2022年高中数学必修常考题型等比数列.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等比数列【学问梳理】1 等比数列的定义假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示 q 02假如在 a 与 b 中间插入一个数G,使 a,G,b 成等比数列,那么G 叫做 a,b 的等比中项,这三个数满意关系式G ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3等比数列 a 的首项为a,公比为 qq 0,就通项公式为：an 1 a q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【常考题型】1n1题型一

2、、等比数列的判定与证明1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】已知数列 an 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,令bn2 an,求证数列 bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是等比数列,并求其通项公式 解依题意 an 2 n 1 13 n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 bn1 3 n2.1 3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bn而bn 1211 4n221 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 3数列 bn 是公比为2 的等比数列,通项公式为bn 2.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法可

3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 定义法：an 1 qq 为常数且q 0或anan an 1 qq 为常数且 q 0,n 2. an 为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12 等比中项法：a2 anan 2an 0, nN * . an 为等比数列3 通项公式法：an a1qn 1其中 a1,q 为非零常数,nN * . an 为等比数列【对点训练】1已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2 an,求证：数列 an 是等比数列 证明： Sn 2 an,Sn 1 2 an 1.an 1Sn 1 Sn 2 an1 2 an an an 1.可编辑资料 - -

4、 - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -an 11an.2又S1 2 a1,a1 10.又由 an 1 1an 知 an0, 2an 11 an 2. an 是等比数列 .题型二、等比数列的通项公式【例 2】在等比数列 an 中, 1 a4 2, a7 8,求 an.2 a2 a5 18, a3 a6 9, an 1,求 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

5、品资料_ 解1 由于a4 a1q3,所以a7 a1q6,a1q3 2,a1q6 8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得 q3 4,从而 q 34,而 a1q3 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21n12n5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 a1q3,所以 an a1q 2. 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 法一 ：由于a2 a5 a1q a1q4 18,a3 a6 a1q2 a1q5 9,可编辑资料 - - - 欢迎下

6、载精品_精品资料_由得 q1,从而 a1 32.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 an1 1,所以 32 2n 1 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 26 n20,所以 n6.2.法二 ：由于 a3 a6 q a2a5 ,所以 q 1由 a1qa1 q4 18,得 a1 32.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精

7、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由 an a1qn 1 1,得 n6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式,an a1 qn 1a1q 0中包含了四个量,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中的三个量,可以求得另一个量求解时,要留意应用q 0 验证求得的结果【对点训练】2 1如等比数列的前三项分别为5, 15,45 ,就第 5 项是 A 405B 405C135D 1355 a a,就数列 a2 已知等比数列

8、 an 为递增数列,且a210, 2ann 2 5an1n 的通项公式an .解析： 1 选 Aa5 a1q4,而 a1 5,q a23,a1a5 405.2 依据条件求出首项a1 和公比 q,再求通项公式由2an an 2 5an 1. 2q2 5q 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. q 2 或1,由 a2a10 a1 910,又数列 an 递增,所以q 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25q 0. a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5a2 a100. a1q4 2 a1q9. a1 q 2,所以数列 an 的通项公式为an 2n.答

9、案： 1A22n题型三、等比中项【例 3】设等差数列 an 的公差 d 不为 0, a1 9d,如 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,就k 等于A 2B.4C6D 8k 解析 an n8 d,又a2 a1a2k ,k 8d 29d2 k 8d,解得 k 2舍去 ,k 4. 答案 B【类题通法】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等比中项的

10、应用主要有两点：运算,与其它性质综合应用可以简化运算、提高速度和精确度用来判定或证明等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【对点训练】a3已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项,又是1与1的等差中项,就ba ba2 b2的值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 或121B.1 或 121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1 或3D 1 或 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 D由题意得, a2b2 ab2 1, 112,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

11、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab 1,a b 2ab 1,或a b 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab1因此的值为 1 或.a2 b23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【练习反馈】1等比数列 a 中, aa 10, a a5q 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A. 4n1346 B.12,就公比4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2D 8解析： 选 B an 为等比数列, a4 a6a1 a3q3,q31 1 8,q 2.2已知等差数列 an 的公差为3,如 a1, a3,a4 成等比数

12、列,就a2 等于 A 9B.3C 3D 9解析： 选 Da1 a2 3,a3 a2 3, a4 a2 3 2 a2 6,由于 a1,a3,a4 成等比数列,3就 a2 a1 a4,所以 a2 32 a2 3a2 6,解得 a2 9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3在数列 an 中, a1 2,且对任意正整数n,3an 1 an 0,就 a

13、n .解析： 3an 1 an0,an 11 an 3,3因此 an 是以 1为公比的等比数列,.又 a1 2,所以 an 2 1 n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 2 13n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4已知 an 是递增等比数列,a2 2, a4 a3 4,就此数列的公比q .解析： 由题意得2q2 2q4,解得 q 2 或 q 1.又 an 单调递增,得q 1,q 2.答案： 25 1已知 an 为等比数列,且a5 8, a7 2,该数列的各项都为正数,求an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_92 如等比数列 an 的首项

14、 a18,末项 an3 如等比数列 an 中 an 4 a4,求公比q.6a1q4 8,1,公比 q 32,求项数n. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1由已知得a1q 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21q 4得,a1 128可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 0,1q ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 128.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1an 128 2n 128 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由 an a1q

15、n 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得19 2338n 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 2 n1 2333,得 n 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3 an 4 a4qn 4 4 a4qn,又 an 4a4,qn 1,当n 为偶数时, q 1.当 n 为奇数时, q 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载