2022年高中数学知识点总结_概率及其应用 2.docx

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1、精品_精品资料_概率及其应用1.解概率应用题要学会“说” ：第一是记大事, 其次是对大事做必要的分析,指出大事的概率类型,包括“等可能性大事” 、“互斥大事” 、“相互独立大事” 、“独立重复试验” 、“对立大事”等.然后是列式子、运算,最终别忘了作“答”. 2“等可能性大事”的概率为“目标大事的方法数”与“基本领件的方法数”的商,留意区分“有放回”和“不放回”.“互斥大事”的概率为各大事概率的和.“相互独立大事”的概率为各大事概率的积.如大事A 在一次试验中发生的概率是p ,就它在 n 次“独立重复试kkn k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_验”中恰好发生 k 次的概率为Pn

2、k Cn p 1p.如大事 A 发生的概率是 p ,就 A 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“对立大事”A 发生的概率是 1- p 等.有的同学只会列式子,不会“说”大事,那就依据你列的式子“说” ：用排列（组合）数相除的是“等可能性大事”,用概率相加的是“互斥事n件”,用概率相乘的是“相互独立大事”,用 C k 的是“独立重复试验” ,用“ 1 减”的是“对立大事”. 举例 1已知甲盒内有大小相同的3 个红球和 4 个黑球,乙盒内有大小相同的5 个红球和 4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2 个球（）求取出的 4 个球均为红球的概率.（）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的

3、概率.（ 07 高考天津文 18）解析：（）设“从甲盒内取出的2 个球均为红球”为大事A.从甲盒内取出 2 个球（基本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7大事）有C 2 种方法,它们是等可能的,其中2 个球均为红球（目标大事）的有C 2 种,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A2CC1723.设“从乙盒内取出的2 个球均为红球”为大事B ,有7P B32CC593218 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而“取出的 4 个球均为红球”即大事A 、B 同时发生,又大事A,B 相互独立,可编辑资料 -

4、- - 欢迎下载精品_精品资料_ P AB P AP B157185126可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设“从甲盒内取出的2 个球中, 1 个是红球, 1 个是黑球.从乙盒内取出的2 个红球为黑球”为大事C ,“从甲盒内取出的2 个球均为黑球.从乙盒内取出的2 个球中, 1 个是C 1C1C 22C 2C1C110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_红球, 1 个是黑球”为大事 D PC344CC2279=, P D21454CC22.7963可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而“取出的 4 个红球

5、中恰有 4 个红球”即大事C, D有一个发生,又大事C,D互斥,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PCDPCP D21016216363可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答： 取出的 4 个球均为红球的概率是512616,取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率是.63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 举例 2某的区为下岗人员免费供应财会和运算机培训,以提高下岗人员的再就业才能,每名下岗人员可以挑选参与一项培训、参与两项培训或不参与培训,已知参与过财会培训的有60%,参与过运算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的挑选是相互独立的,且各人的挑选相互

6、之间没有影响 （ I）任选 1 名下岗人员,求该人参与过培训的概率.（II ）任选 3 名下岗人员,求这3 人中至少有 2 人参与过培育的概率 （ 07 高考湖南文 17） 解析：任选 1 名下岗人员,记 “该人参与过财会培训” 为大事 A ,“该人参与过运算机培训”为大事 B ,由题设知,大事A 与 B 相互独立,且P A0.6 , P B0.75 （I）解法一：任选 1 名下岗人员,该人没有参与过培训即大事A 、 B 同时发生,其概率是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P1P A BP APB0.40.250.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品_精品资料_所以该人参与过培训的概率是1 P110.10.9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：任选 1 名下岗人员, 设该人只参与过一项培训为大事C,CABAB ,AB 与 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互斥, P（ C） =P（ ABAB ） =P（AB ）+P（AB ） =0.6 0.25+0.4 0.75=0.45 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该人参与过两项培训为大事D, PD=PAB=0. 6 0.75=0.45该人参与过培训即C、D 有一个发生,且 C、D 互斥,其概率为PC+D=PC+PD=0.

8、9;（II ）解法一：设任选3 名下岗人员, 3 人中恰有 2 人参与过培训为大事E, E 是独立重复可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2试验,其中 n=3,k=2,p=0.9 , PE=30.920.1 =0.243 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设任选 3 名下岗人员, 3 人都参与过培训为大事F, PF= 0.93 =0.729 “3 人中至少有 2 人参与过培训” 即 E、F 有一个发生, 又 E、F 互斥, 它的概率是： PE+F=PE+PF=0.243+0.729=0.972 .解法二：设任选 3 名下岗人员, 3 人中恰有 1 人参与过培训为大

9、事G, PG=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C310.90.120.027;设任选 3 名下岗人员, 3 人都没有参与过培训为大事H ,P（ H） =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30.10.001 .“ 3 人中至少有 2 人参与过培训”即EF ,P EF = 10.0270.0010.972;答：任选 1 名下岗人员该人参与过培训的概率是0.9,任选 3 名下岗人员,这 3 人中至少有2 人参与过培育的概率是0.972 巩固 1某条公共汽车线路沿线共有11 个车站（包括起点站和终点站） ,在起点站开出的一辆公共汽车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之

10、外的各个车站下车是等可能的求：（I）这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率.（II ）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率. （07 高考北京文 18） 巩固 2设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为3 和 4 ,且各次射击相互独立45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率.（）如甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率（ 07 高考重庆文 17） 3要精确懂得题意,吃透其中的“关键词”,如： “至多”、“至少”、“恰有“、“不全是”、“全不是”等.要能读出题目的“言下之意”. 举例 1 在医同学物试验中,常常

11、以果蝇作为试验对象一个关有 6 只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子： 6 只果蝇和 2 只苍蝇）,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只的往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔（I）求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率.（II ）求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率 （ 07 高考安徽文 19）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：设笼内恰好剩下k 只果蝇的大事为Ak k0,1,L,6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（I）笼内恰好剩下 1 只果蝇即第 7 只飞出的是苍蝇,而前6 只飞出的蝇子中有1 只苍蝇、 5可编辑资料 - - - 欢迎下载

12、精品_精品资料_只果蝇.基本领件有A7 种,它们是等可能的,其中目标大事有C 1C 5 A 6 种,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8266C1C 5 A63C1C1 A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 P A1 =266A78=.（ II）笼内至少剩下 5 只果蝇为大事14A5 +A6 ,P A5 =262A38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 1 , P A A2 = 1 ,又大事A 、 A 互斥,故 P A +A =PA +PA = 1 + 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

13、料_1465622A82856561428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 3 .答：笼内恰好剩下1 只果蝇的概率为283 ,笼内至少剩下5 只果蝇的概率3 .1428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P B P AA P A P A 3 3565628 举例 2 甲、乙两人个有 4 张卡片,现以掷硬币的形式进行嬉戏.当显现正面朝上时,甲赢得乙一张卡片, 否就乙赢得甲一张卡片,假如某人已赢得全部卡片,就嬉戏立刻终止,求掷币次数不大于6 时嬉戏恰好终止的概率.解析：明显,至少需掷币4 次,嬉戏才可能终止.现要求掷币次数不大于6 时嬉戏终止,看似有三种情形,即掷币次

14、数分别为4、5、6,但事实上掷币 5 次嬉戏终止的情形是不行能显现的：由于,第一前4 次不行能都为正面或反面（否就掷币4 次后嬉戏已经终止） ,如前 4次中有 1 次反面而其它4 次都为正面, 此时甲手中有 7 张卡片, 乙手中有 1 张卡片, 嬉戏尚可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_未终止.设掷币 4 次嬉戏终止的大事为A,P（A） =21 42= 1 .掷币 6 次嬉戏终止的大事8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 B,就前 4 次中有 1 次反面而其它 5 次都为正面,或前4 次中有 1 次正面而其它 5 次都为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

15、_4反面, P（ B） =2 C11 1522= 1 ,有又掷币次数不大于6 时嬉戏恰好终止为A+B ,且8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、B 互斥, P（ A+B） =P（ A） +P（ B）= 1 + 1 = 1 .884 巩固 1甲、乙两队进行一场排球竞赛,依据以往体会, 单局竞赛甲队胜乙队的概率为0.6, 本场竞赛采纳五局三胜制,即先胜三局的队获胜,竞赛终止,设各局竞赛相互间没有影响,求（）前三局竞赛甲队领先的概率.（）本场竞赛乙队以3： 2 取胜的概率 .（精确到 0.001） 巩固 2 10 个球中有一个红球, 有放回的抽取, 每次取出一球, 直到第 n 次才取

16、得 k kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次红球的概率为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n kkn kkn kk 1n k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn11A191010, B191010C C k 1191010D Ck 1191010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 3从某批产品中,有放回的抽取产品二次,每次随机抽取1 件,假设大事 A ：“取出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率P A0.96 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）

17、 求从该批产品中任取1 件是二等品的概率p .（2） 如该批产品共 100 件,从中任意抽取2 件,求大事 B ：“取出的 2 件产品中至少有一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件二等品”的概率PB （ 07 高考全国卷理 19）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 关注概率与其它学问点的“交汇”,如数列、不等式、解析几何等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 举例 1 设集合 A1,2, B1,2,3 ,分别从集合 A和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面上的一个点Pa, b,记“点Pa, b

18、落在直线 xyn 上”为大事Cn 2 n 5, nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,如大事Cn 的概率最大,就 n 的全部可能值为（）（ 07 高考山东文 12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3B 4C 2 和 5D 3 和 4解析： 点 Pa, b 落在直线 xyn 上,即 abn .集合 A 和 B 中随机取一个数a 和 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 6 种方法,它们是等可能的,其中使得ab2 有 1 种,使得 ab3有 2 种,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab4 有 2 种,使得 ab5 有 1 种

19、.故使得大事Cn 的概率最大的 n 可能为 3 和 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 举例 2正四周体的各顶点为A1 , A2 , A3, A4 ,进入某顶点的动点X 不停留在同一个顶点上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_每隔 1 秒钟向其他三个顶点以相同的概率移动.n 秒后 X在Ai i1,2,3,4的概率用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Pi nn=0,1,2 表示.当P101 , P2401, P3201, P4801 时,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）求P2 1

20、, P2 2.2 求 P2 n 与 P2 n1 的关系（ nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）求P2 n 关于 n 的表达式,（ 4）求P1 n 关于 n 的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 ： P2 1 即 1 秒后动点在A2 的概率,它有三种情形.开头时（0 秒）在A1 ,1 秒后移可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_动到 A2 .由题意知, 每隔 1 秒钟动点 X 从一个顶点移动到另

21、一个顶点的概率均为1 .所以3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种情形的概率为：P 0 1 =131.开头时在12A3 ,1 秒后移动到A2.其概率为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P3 0 1 = 1 .开头时在324A4 , 1 秒后移动到A2 .其概率为：P4 0 1 = 1 .324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又这种情形互斥,1P2 1 =+1211+=24241.我们设想一下,假如仍旧按这个方法运算6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P2 2,将不胜其烦,由于第一要算P

22、1 1 、 P3 1 、 P4 1 .事实上 1 秒后动点在A2 ,即开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_始时（ 0 秒）动点不在A ,其概率为： 1- P 0 =12,而每隔 1 秒钟动点 X 从一个顶点移动可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到另一个顶点的概率均为1 .所以P2 1= 1 1 =1 .类似的, 2 秒后动点在A2 ,即 1 秒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后动点不在3A ,其概率为： 1- P1 =25 , P32 =65 1 =5

23、 . n 秒后动点在2A ,即 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_622263181可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_秒后动点不在A2 ,其概率为： 1- P2 n1 ,P2 n =1-P2 n1 .至此,问题化归3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为数列问题.即：已知数列P2 n 满意：1P2 n =-3P2 n1 + 1 ,求通项公式.用待定3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系数法构造等比数列,设P n + x =- 1 23P2 n1 + x ,得 x =1,可见4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列 P2 n

24、1 是以 - 1 为公比的等比数列,其首项为11P2 1=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P2n411=41231 n31 , Pn = 1241 1 n 1 .123412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_完全类似的,可得1P1 n =-3P1 n11 +,于是有3P1 n1 =- 1 P n11 1434可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但 P1 11=0,数列 4P1n 是常数列,即1.P1 n =4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 ：此题的关键是：第n 秒后动点在某一顶点即意味着第n1秒后动点不在该顶点,由此反映的它们的

25、概率之间的关系正是数列的前后项之间的关系即递推关系,于是从概率问题自然的过渡到数列问题,再用数列的方法解决之.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 1 已知一组抛物线 y1 ax 2bx21 ,其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中任取的一个数, 从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是（）（07 高考四川理 12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A ）1（B ）127（ C）606（D ） 52525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

26、精品资料_ 巩固 2 位于坐标原点的一个质点P 按以下规章移动：质点每次移动一个单位.移动的方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12,质点 P 移动五次后位 于点 2,3 的概可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率是（）（07 高考山东理 12）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233A 1B C212223C C212323D C1C2121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 3 有人玩掷硬币走跳棋的嬉戏,已知硬币显现正反面的概率都是,棋盘上标有第02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

27、精品资料_站,第 1 站,第 100 站,一枚棋子开头在第0 站,棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次,如掷出正面, 棋子向前跳一站 （从 n 到 n+1）,如掷出反面, 棋子向前跳两站 （从 n 到 n+2）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直到棋子跳到第 99 站（成功大本营） ,或跳到第 100 站（失败集中营）时该嬉戏终止,设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn.（ 1）求 P1, P2,P3; （ 2）求证：数列 Pn-Pn-1 是等比数列 n N,n 99.（ 3）求 P99及 P100的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案32、 巩固 10.1512,0.01458; 巩固 220,0.4825. 3、 巩固 10.648,0.138 . 巩固 2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 30.2,179 .4、巩固 1 B ,巩固 2 B ,巩固 3 P1=4951 ,P2=23 ,Pn-Pn-1=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- 1 Pn-1 - Pn-2 2n99, n N, 2P99= 132- （1 ） 99.P100 =21 1+3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ）99 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载