立体几何 合理建系 优化运算.docx

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1、合理建系优化运算类型一、斜棱柱中建坐标系 例1-1 (2021南京二模T20)如图，三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长都为2, B；,且(1)求证：平面平面A8C；(2)假设点P在棱BBi上且直线CP与平面ACCiAi所成角的正弦值为右求BP 的长.【解析】(1)略；(2)解：以。C, DA,所在直线为, y, z轴建立如下图的空间直角坐标 系，那么 A(0, 1, 0), 3(0, -1, 0), C4,0, 0),囱(0, 0, 回因此丽 =(0, 1,事), 工=(5，-1, 0), 幅=鬲 =(0, 1,5).因为点P在棱仍|上，贝I设用=入函=0, 1,5),其中08X1.那么曰=

2、遂 + 初=遂+2丽=(一小，1+九 小力. 设平面ACGAi的法向量为=(x, y, z),0IV人得A4i=0,取 x=l, y=,y=0, z=0.z= - 1,所以平面ACGAi的一个法向量为=(1,小,-1).因为直线CP与平面ACCiAi所成角的正弦值为小B%8分nCP _2狙4所 以 COS V 几，CP = / /- y; 5 = |川 X| 守I 小 x3 +(a-1)2 + 3%5化简得16万一82+1 =0,解得丸=,所以 5P=188=* 12分解决关键点：选择坐标系的原那么就是将底面顶点尽可能多的置于坐标轴上，这样能确保正确读取空间点的坐标.(2)求直线以与平面总C所

3、成角的正弦值.0），设平面PBC的法向量为n = (%,y,z),那么万万=0,即元PC = 0V3 .0x+y-z = 0 2y/3X . Z = 0类型二、棱锥建系例2 (2021邢台月考)如图，在四棱锥pA8C。中，平面PAD,平面A3C。，ABAD AB = 叵，AACD是边长为2的等边三角形，AR4。是以AO为斜边 2的等腰直角三角形.(1)证明：平面PDCJL平面【解析】(1)略;(2)解：取4)的中点O,连接P。，CO,因为B4 = PD,所以POLAD,又因为POu平面B4O,平面 平面 45CD,所以POJ_平面ABCD,因为COu平面ABCD,所以POLCO,因为AC =

4、CO,所以OCJ_AO.如图，建立空间直角坐标系。-孙Z,由题意得，A(0, 1,C(V3,0,0) , 0(0, -1, 0) , P(0, 0, 1),所以胡= (0,1,1), PC = (V3,O,-1), PB = (,1,-1).令X=l,那么zM ,所以万=(母病所以|cosm丽|二| .上nPA所以|cosm丽|二| .上nPA/2 x19VH4938那么直线批与平面咏所成角的正弦值为崂.解题关键点：尽量利用面面垂直性质定理得到线面垂直，再建立空间直角坐标 系.建系时让一些点、线段尽量与坐标轴重合.【巩固练】如图，在四棱锥P-A8CQ中，底面ABC。为菱形，为正三角形, 平面%

5、。，平面ABCD E,尸分别是AZ), C。的中点.(1)证明：BD.LPF；(2)假设NA4D=60。，求直线PC与平面P3O所成角的正弦值；【解析】(1)连接AG因为在AOC中，E,尸分 别是A。，C。的中点，所以EF/AC, 又因为在菱形ABC。中ACLBQ,所以30,政； 因为以。为正三角形，为AO中点，所以PJ_ AD；又因为平面 出。，平面A3CD 平面B4DCI平面 ABCD=AD, PEu 平面 PAD ,所以PEJ_平面A3CD,又灰)u平面A5CZ),所以 PE1BD；因为PECIEQE, PE,EFu平面PEF,所以5。，平面PEE又Pbu平面PER所以BQJ_PF；(2

6、)连接8石，因为NA4Q=60。，所以ADB为等边三角形，所以8ELAD；由(1)知，PEJ_平面ABC。，故以为原点，建立如下图的空间直角坐标系设 AQ=2，那么 P(0,0，G)，网0,瓜,0), 42,鸟,0), D(-aOO)那么 PC =12a,百a,-y3aj,BD =卜a,-Ca,O),PD =卜,0,-ga) 设平面P8。的法向量为为=(8y, z),n - BD = -ax - yj3ay = 0( r _ 厂 ，可取万=- K，l，l , n - PD = -ax - j3az = 07所以cos无，万=逅，故直线PC与平面P&）所成角的正弦值为亚 55类型三、旋转体例3-

7、1 （2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I ）如图，。为圆锥 的顶点，。是圆锥底面的圆心，为底面直径，AE = AD. ASC是底面的内 接正三角形，。为。上一点，po=do.6（1）证明：PAJ_平面尸3C；（2）求二面角PCE的余弦值.【解析】（1）由题设，知D4E为等边三角形，设A = l,那么。0 =左，co = bo = -ae = -9 所以 po = do =也, 22264PC =+ 0。2邛,注份漏邛,又为等边三角形，那么蕊=2见所以昨孝,又为等边三角形，那么蕊=2见所以昨孝,3PA2 +PB2 =- = AB2 9 贝 lJZAM = 90,所以 PA_LP3,

8、 4同理 PA_LPC,又 PCCPB = P,所以 B4_L 平面 P3C； (2)过。作QVBC交于点N,因为POJ_平面ABC,以。为坐标原点，04为x轴，0N为y轴建立如下图的空间直角坐标系,那么叫O0）,P（0,0，）I（廿里。）,。（一* 亭0）那么叫O0）,P（0,0，）I（廿里。）,。（一* 亭0）丽=4%争，而=（-；,（）,邛）,设平面PCB的一个法向量为 =（5,y,4）,fH - PC 0 /曰-X= 0由卜丽=0,付葭+岛=0令工1=垃,得Z=Th=0,所以 7 =（夜,0,-1）,设平面PCE的一个法向量为根= （%2，%，Z2）m - PC = 0m - PE -

9、 0 所以m=（1,且一0）,设二面角3PC石的大小为。，那么8$。= 撞5【巩固练】用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的几何体称为圆台, 也可称为“截头圆锥在如图的圆台OO中，上底面半径为1,下底面半径为2, 母线长为2.(1)结合圆台的定义，写出截面A6CQ的作图过程；(2)圆台截面ABCQ与截面AZ)所是两个全等的梯形，假设AB = AF = 2,求二面角 E-AD-3的平面角的余弦值.z轴建立如下图的空间【分析】(1)由圆台的定义，延长圆台的轴与母线交于点P, 在底面圆。上任取一点A ,作出圆锥的两条母线，两 条母线与圆台的上下底面相交，即可得到截面.(2)取4方的中点G,连

10、接0G.那么可得以0 为坐标原点，OG, OB,。所在的直线分别为龙，V, 直角坐标系.利用向量法求解二面角.【解析】(1)延长圆台的轴与母线交于点P, 在底面圆。上任取一点A,连接转，交圆。于点连接。4, OD,在圆。内，以点A为圆心画弧，交圆。于点8, 连接03，PB,交圆。于点C,连接Oc, CD, 那么四边形ABC。即为截面.(2)取A厂的中点G,连接0G.由= A尸=。歹=。5 = 2 等边Q4F中可得OGJ_A尸，由N3N + NOE4 = ,可得08/A尸, 所以(9GJ_O3,在圆台中，00平面A3OF,所以OOOG, OOf LOB, 所以以。为坐标原点，OG, OB, OO

11、,所在的直线分别为, y, z轴建立如图所 示的空间直角坐标系.因为 BC = 2, 08 = 2, OfC = l9 所以 G那么点 A(l,0), 3(020) , F(V3,-l,0),。亏亍G , 所以丽= (-6,1,0), AD= -,-,V3 ,包= (0,2,0).设平面ABCQ的法向量为勺=(5，x，zj ,.(-1,0) = 0,(%，)，令芯=1,得) = (1,G/).设平面ADE尸的法向量为2式心必心)., g 几, AD = 0由心，AO,小J_E4得一八, n2- FA = 0畀叫=。，令占=2,得区= (2,0,1),(工2，%/2)(。2。) = 0由图易知二面角-4)-3为钝角,所以二面角E-4)-8的平面角。的余弦值cosa35解决关键点：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1 .建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐 标轴或坐标平面内.2 .设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3 .求：求出所需平面的法向量.算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角, 或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5.取：根据题意，或二面角的范得出答案.