2022年直线和圆知识点及题型总结 .docx

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1、精品_精品资料_直线和圆题型总结班级 : 高二 19 班学号: 50姓名 : 张志飞1. 直线的倾斜角：（1） ）定义：在平面直角坐标系中,对于一条与 轴相交的直线 ,假如把 轴围着交点按逆时针方向转到和直线 重合时所转的最小正角记为 ,那么 就叫做直线的倾斜角.当直线 与 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0.（2） ）倾斜角的范畴： .例题：（1） ）直线的倾斜角的范畴是 （答：）.（2） ）过点的直线的倾斜角的范畴,那么 m 值的范畴是 （答：）2. 直线的斜率：（1） ）定义：倾斜角不是 90的直线, 它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率, 即 tan90.倾斜角为 90的直线没有斜率.（2

2、） ）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）应用：证明三点共线：.例题：（1） ）两条直线斜率相等是这两条直线平行的也不必要）. 条件（答：既不充分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）实数满意,就的最大值、最小值分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ （答：）3直线的方程：（ 1）点斜式：已知直线过点斜率为它不包括垂直于轴的直线.,就直线方程为,（ 2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率 ,就直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.（ 3）两点式：已知直线经过、两点,就直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的

3、直线.（4） ）截距式：已知直线在轴和 轴上的截距为,就直线方程为, 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5） ）一般式：任何直线均可写成A,B 不同时为 0的形式.例题：（1） ）经过点（ 2,1）且方向向量为 = 1, 的直线的点斜式方程是 （答：）.（2） ）直线,不管 怎样变化恒过点（答：）.（3） ）如曲线与有两个公共点, 就 的取值范畴是 （答：）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：(1) 直线方程的各种形式都有局限性仍有截距式了？）.（.如点斜式不适用于斜率不存在的直线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 直线在坐标轴上的截距可正、可

4、负、也可为0.直线两截距相等直线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率为 -1 或直线过原点.直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点.直线两截距肯定值相等直线的斜率为或直线过原点. 例：过点,且纵横截距的肯定值相等的直线共有 条（答： 3）4. 设直线方程的一些常用技巧：（1） ）知直线纵截距,常设其方程为.（2） ）知直线横截距,常设其方程为它不适用于斜率为 0 的直线.（3） ）知直线过点,当斜率 存在时,常设其方程为,当斜率不存在时,就其方程为.（4） ）与直线平行的直线可表示为.（5） ）与直线垂直的直线可表示为留意：求直线方程的基本思想和方法是恰当挑选方程

5、的形式,利用待定系数法求解.5. 点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1） ）点到直线的距离.（2） ）两平行线间的距离为.6直线与直线的位置关系：（ 1）平行（斜率）且（在 轴上截距）.（2） ）相交（3） ）重合.且.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：（1） ）、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；（2） ）在解析几何中,讨论两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.（3） ）直线与直线垂直.例题：（ 1）设直线和,当 时 .当 时.当时 与 相交.当 时 与重合（答： 1. 3）.（2） ）已知直线的方程

6、为,就与 平行,且过点（ 1,3）的直线方程是（答：）.（3） ）两条直线与相交于第一象限, 就实数 的取值范畴是 （答：）.（4） ）设分别是 ABC中 A、 B、 C所对边的边长,就直线与的位置关系是 （答：垂直）.（5） ）已知点是直线上一点,是直线 外一点,就方程0 所表示的直线与 的关系是 （答：平行）.（6） ）直线 过点（ 1,0）,且被两平行直线和所截得的线段长为 9,就直线 的方程是（答：）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 对称（中心对称和轴对称）问题代入法： 例题：（1） ）已知点与点关于 轴对称,点 P与点 N关于 轴对称,点 Q与点P关于直线对称,就

7、点 Q 的坐标为 （答：）.（2） ）直线 与的夹角平分线为,如的方程为,那么 的方程是 （答：）.（3） ）点（,）关于直线的对称点为 2,7,就 的方程是 （答：）.（4） ）已知一束光线通过点（,） ,经直线 :3x4y+4=0 反射.假如反射光线通过点（,15）,就反射光线所在直线的方程是 （答：）.（5） ）已知 ABC 顶点 A3 , ,边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0,B 的平分线所在的方程为x4y+10=0,求边所在的直线方程 （答：）.（6） ）直线 2xy4=0 上有一点,它与两定点（ 4, 1）、（3,4）的距离之差最大,就的坐标是（答：（5,6）.（7）

8、 ）已知轴,C（2,1）,周长的最小值为（答：）.注：在解题中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.8. 简洁的线性规划：（1） 二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成或的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域.法二：用特殊点判定.无等号时用虚线表示不包含直线,有等号时用实线表示包含直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点,如与同号,就 P,Q在直线 的同侧,异号就在直线的异侧.例题：已知点 A（ 2,4）,B（ 4,2）,且直线与线段 AB恒相交,就 的取值范畴是（答：）（2） 线性规划问题中的有关概念：满意关于的一次不等式或一次方

9、程的条件叫线性约束条件.关于变量的解析式叫目标函数,关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数.求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题.满意线性约束条件的解（）叫可行解,由全部可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.（3） 求解线性规划问题的步骤：依据实际问题的约束条件列出不等式.作出可行域,写出目标函数.确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.例题：线性目标函数 z=2x y 在线性约束条件下,取最小值的最优解是 （答：（ 1,1）.点（, t）在直线 2x 3y+6=0 的上方,就 t 的取值范畴是（答：）.不等式表示的平面区域的

10、面积是 （答： 8）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如实数满意,就的最大值（答：21）（4） 在求解线性规划问题时要留意：将目标函数改成斜截式方程.查找最优解时留意作图规范.10. 圆的方程：（1） ）圆的标准方程：.（2） ）圆的一般方程：,特殊提示：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是且且）.（3） ）为直径端点的圆方程例题：（ 1）圆 C 与圆关于直线对称, 就圆 C 的方程为 （答：）.（ 2 ） 圆 心在 直线上 , 且 与两 坐标 轴均 相切 的圆 的标 准方 程是 （答：或）.22（4） ）假如直线 将圆： x +y -2x-

11、4y=0 平分,且不过第四象限,那么的斜率的取值范畴是 （答： 0, 2）.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） ）方程 x +yx+y+k=0 表示一个圆,就实数 k 的取值范畴为 （答：）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 点与圆的位置关系：已知点（ 1）点M在圆及圆C外,.（2） ） 点（3） ） 点M在圆M在圆C内C上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题：点 P5a+1,12a 在圆x y2=1 的内部,就 a 的取值范畴是 （ 答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_）12. 直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、

12、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判定：（1） ）代数方法（判定直线与圆方程联立所得方程组的解的情形）：相交.相离.相切.（2） ）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小） ：设圆心到直线的距离为,就相交.相离.相切.注：判定直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.例题：（ 1）圆与直线,的位置关系为 （答：相离）.（ 2）如直线与圆（答： 2）.切于点,就的值 （ 3 ） 直 线被 曲 线所 截 得的 弦 长 等于（答：）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22（4） ）一束光线从点 A 1,1动身经 x 轴反射到圆 C: x-2+y-3=1 上的最短路程是（答： 4）.

13、（5） ）已知是圆内一点,现有以为中点的弦所在直线和直线,就A,且与圆相交B,且与圆相交C,且与圆相离D,且与圆相离（答： C）.（6） ）已知圆 C：,直线 L：.求证：对,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点. 设 L 与圆 C 交于 A 、B 两点,如, 求 L 的倾斜角.求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：或最长：,最短：）13. 圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判定）： 已知两圆的圆心分别为,半径分别为,就（1） ）当时,两圆外离.（2） ）当时,两圆外切.（3） ）当时,两圆相交.（4） ）当时,两圆内切.（5） ）当时,两圆内含.14.

14、圆的切线与弦长：1切线： 过 圆上 一 点圆 的 切 线 方程 是 ：, 过 圆上一点圆的切线方程是：,求圆的切线方程.（抓住圆心到直线的距离等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于半径）. 从圆外一点引圆的切线肯定有两条,可先设切线方程,再依据相切的条件, 运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求.过两切点的直线（即“切点弦” ）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程.切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）.例题： 设 A 为圆上动点, PA 是圆的切线,且 |PA|=1,就 P 点的轨迹方程为 （答：）.（ 2）弦长问题：圆的弦长的运算：常用弦心距,弦长一半及圆的半径 所构成的直角三角形来解：.过两圆、交点的圆 公共弦系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程.15. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等 .可编辑资料 - - - 欢迎下载