2022年高三数学一轮复习学案第四章平面向量数系的扩充与复数的引入平面向量.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2022 版高三数学一轮精品复习学案第四章平面对量、数系的扩充与复数的引入【学问特点】平面对量作为工具性学问,和三角函数、解析几何、立体几何等学问有着广泛的联系.其中平面对量的共线与垂直,平面对量的运算,平面对量的数量积及其应用,是重点内容,也是高考考查的重点.对于数系的扩充和复数的引入这部分内容,其独立性较强, 一般是单独命题,其中复数的概念和复数的运算是重点学问,也是高考考查的重点.【重点关注】1、平面对量共线与垂直的充要条件、平面对量的线性运算、平面对量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容,

2、需重点关注.2、平面对量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型,此类题可以是挑选、填空,也可以为中档的解答题.向量与数列、不等式、圆锥曲线,函数等学问的综合问题.对同学才能的考查有较高的要求.3、本章内容要留意数形结合思想的应用,向量具有“形与数”的两个特点,这就使得向量成了数形结合的桥梁.【位置和作用】向量带有基础学问的特点, 是一种工具性和方法性学问. 向量有一套优秀的运算系统, 由于它供应的向量法、坐标法, 使其成为讨论高中数学的重要方法.同时, 向量又有一套优良的运算系统,几何中有关长度、角度的运算,平行、垂直的判定与证明,许多场合下都可以化归为向量的运算来完成,教材中正弦定理、

3、余弦定理的证明、 定比分点坐标公式的导出, 就是这方面典型的例子.这些表达了数学中化归和数形结合的思想.向量“形”、“数” 兼备,是数形结合的桥梁.在运用向量学问时,充分运用几何图形直观的特点,而在解决几何问题 时,又留意充分运用向量法与坐标法,到处渗透了数形结合的思想.通过分析进两年高考中本章相关学问点的考查汇总,可以看出本章在高考命题中出现出以下特点：1、考查题型主要是以挑选、填空为主,分值为10 分左右,基本属简洁题.2、重点考查向量的共线与垂直,向量的夹角、模与数量积及复数的运算,留意在学问交汇处命题.3、估计在本意在今后的高考中,将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的可编辑资

4、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -运算为命题热点,将更加留意向量与其他学问的交汇,以考查基础学问、基本技能为主.4.1平面对量【高考目标定位】一、平面对量的概念及其线性运算1、考纲点击（ 1）明白向量的实际背景.（ 2）懂得平面对量的概念,懂得两个向量相等的含义.（ 3）懂得向量的几何表示.（ 4）把握向量加法、减法的运算,并懂得其几何意义.（ 5

5、）把握向量数乘的运算及其几何意义,懂得两个向量共线的含义.（ 6）明白向量线性运算的性质及其几何意义. 2、热点提示（ 1）重点考查平面对量的有关概念、线性运算及其几何表示.（ 2）多以挑选、填空的形式出现,有时和其他学问相结合,在学问的交汇点处命题.二、平面对量的基本定理及坐标表示 1、考纲点击（ 1）明白平面对量的基本定理及其意义.（ 2）把握平面对量的正交分解及其坐标表示.（ 3）会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算.（ 4）懂得用坐标表示的平面对量共线的条件. 2、热点提示（ 1）向量的坐标运算及用坐标表示平面对量共线的条件是高考考查的热点,常以挑选、填空题的形式显现,为中、低档

6、题.（ 2）向量的坐标运算常与三角,解析几何等学问结合,在学问交汇点处命题,以解答题的形式出现,属中档题.三、平面对量的数量积及平面对量应用举例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1、考纲点击（ 1）懂得平面对量数量积的含义及其物理意义.（ 2）明白平面对量的数量积与向量投影的关系.（ 3）把握数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算.

7、（ 4）能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判定两个平面对量的垂直关系.（ 5）会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题.（ 6）会用向量方法解决简洁的力学问题与其他一些实际问题.2、热点提示（ 1）平面对量数量积的运算,模与夹角、平行与垂直问题的高考命题的热点,多以挑选、填空题的形式显现,属中低档题,但敏捷多变.（ 2）可与三角函数、解析几何等学问综合命题,是高考的另一个热点.【考纲学问梳理】一、平面对量的概念及其线性运算1、向量的有关概念及表示方法（ 1）向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量.向量的大小叫做向量的长度（或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_模）

8、零向量长度为 0 的向量.其方向是任意的r记作 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单位向量长度等于1 个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量平行向量双叫做共线向量r0 与任一向量平行或共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量rr0 的相反向量为0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）向量的表示方法字母表示法,如：ruuura, AB 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

9、品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -几何表示法：用一条有向线段表示向量.2、向量的线性运算向量运算定义法就（或几何意义）运算律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求两个向量和的加法运算（1）交换律：rrrrabba .（2）结合律：rrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr求 a 与 br

10、的 相 反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量b 的和的运减法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r算 叫 做 ar与 b 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差求 实 数 与 向 量ra 的积的运算（ 1）rraa .rrra a;rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 0 时,a 与raaa;rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘a 的方向相同.当0abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr时 ,a 与 a 的方向相rr反.当 =0 时

11、,a =0rr2rr2r2r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：式子| ab | ab |2| a | b | 的几何意义为：平行四边形两条对角线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平方和等于它们四条边的平方和.rrrrrr3、向量 a a0 与向量 b 共线的充要条件为存在唯独一个实数,使 ba.uuur uuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：用向量法证明三点A、B、C共线时,第一求出AB、AC ,然后证明AB=uuuruuurAB与 AC 共线即可.AC ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、平面对量的基本定理及坐标表示1、两个向量的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）定义rruuurruuurrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知两个非零向量a 和 b ,作 OAa, OAb ,就 AOB=叫做向量a 与 b 的夹角.rrrr（ 2）范畴000向量夹角的范畴

13、是0 180 , a 与 b 同向时,夹角=0 . a 与 b 反向时,夹角0=180 .（ 3）向量垂直rrrr0rr假如向量 a 与 b 的夹角是90 ,就 a 与 b 垂直,记作a b .uuurruuurrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：在 ABC中,设ABa, BCb ,就向量 a 与 b 的夹角为 ABC是否正确？（答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr不正确.求两向量的夹角时,两向量起点应相同,向量a 与 b 的夹角为 - ABC）. 2、平面对量基本定理及坐标表示（ 1）平面对量基本定理uruurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

14、精品资料_定理： 假如e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,ruruur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有且只有一对实数1 ,2 ,使 auruur1e12 e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）平面对量的正交分解把一个向量分解为两个相互垂直的向量,叫做把向量正交分解.（ 3）平面对量的坐标表示r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两

15、个单位向量i , j作为基底,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于平面内的一个向量a ,有且只有一实数x,y, 使 axiy j,把有序数对 （ x,y ）叫做向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrr量 a 的坐标,记作a =（ x,y ） , 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuurrruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 OAxiy j ,就向量 OA 的坐标（ x,y ）就是终点

16、A 的坐标,即如OA =（ x,y ）,就 A 点坐标为（ x,y ）,反之亦成立. （ O为坐标原点） 3、平面对量的坐标运算（ 1）加法、减法、数乘运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba +ba - b a坐标（x1,

17、y1 ）x2,y2x1+x2, y1+ y2x1-x2, y1-y2（ x1, y1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）向量坐标的求法uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 A（ x1,y1 ）, Bx2,y2,就 AB =（ x2-x1 ,y2-y1 ）,即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.（ 3）平面对量共线的坐标表示rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a =（ x1,y1 ）,b =x2,y2,其中 b 0,就 a 与 b 共线a = bx1y2-x2y1=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrx1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： a =（ x1,y1 ）,=x2,y2,就 a /b 的充要条件不能写成x2,由于x2,y2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有可能为0,故应表示成x1y2- x2y1=0.【热点难点精析】一、平面对量的概念及其线性运算（一）向量的有关概念相关链接1、着重懂得向量以下几个方面：（ 1）向量的模. （ 2）向量的方向. （ 3）向量的几何表示. （ 4）向量的起点和终点.2、判定两个向量的关系时,特殊留意以下两种特殊情形：（ 1）零向量的方向及与其他向量

19、的关系.（ 2）单位向量的长度及方向.例题解析【例 1 】给出以下命题：有向线段就是向量,向量就是有向线段.uuuruuur如 ABDC , 就 ABCD为平行四边形.rrrrrr如 a / /b,b / /c,就ac.rrrrrr如 a / /b, b / /c,就a / /c .其中正确命题的个数是（）（ A） 0（ B） 1（ C） 2（ D）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳

20、- - - - - - - - - - - -思路解析： 正确懂得向量的有关概念是解决此题的关键.留意到特殊情形,否定某个命可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题只要举出一个反倒即可.解答： 选 B.错, 向量可用有向线段表示,但并不是有向线段.错, 由于uuuruuurABDC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrr就可能 A、B、C、D 四点在一条直线上.正确. 错, 如 b0 ,就对不共线的向量a 与 c ,rrrrrr也有 a /0 , 0 /c ,但 a 与 c 不平行.【例 2】以下结论中, 不正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

21、料_uuuruuruuuuruuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A）向量 AB, CD 共线与向量AB/CD同义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuruuruuuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ B）如向量 AB/CD ,就向量 AB与 DC共线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuruuruuuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ C）如向量 AB = CD ,就向量 BA = D

22、C .rrrrrr（ D）只要向量 a , b 满意 | a |=|b | ,就有 a = b .解答：选D.依据平行向量（或共线向量）定义知A, B 均正确.依据向量相等的概念知 C 正确, D 不正确.（二）向量的线性运算相关链接（ 1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加、减法、数乘向量外,仍应充分利用平面几何的一些定理.（ 2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法就、三角形法就, 利用三角形中位线,相像三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解.注： 如 A 为 BC的中点,就例题解析例 1在

23、 ABC中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -uuur2 uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADAB, DE 3/ / BC交 AC于E,BC边上的中线 AM交 DE于N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuurr uuurrr ruuur uuur uuur uuur uuuur uuurABa,

24、ACb, 用a, b表示向量 AE、BC、DE、DN、AM 、AN .思 路 解 析 ： 解 本 题 要 进 行 向 量 的 加 、 减 法 外 , 仍 有 数 乘 向 量 运 算 , 如2 uuuruuuruuur1 uuur1 rABAD, DBABa, 333uuur1 uuur1 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDABa. 在进行运算时要充分利用 33ABM等条件.DE / / BCADE ABC, ADN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DE | BCuuur2 uuur2 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答：uuur2 uuur

25、AEACb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADAB 3uuuruuuruuurrr33uuur2 uuur2rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCACABba. 由 ADE ABC,得DEBC33ba ,又 AM 是 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的中线,DE/BC,且AM与DE交于点N,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuur1 uuur1rruuuuruuuruuuurr1 uuurr1rr1rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DNDEba . AMABBMaBCaba ab232222在 OAB中

26、,uuur1 uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_延长BA 到 C,使AC=BA,在OB 上取点D,使DBOB 3. DC 与 OA 交于E,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuurruuurrrruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAa , OBb, 用 a ,b 表示向量 OC 及向量 DC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuur1 uuuruuuruuuruuuruuurrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答： A 是 BC的中点,OAOBOC ,即 OC22OAOB2 ab,可编辑

27、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuruuuruuuruuur2 uuurrr2 rr5 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DCOCODOCOB2 abb2ab.333（三）向量的共线问题rr例 设两个非零向量a 与 b 不共线,u

28、uurrruuurrruuurrr（ 1）如 ABab, BC2a8b, CD3ab . 求证： A、B、 D 三点共线.rrrr（ 2）试确定实数k,使 kab 和 akb 共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuur思路解析：（ 1）由已知求BDuuur判定 ABuuur和 BD的关系判定 A、B、D 的关系.（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用共线向量的充要条件列方程组解方程组得k 值.uuurrruuurrruuurrr解答：（ 1） ABab, BC2a8b, CD3ab .uuuruuuruuurrrrrrrrrrruuur BDBCCD2

29、a8b3ab2 a8b3a3b5ab5AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuur ABuuur、 BD共线,又它们有公共点B, A、B、 D三点共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr（ 2 ） kabrr和 akbrr共 线 , 存 在 实 数 , 使 kabrr= （ akb）, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrrrrrrkab =akb . kak1b. a 、 b 是 不 共 线 的 两 个 非 零 向 量 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k=k1,k 2 -1

30、=0 . k =1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：（1）向量共线的充要条件中要留意当两向量共线量时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要留意待定系数法的运用和方程思想.（ 2）证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应留意向量共线与三点共线的区分与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.二、平面对量的基本定理及坐标表示（一）平面对量基本定理及其应用相关链接1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不同,表示也不同.rr2、对于两个向量a , b ,将它们用同一组基底表示,我们可通过分析这两个表示

31、式的rr关系,来反映a 与 b 的关系.3、利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法就或三角形法就进行向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的加减运算或进行数乘运算.r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：由于基底向量不共线,所以0不能作为一个基底向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题解析例 如图

32、：在平行四边形ABCD中, M, N 分别为 DC, BC的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中点,已知uuuurr uuururAMc, ANd , 试用rurc, d 表示uuuruuur AB , AD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路解析： 直接用rurc, d 表示uuuruuur AB, AD有难度,可换一个角度,由uuuruuur AB, ADuuuur表示 AM ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuurAN ,进而解方程组可求uu

33、uruuur AB, AD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答： 方法一：设就将代入得得方 法 二 ： 设因M , N分 别 为CD , BC 中 点 , 所 以因而即（二）平面对量的坐标运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -相关链接1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法就进行,如已知有向线段两端点的坐标,就应

34、先求出向量的坐标,解题过程中要留意方程思想的运用.2、利用向量的坐标运算解题.主要是依据相等的向量坐标相同这一原就,通过列方程（组）进行求解.3、利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数.4、向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代 数化,将数与形紧密结合起来,就可以使得许多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题解析uuurruuurruuuurruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例已知 A（ -2 ,4）,B（ 3,-1 ）,C（

35、 -3 ,-4 ）.设ABa , BCb, 且 CM3c, CN2b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求：rrr（ 1） 3ab3c;rrr（ 2）满意 ambnc 的实数 m,n;uuuur（ 3） M、N 的坐标及向量MN 的坐标.思路解析： 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.rrr解答： 由已知得 a5,5, b6,3,c1,8.rrr（ 1） 3ab3c =3（ 5, -5 ） +（ -6 , -3 ） -3 （ 1, 8） =（ 15-6-3 , -15-3-24） =（ 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-42 ）（ 2）rrmbnc6mn,3m8n5,5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6mn5m1, 解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3m8n5n1uuuuruuuuruuurruuuurruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）