2022年分式方程竞赛题.docx

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1、分式方程竞赛题精品资料欢迎下载第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解,转化的基本方法是去分母、换元,但也要灵活运用,注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围,故必须验根例1解方程111+=0x211x8x22x8x213x8解令yx22x8,那么原方程为111+=0y9yyy15x去分母得y(y15x)(y9x)(y15x)y(y9x)0,y24xy45x20,(y5x)(y9x)0,所以y9x或y5x由y9x得x2x89x,即x7x80,所以x11,x28；22由y5x,得x2x85x,即x7x80,所

2、以x38,x4122经检验,它们都是原方程的根例2解方程72x72x24x72x7221802180x4xx1x4x72x24x解设y,则原方程可化为y180yx1y218y720,精品资料欢迎下载所以y16或y212x24x=6,x24x6x6,故x22x60,此方程无实数根当y6时,x1x24x=12,x24x12x12,故x28x120,故x28x120,当y12时,x1所以x12或x26经检验,x12,x26是原方程的实数根例3解方程x63x210x42x120x1x3x2x2分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数,故可考虑先用多项式除法化简分式原方程可变为1+5x23

3、（32）20,x1x3x2x2整理得53x220,x1x2x3x2去分母、整理得x90,x9经检验知,x9是原方程的根例4解方程x1x6x2x5+=x2x7x3x6分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简原方程化为精品资料欢迎下载11111111,x2x7x3x61111x6x7x2x3即11=,(x6)(x7)(x2)(x3)所以(x6)(x7)(x2)(x3)解得x929是原方程的根2经检验x例5解方程11111+=x(x1)x(x1)(x9)(x10)12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可

4、考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式,用拆项相消进行化简原方程变形为1111x1xxx1整理得1111,x9x10121111x1x1012去分母得x29x220,解得x12,x211精品资料欢迎下载经检验知,x12,x211是原方程的根例6解方程2x23x22x25x3=2x23x22x25x3分析与解分式方程如比利式合比定理化简原方程变形为ac,且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反,故可考虑用bd(2x23x2)(2x23x2)(2x25x3)(2x25x3)=,2x23x22x25x34x24x2=,2x23x22x25x3所以x0或2x23x22x25x31解得x0或x81经检验,

5、x0或x都是原方程的根8例7解方程3x24x1x24x1=3x24x1x24x1分析与解形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反,故可考虑用合分比定理化简原方程变形为(3x24x1)(3x24x1)(x24x1)(x24x1)=(3x24x1)(3x24x1)(x24x1)(x24x1)6x222x22=即8x8x1当x0时,解得x精品资料欢迎下载1是原方程的根,且x0也是原方程的根经检验,x说明使用合分比定理化简时,可能发生增根和失根的现象,需细致检验像x与x211a这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程,因而至多有两个根显然a1时,x1axa111111就是所求的根例如,方程x3

6、,即x3,所以x13,x2ax3x33例8解方程x2x12x2x219+2=x21xx16解将原方程变形为x2x1x2123+=+,x21x2x1321233x2x1y设y,则原方程变为2y322x1解得y123,y232x2x1235=时,x当；2x132x2x13=时,x1；当x212经检验x1及x35均是原方程的根2例9解关于x的方程axbx1+=2bxax211ax,则原方程变为y2y2bx解设y精品资料欢迎下载所以y12或y212由axax1=,得x2b2a=2,得x1a2b；由bx2bx将x1a2b或x2b2a代入分母bx,得ab或2(ba),所以,当ab时,x1a2b及x2b2a

7、都是原方程的根当ab时,原方程无解例10如果方程xx22xa+=0x2xx(xa)只有一个实数根,求a的值及对应的原方程的根分析与解将原方程变形,转化为整式方程后得2x22x(a4)0原方程只有一个实数根,因此,方程的根的情况只能是：（1）方程有两个相等的实数根,即2(a4)044解得a71此时方程的两个相等的根是x1x222（2）方程有两个不等的实数根,而其中一根使原方程分母为零,即方程有一个根为0或22（i）当x0时,代入式得a40,即a4这时方程的另一个根是x1(因为2x2x0,x(x1)0,x10或x21而x10是增根)它不使分母为零,确是原方程的唯一根（ii）当x2时,代入式,得24

8、22(a4)0,(x2)(x1)0,即a8这时方程的另一个根是x1(因为2x2x40所以x12(增根),x21)它不使分母为零,确是原方程的唯一根因此,若原分式方程只有一个实数根时,所求的a的值分别是2精品资料欢迎下载71,4,8,其对应的原方程的根一次为,1,122练习一1填空：（1）方程x1110的一个跟是10,则另一个跟是_x82x2bxm1=（2）如果方程有等值异号的根,那么m_axcm1（3）如果关于x的方程1k5k1+=2有增根x1,则k_22xxxxx1（4）方程x1x110+=的根是_x1x132解方程4x5x3+0x32x2xx32x25x23解方程x32x32+=2xx2x1x2x14解方程x2x332+=+32x2x35解方程x22x22x245( )20( )48（2）x1x1x16解方程xx9x1x8+=+x2x7x1x6精品资料欢迎下载7m是什么数值时,方程36xm+=xx1x(x1)有根？