分)1 .设事件A3仅发生一个的概率为0.3,且P(A) + P仍)=0.5,那么至少有一个不发生的概率为.答案：0.3解：_ _P(AB + AB)=Q.3即0.3 = P(AR + P(AB) = P(A) - P(AB) + P(B) - P(AB) = 0.5-2P(AB)所以P(AB) =0.1P(A B) = P(AB) = 1 - P(AB) = 0.9.2 .设随机变量X服从泊松分布，且P(X 1) = 4P(X =2),那么P(X=3)=g.答案：1 e-i6解答：九2P(X 1) = P(X =0) + P(X =1)

2、= 6-九 +猫-3 P( x=2) = e-由 P(X 1) = 4P(X = 2) 知 e-九 + 九e-九=226-大即 2九2九一1=0 解得九=1,故1p(X=3)=_e-i63.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，那么随机变量Y = X 2在区间(0,4)内的概率,0y4,f (y) = F，(j)=YY密度为分3=口 答案：解答：设丫的分布函数为/y), x的分布函数为仆(月，密度为人(九)那么5(y) = P(Yy) = P(X2 y) = P(-x 0, P(B) 0, P(B)=尸(A),那么 P(BA) = (2)设随机变量X的分布函数为/3 =11 - (1 +

3、 x)er ,x 0.那么X的密度函数/(x)=, P(X2)= (3)设是总体分布中参数e的无偏估计量,S=cA -m+30； 123123当二卫时，0人也0是的无偏估计量.(4)设总体x和丫相互独立，且都服从n(oj), x,x, 12X是来自总体X的 9样本，丫：，丫是来自总体丫的样本，那么统计量 129X + + XU = 19Jy+TyY 19服从分布(要求给出自由度)。102022年-2023年最新二、填空题(每空3分共15分) xe-x x oL P(B) 2. /(x)=,3e2 3. -1 4.9)0x 1 = 1 - px= o4 分= 1-Co(O.7)o(1-0.7)4

4、=0.99196 分4五(6分)设随机变量X的概率密度为x,I。， 其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y = 2x + l是单调可导的，故可用公式法计算 1分当X20时，y12分由 y = 2x + l,得 x = y T y =J_4 分2/()y i22从而y的密度函数为/(y)=5分r 0yi丁 0, 0,/（% M = ,0,其他.求（1）尸（o4xi,oy42）；（2）求x的边缘密度。解:（1） P（0 X 1,0 7 0 - e-y解：因为 X e（_）得 /（x） =，4 4 * * * 4I 0 x。8 分- 0x10100=1-px10100=1-px10100）

5、3 分 =1-X-1000x10 10100-1000x1011000X1000x1-0(10100-1000x10I uu000 Xd喘）（7分）设工产，x是取自总体X的一组样本值, 12f(0 +1)x0, 0 % 1,/(x)=日”10,其他，其中。0未知，求e的最大似然估计。 解：最大似然函数为L(x , ,x ,0) =H f(x ) = H(0 +1)x01n/if=1z=1=（0+1）储，叶）9In L(x , x,0) = nln(0 +1) + 0 ln(x , x)1n1n0 x , X /vn1分2分依题意 ct = 0.05, U = 1.96, n 00, o =1,

6、a2那么目的置信水平为95%的置信区间为即为x-UL2O,Jc+U赤a4.801,5.1994分5分172022年-2023年最新概率论与数理统计课程期末考试试题(B)专业、班级：姓名：学号：题号IT二三四五六七八九十十一 十二总成房得分-、单项选择题(每题3分共15分)(D假设事件A、3适合P(AB) = O,那么以下说法正确的选项是().(A) A与5互斥(互不相容)；(B)尸(A) = O或尸=0;(C) A与3同时出现是不可能事件；(D)尸(A)0,那么 P(5|A) = 0.(2)离散型随机变量X的分布律为PX=k=bXk,伏= 1,2,)的充分必要条件是().0?1 0.0 x11

7、 x0 且 Ov 九 v1;(C)人= 11 且九V 1 ； 九(B)(D)(3)连续随机变量X的概率密度为。二1 九且x =且1+Z?x,2- x,0,那么随机变量X落在区间(0.4, 1.2)内的概率为().(A) 0.64;(B)0.6；(C)0.5;(D) 0.42.(4)设随机变量XN(-3, 1), Y N(2, 1),且X与y相互独立，令 Z = X-2Y+7 ,贝ij Z ().(A)N(O, 5);(B)N(O, 3);(C)N(O, 46);(D)N(0,54).182022年-2023年最新(5)设(斗,。2)是参数0的置信度为1-。的区间估计，那么以下 结论正确的选项是

8、().(A)参数0落在区间(01502)之内的概率为1-a ;(B)参数0落在区间(肉,。？)之外的概率为(C)区间(01?02)包含参数0的概率为1-a ;(D)对不同的样本观测值，区间(耳,。2)的长度相同.二、填空题(每空2分共12分)(1)设总体x与y相互独立，且都服从正态分布n(o,i).(x, ,xj 是从总体x中抽取的一个样本，(匕，丫)是从总体y中抽取的 一个样本，那么统计量.二 %+ +XyIY+v 19服从 分布，参数为.(2) 设是总体分布中参数。的无偏估计量。=洲”-用+30； 123123当。=工时，o也e是的无偏估计量.(3)设总体XN(n,1),日是未知参数，X1

9、,X2是样本，那么2111曰=；X +X 及%+：X1 3 1 3 22 2 1 2 2都是N的无偏估计，但 有效.(4)设样本(X1，x2,x)抽自总体XN(也0 2).也02均未知.要对日作假设检验，统计假设为H 邛=一 o o(日0)，四。自0,那么要用检验统计量为，给定显著水平a,那么检验的拒绝区间为.192022年-2023年最新，0 y 4,另解 在(0,2)上函数y = %2严格单调，反函数为/z(y)=所以4 .设随机变量X,y相互独立，且均服从参数为 人的指数分布，P(Xl) = e-2,那么 九二口 Pmin(X,y)l=.答案：九=2, Pmin(X,y) 1) = 1

10、P(X 4 1) = e-入=e-2,故九=2 Pmin(X,y) 1)P(Y 1) =le-4.5 .设总体X的概率密度为J(e+l)xe, 0xl,J(X)= 00, 其它X ,X , ,X是来自X的样本，那么未知参数0的极大似然估计量为 12n答案：0 =1-11 2 In x n i i= 解答：似然函数为L(x ,x ;0 ) = (。+1)工。=(+l)(x，x)。1ii/1ni=nL = nln(0 +1)+0 nxii=0=0dnLd。i=解似然方程得。的极大似然估计为2022年-2023年最新三、(7分)产(8)=0.5, P(8) = 0.6,条件概率尸(目4) = 08

11、试求尸(八8).四、(9分).设随机变量X的分布函数为F(x) = A+ Barctan x, -oo x +oo, 求：(1)常数A, 8； (2) F(|X| 0其它求随机变量的函数的密度函数上八、（6分）现有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m,现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30的概率。（计算结果 用标准正态分布函数值表示）222022年-2023年最新九、（10分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为o,其他.求（1）p（oxi,oy2）；（2）求x,y的边缘密度；（3）判断x与丫是否相互独立232022年-2023年最新十、（8分）.设随机

12、变量（X1）的联合密度函数为0,0 y 1, 其他求E（X）, （y）, E（xy）,进一步判别X与y是否不相关。242022年-2023年最新卜一、（7分）.设X ,X , ,X是来自总体X的一个简单随机样本，总体X的密度函数 12n为三，0x05羽。）=.20, 其他，求。的矩估计量。十二、（5分）总体X NM ,1）测得样本容量为100的样本均值X=5 ,求X的数学期望N的置信度等于0.95的置信区间。（605（100） = 1.99,0（1.96） = 0.975）252022年-2023年最新一、单项选择题：（15分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（12分）1、乙 9 ;

13、2、-13、日更2X - n v 4、 厂，（Xt （-1）X+/（-1）S 7na/2V/2a/2三(7分)解：P(AB) = P(A)P(B | A)4分=0.5x0.8 = 0.47分国(9分) JT解(1)由1 =尸(+8)= A +81分2兀0 二 F(oo)= A B 2分2得A = _, B = _3 分271F(x) = _+ _arctan x4 分2 n(2) P(X) = F(1)-F(-1) = 16分2(3) f(x) = F (a：) = (-oo x +oo)9分71 (1 + 2)五（6分）26解：8= 从仓库随机提出的一台是合格品A =提出的一台是第/车间生产

14、（，=1,2） ic八2022年-2023年最新232 分1525门(8区)=1一0.15 = 0.85, P(8|4) = 1 0.12 = 0.883分12那么 P(B) = PAP(BA) + P(A )P(BA)5 分11229Q=Zx0.85+_x0.88=0.8686分55六、（8分）解：设用X表示乙箱中次品件数，那么X的分布律为CoC3 _ 1 尸(x=o)= -= 7 C3 206P(X=2) = CS= 9C3 20 6X的分布函数F(x)为CoC3 _ 1 尸(x=o)= -= 7 C3 206P(X=2) = CS= 9C3 20 6X的分布函数F(x)为p(X=1)=C

15、3C/C36920P(X=3)= C= 1C3 2064分0 1x 0200x1F(x)=51 x28分19 2 x33 xu七、（7分） 解：272022年-2023年最新Y = ex可能取值范围为1,住），丫的分布函数为q（y） = P（y y） = P（exy）3分当 yl时，,（y）=O当 yNl 时,F （y）=P（Xie-ny. y 1八y 6分0y=亍yX7分。J 1八、（6分） 解：设X为100根钢材小于3根的钢材根数那么 X 3( 100,0.2)2分E(X) = 100 x 0.2=20, Z)(X) = 100x0.2x0.8=163 分由中心极限定理：X20 30-20

16、P(X 30) = P(= =)5分V16V16、(2.5) = 0.99386分九(10分)解：(1) P(0 X 1,0 y 0八八=八 八 6分0xy一8 0y0（3）因为/()=乙(%)/ W +*-8 y 2)的值为(A) 21(2).(B) 2(2)1.(C) 2-0(2).(D) 1-20(2).()答案：(A)解答：X N(0,l)所以 P(| XI2) = 1- P(| X| 2)=1-P(-2 X2) =1-0(2) + 0(-2) = 1-2(D(2)-1= 2l-O(2) 应选(a).3设随机变量x和y不相关，那么以下结论中正确的选项是(A) X 与丫独立.(B) D(

17、X-Y) = DX + DY.(C) D(X-Y) = DX-DY.(D) D(XY) = DXDY.()2022年-2023年最新解：因为0=1,所以|1的置信度为0.95=1-0.05的置信区间为(X U , X + K/。/2赤 。/2册其中a=0.050.025, u =1.96, =100,3 = 592a/2所求区间为(4.804, 5.196)30共8页第8页2022年-2023年最新答案：(B)解答：由不相关的等价条件知，Pe=ncov (x, y) =0D(X-Y) =DX+DY+2cov (x, y)应选(B).4设离散型随机变量x和y的联合概率分布为(X,y) (1,1)

18、 (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)69183假设x,y独立，那么氏 p的值为2(A) a =91(C) a = _, 6(A) a = _,(D) a=_18p=2.182022年-2023年最新口解答:(A)假设x,y独立那么有a=P(X=2, y=2)=P(X=2)P(Y=2)118P 1 - 9 a1-6 1-3111 Q_ _ +a _+ p 2 918131 Q一+a+ p3112 1=(+a + P)( +a)= ( +a)21， a = _ , P = _99故应选(A).5设总体X的数学期望为(i,X ,X厂，X为来自X的样本，那么以下结论中12n正确

19、的选项是(A) X是JLL的无偏估计量.(C) x是目的相合(一致)估计量. 1(B) X是JLL的无偏估计量.(C) x是目的相合(一致)估计量. 1(C) 是目的极大似然估计量.(D) X不是目的估计量.()1(A)解答：EX =目，所以X是H的无偏估计，应选(A). 11三、(7分)一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.02.求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设人=任取一产品，经检验认为是合格品B=任取一产品确是合格品二_那么(1) P

20、(A) = P(B)P(A | B) + P(B)P(A | B)=0.9x0.95+ 0.1 x 0.02 = 0.857.(2) P(B | A) = NAB) _ 0.9x95 = 0.9977 尸(A)0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.2022年-2023年最新解：X的概率分布为/c = 0,1,2,3./c = 0,1,2,3.2 3P(X=/c) = Ck(Hk3 5 5275412512523612538125X的分布函

21、数为0 , 27x 0,蟒R(x)=一, 125117T2551 ,EX=3x2 =R(x)=一, 125117T2551 ,EX=3x2 =1 x 2,2 x 3.密度.55nx-3x2x3-18 DA OX X ,5 5 25五、（10分）设二维随机变量（X,y）在区域D = （x, y）|x20, yNO, x+yWl上服从 均匀分布.求（1）（x,y）关于x的边缘概率密度；（2）z = x + v的分布函数与概率(1)(x,y)的概率密度为(2, (x, y)eDf(x)=o,其它.r /伊-2x, 0x1幻/(x,y)dy = f 0,其匕（2）利用公式/（z）=z2,其中 f(x,

22、 2 X)=10，z-x)dx-oo0x1,0z-x1-x (2, 0x1, xz1.其它一o,其它.z=xX当 z1 时/ (z) =0 Z0z41时f 0 =25=2邛=22z o o2022年-2023年最新故Z的概率密度为2z, 0z1,/ (z) =z 05其它.z的分布函数为I。,z0 fo,/ (z) =k/ (y)dy=J Z2ydy,oz1=z2,z f zo111,z1 I1 5z0, 0z1 .z0, 0z1 .或利用分布函数法0 ,z0,F(z) = P(ZWz) = P(X+YWz)=9 2dxely, 0z1.X.0,z0,= z2,Oz1./( = )0z1,z

23、Z )0 5 其它.六、(io分)向一目标射击，目标中心为坐标原点，命中点的横坐标x和纵坐标丫相 互独立，且均服从N(0,22)分布.求(1)命中环形区域D = (x,y)|14次+ 9242的 W； (2)命中点到目标中心距离2= JX2 + Y2的数学期望.1OK 0+00 rerdrdQo+00 er2dr o2022年-2023年最新七（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） XNM，O2）,今抽取容量为16的样本，测得样本均值r=10 ,样本方差S2 =0.16. （1）求日的置信度为0.95的置信 区间；（2）检验假设“0 22 （0.1 （显著性水平为0.05）.(15)=

24、2.132,(附注)t (16) = 1.746, t (15) = 1.753, t0.050.050.025(16) = 26.296, %2 (15) = 24.996, /2 (15) = 27.488.0.050.050.025解（1）日的置信度为1-。下的置信区间为解（1）日的置信度为1-。下的置信区间为X=105 5 = 0.4,77=16, a =0.05, t (15)=2.1320.025所以目的置信度为0.95的置信区间为（9.7868, 10.2132）H ：O2 V0.1 的拒绝域为2之为2(-1). oa15V2%2=15x1.6 = 24, X2 (15)=24.9960.10.05因为 2 = 24 0,那么尸仍) = 0.(2)设随机变量X其概率分布为X -1012P 0. 2 0. 3 0. 1 0. 4贝I尸XV 1.5 = ( )o(A) 0. 6(B) 1(C) 0(D)-2(2)设事件a与a同时发生必导致事件A发生，那么以下结论正确的选项是()2(A) P( A)=P( AA)(B) P(A) 2 P(A)+ P(4)-1(C) P(A) = P(A(D) P(A)1100300 0X 114