《概率论与数理统计》习题答案第一章.docx

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1、概率论与数理统计习题及答案习题一1 . 略.见教材习题参考答案.2 .设A, B, C为三个大事，试用A, B,。的运算关系式表示以下大事:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A发生，B,。都不发生;A与3发生，。不发生；A, A, A, A, A, A,B,B,B,B,B,B,C都发生;。至少有一个发生;。都不发生；。不都发生；C至多有2个发生;C至少有2个发生.【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABCAUBUC=ABCU ABC UABC U ABCAB CABC UABC=ABC(4) ABC = AJBJC (6) ABCABCUAB C)ABC U ABCUA

2、BC U ABC U = A U B U C(S)ABUBCUCA=ABC uabcu abcuabc.略.见教材习题参考答案3 .设A, 8为随机大事，且P (A) =0.7,P(At5)=0.3,求P ( A8 ).【解】P (AB) =1-P (AB) =1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.64 .设A, 3是两大事,且尸(A) =0.6,尸=0.7,求: (1)在什么条件下尸(AB)取到最大值？ (2)在什么条件下P (AB)取到最小值？【解】(1)当A8=A时，P (A3)取到最大值为06(2)当AU3=0时，P (AB)取到最小值为035 .设 A, B, C 为三

3、大事，且 P (A) =P QB) =1/4, P (C) =1/3 且 P CAB) =P (BC) =0, P (AC) =1/12,求A, B, C至少有一大事发生的概率.p2 =3!(”3)!5 - 1)!c ，(-1)! 1， 3!(-2)!nnn.将线段0,任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为y .那么基本领件集为由0xa,Qya,0a-x-y a-x-yx + (a-x-y)y _y + (a-x-y) x构成的图形，即QxQ ya2 a 2ax+ y PA(B U C) = P(AB U AC)=P(AB) + P( AC) - P(ABC)P(

4、AB) + P(AC)-P(BC).将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.【解】设4 = 杯中球的最大个数为，/=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时, 每个杯中最多放一球，故C33f 3p(4)=士438而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故c1 1尸十记因此3 19p(4)= i p(A)p(A)= i4工=存O lo 1O1616。)=40 .将一枚匀称硬币掷2次，求消失正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币，可能消失：A=正面次数多于反面次数, 8=正面次数少于反面次数,。二正面次

5、数等于反面次数, A, B, C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是匀称的，故P (A) =P (B) .所以尸二野由2n重贝努里试验中正面消失次的概率为P=片(;吗尸=#i-C揭41 .掷次匀称硬币，求消失正面次数多于反面次数的概率.【解】设4二消失正面次数多于反面次数, 3=消失反面次数多于正面次数,由对称性知 P (A) =P (B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P(A)+P(5)=1得P(4)=P(8) =0.5(2)当为偶数时，由上题知.设甲掷匀称硬币，计1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲一甲掷出的正面次数，甲反二甲掷出的反面次数.乙正

6、二乙掷出的正面次数，乙反二乙掷出的反面次数.明显有(片1正乙止)二(甲正W乙正)=(+1甲反W一乙反)=(甲反21 +乙反)=(甲反乙反)由对称性知P (甲正乙正)=P (甲反乙反)因止匕尸(甲正乙正)=142 .证明“确定的原那么”(Surething)：假设尸(A|C)C )P(B| C ),那么 P (A)NP(B).【证】由P (A|C) 2P(8,得尸(AC) P(BC)P(C) - P(C)即有P(AC) P(BC)同理由尸(A|0NP(3|O,得P(AC) P(BC),故P(A) = P(AC) + P(AC) P(BC) + P(BC) = P(B)43 .一列火车共有节车厢，

7、有攵(攵2)个旅客上火车并随便地选择车厢.求每一节车厢内至少 有一个旅客的概率.【解】 设A尸第i节车厢是空的, (i=l,箱)，那么p(a)=p(a)=(5=(i-与n77 1口44线，=(】-丁 y其中ii12,-1是1，2,，中的任一 1个. 明显节车厢全空的概率是零，于是11S=Zp(a)=(i)A=c；(ifZ1nn2s?=工 p(aaX(i/ i/ jn s,i= E/lz1/2-.zZJ_0,试证明：不管0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，那么A迟早会消失的概率为1.【证】在前次试验中，A至少消失一次的概率为1 (1- 1(00)49 .袋中装有机只正品硬币，只次品硬币(次品

8、硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只， 将它投掷一次，每次都得到国徽,试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币次都得到国徽3=这只硬币为正品IY1VI由题知P(B) =, P(B)=m+n m+n1 P(AB) = ,P(AB) = 1那么由贝叶斯公式知P A)=曳竺 =P(B)P(*B)P(A) P(B)P(A| B) + P(B)P(A| B)m 1二 加十 /才 二 mm I n m + 2rn-7 H1m + n 2r m + n50 .巴拿赫(Banach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次觉

9、察一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是觉察空)而另一盒恰有厂根的概率又 有多少？【解】以8、&记火柴取自不同两盒的大事，那么有P(g)=2员)= (.(1)觉察一盒已空, 另一盒恰剩根，说明已取了 2-次，设次取自囱盒(已空)，-一次取自&盒, 第2川-什1次拿起田，觉察已空。把取2-次火柴视作重贝努里试验，那么所求 概率为Pi=2c(W = CL .式中2反映囱与&盒的对称性(即也可以是4盒先取空).(2)前2f-1次取火柴，有-1次取自囱盒，-r次取自&盒，第2-次取自囱 盒，故概率为P2 = 2cLT )1| = CLt 4产”乙乙乙乙51 .求重贝努里试验中

10、A消失奇数次的概率.【解】 设在一次试验中A消失的概率为p.那么由(q + PY= C% + Cnpq- + C；p2q- +. + C：pq。= 1一”=CpW+c；mt +cv-2-.+(-ircv以上两式相减得所求概率为=;口-(4-4=|i-(i-2Pr假设要求在重贝努里试验中A消失偶数次的概率，那么只要将两式相加，即得2=；U + (1-2”.52 .设A, 5是任意两个随机大事，求尸 (I+B) (A+3) (A + B ) (A+豆)的值.【解】由于(AU8) n (A u B ) =AB u Ab(A UB) A (AU B ) =ABU AB所求(N + 8)( A + B)

11、(A + 豆)(A + 5)= (abuab)A(ab+ab)=0故所求值为0.53,设两两相互独立的三大事，A, B和C满意条件：ABC=O, P(A)=P(8)=P(C)v 1/2,且 P (AUBUC) =9/16,求 P (A) .【解】由 P(AUB U。)= P(A) + P(B) + P(C)- P(AB)- RAC) P(BC) + P(ABC)161311故P(A) = 或一，按题设尸(A) 0,P(A|8)=l,试比拟尸(AU5)与P(A)的大小.(2006研考)解：由于所以PA U 3) = P(A) + P(B)_ P(AB)P(AB) = P(B) P(AB) = P

12、(B)P(A U 5) = P( A) + P(B)- P(B) = P( A).【解】 P (AUBUC) =P(A)+P(B)+P(O-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABO11113=1H二4 4 3 12 47 .从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？【解】p=c、c：3c：3C3C1352.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率; (3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设A尸五个人的生日都在星期日,基本领件总数为75,有利大事仅1个，故P (

13、Ai)=乙=(-)5(亦可用独立性求解，下同)757(2)设4=五个人生日都不在星期日,有利大事数为65,故6,6 sP(4)二行二(二)5 757(3)设4=五个人的生日不都在星期日P (A3) =l-P(Ai)=l-(y)59 .略.见教材习题参考答案.10 .一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出件(30. 如图阴影局部所示.302 _ 1607-421 .从(0, 1)中随机地取两个数，求:(1)两个数之和小于的概率；5(2)两个数之积小于的概率.4【解】设两数为羽丁，那么0x,yL6x+y ,44p = 1 - 2 5 5 = 1Z = 0.681251 (2)xy=0.9即为

14、(0.8) 0.1故至少必需进行11次独立射击.31 .证明：假设P (A I B) =P(A I B),那么A, 3相互独立.【证】 P(A | B)=尸(A | B)即曳竺2 =。(学) P(B) P(B)亦即P(AB)P(B) = P(AB)P(B)P(B) = P(A) 因此故A与8相互独立.32 .三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为,，求将此密码破译出 5 3 4的概率.【解】 设A尸第，人能破译 (i=123),那么p(Cm)=1 - p(AA4)=1-p(4)p(入)p(A) i=l4 2 3=1 x-x- = 0.65 3 4.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设

15、击中的概率分别是04050.7,假设只有一人 击中，那么飞机被击落的概率为0.2；假设有两人击中，那么飞机被击落的概率为0.6；假设三人 都击中，那么飞机肯定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设4=飞机被击落, 8尸恰有i人击中飞机,，=01,2,3由全概率公式，得p(A)= p(AIB)p(耳)/=()=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+04 X 0.5 X 0.7=0.458.某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验

16、一种新药是否有效，把它给10个病人服用, 且规定假设10个病人中至少有四人治好那么认为这种药有效，反之那么认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到35%,但通过试验被否认的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】(1)A =Co(O.35/(O.65)10 =0.5138k=010 2 =2鼾0(025)(。.75)1一 =0.2241k=4. 一架升降机开头时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下大事的概率:（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；B= “没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（2） C= 恰有两位乘客在同一层离开”；D=“至

17、少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故全部可能结果为1。6种.C294（1） P（A） = 9也可由6重贝努里模型:106(2)(2)1 Q6个人在十层中任意六层离开，故P(B) =Pio106（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；。种可能结果，再从 六人中选二人在该层离开，有C；种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的状 况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余 8层中任一层离开，共有C；C；C；种可能结果；4人同时离开，有C；种可能结果； 4个人都不在同一层离开，有P。种可能结果，故p（c）= C；。或（C；C：C；+C；+P；）/106P)= 1 P(8) = l Pio10637.个伴侣随机地围绕圆桌而坐，求以下大事的概率:（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）假如个人并排坐在长桌的一边，求上述大事的概率.【解】(1)Pi =1n-