2022年高考第一轮复习数学：14.2---导数的应用 .docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 14.2 导数的应用 学问梳理1设函数 y=fx在某个区间内可导 ,假设 f x 0,就 fx为增函数 ;假设 fx 0,就 fx为减 函数 . 2求可导函数单调区间的一般步骤和方法 . 确定函数 fx的定义区间 . 求 f x,令 f x=0,解此方程 ,求出它在定义区间内的一切实根 . 把函数 fx的间断点即包括fx的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小到大的次序排列起来 ,然后用这些点把函数 fx的定义区间分成假设干个小区间 . 确定 f x在各小开区间内的符号 ,依据 f x的符号判定函数 fx在每个相应小开区间内的增减性 . 1极

2、值的概念设函数 fx在点 x 0 邻近有定义 ,且假设对 x0 邻近全部的点都有 fx fx0或 fx fx0,就称 fx0为函数的一个极大小值 ,称 x0 为极大小值点 . 2求可导函数 fx极值的步骤 . 求导数 f x. 求方程 f x=0 的根 . 检验 f x在方程 f x=0 的根的左右的符号 ,假如在根的左侧邻近为正 ,右侧附近为负 ,那么函数 y=fx在这个根处取得极大值 ;假如在根的左侧邻近为负 ,右侧邻近为正 ,那么函数 y=fx在这个根处取得微小值 . 1设 y=f x是定义在区间a,b上的函数 ,y=fx在 a,b内有导数 ,求函数 y=fx在 a,b上的最大值与最小值

3、 ,可分两步进行 . 求 y=fx在 a,b内的极值 . 将 y=fx在各极值点的极值与fa、fb比较 ,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值 . 2假设函数 fx在 a,b上单调增加 ,就 fa为函数的最小值 ,fb为函数的最大值 ;假设函数 fa在 a,b上单调递减 ,就 fa为函数的最大值 ,fb为函数的最小值 . 特殊提示我们把使导函数 f x取值为 0 的点称为函数 fx的驻点 ,那么1可导函数的极值点肯定是它的驻点 ,留意这句话中的“ 可导”y=|x|在点 x=0 处有极小值 f0=0,可是我们在前面已说明过 ,f 0根本不存在 ,所以点 x=0 不是 fx的驻点 . fx=

4、x3 的导数是 f x=3x2,在点 x=0 处有 f 0=0,即点 x=0 是 fx=x 3 的驻点 ,但从 fx在 , +上为增函数可知 ,点 x=0 不是 fx的极值点 . _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 8 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 点击双基1.2022 年海淀区高三第一学期期末模拟函数 增函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是A. , 3 B. ,2 2 2C.3 , 5 D.2 ,3 2 2解析： y= xsinx+cosx=sinx+xcosxsinx=xcosx, 当 x3 , 5 时 ,恒有 xcosx0. 2

5、2答案： C y=1+3 xx 3 有A. 微小值 2,极大值 2 B.微小值 2,极大值 3 C.微小值 1,极大值 1 D.微小值 1,极大值 3 解析： y=33x2=31+x1x. 令 y=0 得 x1=1,x2x 1 时,y 0,函数 y=1+3xx3是减函数 ;当 1x 1 时 , y0,函数 y=1+3x x3是增函数 ;当 x 1 时 ,y 0,函数 y=1+3xx3是减函数 . 当 x=1 时 ,函数 y=1+3xx3有微小值 1;当 x=1 时,函数 y=1+3xx3有极大值 3. 答案： D fx在 a,b内有定义, x0 a,b,当 xx0 时, f x0;当 xx0

6、时, f xx0是解析 :f x在 x0 处不肯定连续 . 答案 :D fx= xx在,上的单调性是 _. 解析 :f x=exex=exe2x1,当 x 0,+时, f x 0. fx在 0,+上是增函数 . 答案 :增函数fx=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数,就 _. m 的取值范畴是 _ 解析 :f x =3x2+2x+m.fx在 R 上是单调递增函数 , f x 0 在 R 上恒成立,即 3x2+2x+m0. 由 =44 3m 0,得 m1 . 3答案 :m1 3 典例剖析【例 1】 求函数 y=2x4x3的值域 . 剖析 :求函数值域是中学数学中的难点,一般可以通过图

7、象观看或利用不等式性质来求_精品资料_ 解,也可以利用函数的单调性求出值域.此题形式结构复杂,可采纳求导的方法求解. 第 2 页,共 8 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解:函数的定义域由2x3400求得 x 2. x求导得 y=214213y=2x4x3在 2,+上是增函xx=2xx342x4 3. 22x由 y 0 得 2x32x4, 2x40解得 x 2,即函数即x304 x3 2x4,数. 又此函数在x=2 处连续 ,在 2,+上是增函数,而f 2=1. 函数 y=2x4x3的值域是 1,+ . 评述 :函数 y=fx在 a,b上为单调

8、函数,当在上也是单调函数 . a,b上连续时, y=fx在 a,b【例 2】 已知 f x=ax3+bx 2+cxa 0在 x= 1 时取得极值,且 f1= 1, 1试求常数 a、b、c 的值；2试判定 x= 1 是函数的极大值仍是微小值,并说明理由 . 剖析 :考查函数 fx是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极值点与导数的关系,即极值点必为 f x=0 的根建立起由极值点 x= 1 所确定的相关等式,运用待定系数法确定 a、b、c 的值 . 1解法一 :f x =3ax2+2bx+c,x= 1 是函数的极值点 , x= 1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根 . 由

9、0,根与系数的关系知2b3 ac13a又 f1=1,a+b+c=1. 由解得a=1 ,b=0,c=23 . 2解法二 :由 f 1=f 1=0, 得 3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. _精品资料_ 又 f1=1,a+b+c=1. 第 3 页,共 8 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 由解得a=1 ,b=0,c=23 . 22解 :fx=1 x323 x,f x= 23x23 = 23 x1 x+1. 22当 x 1 或 x1 时,f x 0;当 1x1 时, f x 0. x=1 时, fx有极大值； x=1 时,fx有微小值 . 【例

10、3】 已知函数 fx=2ax1 2 ,x 0,1 . x1假设 f x在 x 0,1上是增函数,求 a 的取值范畴；2求 fx在区间 0,1上的最大值 . 剖析 :1要使 fx在 0,1上为增函数,需2利用函数的单调性求最大值 . f x 0,x 0,1 . 解:1由已知可得 f x=2a+x 23 ,fx在 0,1上是增函数,f x 0,即 a13 , x 0,1.a 1. x当 a=1 时, f x= 2+ 23 对 x 0,1也有 f x 0,满意 fx在 0,1x上为增函数,a 1. 2由 1知 ,当 a 1 时,fx在 0,1上为增函数 , fx max=f1=2a1. 当 a 1

11、时,令 f x=0 得 x=31a, 31ax 1 时, f x 0.f x031a1,0 x31a时,f x 0; 在 0, 31a上是增函数,在31a,1减函数 . fx max=f 31a=33a2. 评述 :求参数的取值范畴,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的学问解决较简单. 深化拓展1也可用函数单调性的定义求解 . 摸索争论函数 f x在区间 D 上的极值与最值有什么联系？ 闯关训练夯实基础_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 8 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - x 3A. x 6sinxx0xx x0 2C.2 x sinx 0x解析

12、：令 Fx=xsinx,就 Fx =1cosx0当 x0,x 2n ,n=1,2, . 故 Fx在 xx0 时,有 Fx F0=0. 答案： B yfx=sin3x 在点6,3 处的切线方程是 2f = 63 ,切线方程为 26 ,所以所求切线的斜率为 6x+2y+3 =0 2x2y+3 =0 2x2y3 =0 2x+2y3 =0 2解析 :由于 f x=3cos3x3 = 23 x ,即 3x2y+ 63 =0. 22答案 :B y= x 2xx0的最大值为 _. 解析 :y= 12, 2 x当 0x1 时, y 0,y= x 2x 在 0, 1 上为增函数 . 16 16当 x1 时, y

13、 0, y= x 2x 在1 ,+上是减函数 . y= x 2x 在 0,+16 16上的最大值为 1 2 = 1 . 16 16 8答案 : 184. 2022 年北京东城区模拟题假如函数 y=f x的导函数的图象如以下图所示 ,给出以下判定 : _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 8 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - y- 2- 12345x- 3-1-2O1函数 y=fx在区间 3,1 内单调递增 ; 2函数 y=fx在区间1 ,3内单调递减 ; 2函数 y=fx在区间 4,5内单调递增 ; 当 x=2 时,函数 y=fx有微小值 ; 当 x=1

14、 时,函数 y=fx有极大值 . 2 就上述判定中正确的选项是 _ 解析 :当 x 4,5时 ,恒有 f x 0. 答案 :在fx=2axb +ln x 在 x=1,x= x1 处取得极值 . 21求 a、b 的值；2假设对 x1 ,4时, fx c 恒成立,求 4c 的取值范畴 . 解:1 f x=2axb +lnx, xf x=2a+b+1 . xx2fx在 x= 1 与 x=1 处取得极值,2f 1=0,f 1 =0, 2即2abb120,.解得a,12a40b.1所求 a、b 的值分别为1、1. 2由 1得 f x=21+1 = x12x2+x1=12x1x+1. x2x2x2当 x1

15、 , 41 时, f x 0;当 x21 ,4时, f x 0. f21 是 fx21 只有一个微小值,4fx min=f1 =3ln2. 2fx c 恒成立, cf x min=3ln2. _精品资料_ c 的取值范畴为c3ln2. 第 6 页,共 8 页6. 2022 年全国 ,理 19已知 aR,求函数 fx=x 2e ax 的单调区间 . - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解:f x=2xeax+ax2e ax=2x+ax2eax. 当 a=0 时,假设 x0,就 f x 0,假设 x0,就 f x 0. 所以当a=0 时,函数f x在区间

16、,0内为减函数,在区间0,+内为增函数 . 当 a0 时,由 2x+ax20,解得 x2 或 x0;由 2x+ax20,得2 x0. a a所以当 a0 时,函数 fx在区间,2 内为增函数,在区间2 ,0内a a为减函数,在区间0,+内为增函数 . 当 a0 时,由 2x+ax20,得 0x2 . a由 2x+ax20,得 x0 或 x2 . a所以当 a0 时,函数 fx在区间 ,0内为减函数,在区间0,2 内为增a函数,在区间2 ,+内为减函数 . a培育才能xR,求证： e xx+1. 证明 :设 fx=exx1,就 f x =ex1. 当 x=0 时, f x=0,fx=0. 当 x

17、0 时, f x 0,fx在 0,+上是增函数. fx f0=0. 当 x0 时, f x 0,f x在 ,0上是减函数,fx f 0=0. 对 xR 都有 fx 0.exx+1. 8. 2022 年全国,文21假设函数fx=1 x331 ax2+a1x+1 在区间 1,42a 的取值范畴 . 内为减函数,在区间6,上为增函数,试求实数解:函数 fx的导数 f x=x2ax+a1. 令 f x=0,解得 x=1 或 x=a1. 当 a11,即 a2 时,函数 f x在 1,+上为增函数,不合题意 . 当 a11,即 a2 时, 函数 fx在 ,1上为增函数, 在1,a1内为减函数,在 a1,+

18、上为增函数 . 依题意应有当 x 1,4时, f x 0, 当 x 6,+时, f x 0. 所以 4a 16,解得 5a7. 所以 a 的取值范畴是5,7 . 探究创新fx的图象与函数h x=x+1 +2 的图象关于点 xA0,1对称 . 1求 fx的解析式；2假设 gx =f x+a ,且 gx在区间 0,2上为减函数,求实数 xa 的取值范畴 . _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 8 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解 :1设 fx图象上任一点坐标为x,y,点 x,y关于点A0,1的对称点 x,2y在 h x图象上 . 2y=x+ 1 +2.

19、 xy=x+ 1 ,即 fx=x+ 1 . x x2gx=x+ a 1 , xg x=1ax 2 1,gx在 0,2上递减,1ax 2 10 在 x 0,2时恒成立 , 即 ax21 在 x 0,2时恒成立 . x 0,2时,x21 max=3,a3. 思悟小结1.函数单调性的充分条件,假设f x0或 0,就 f x为增函数或减函数. 2.函数单调性的必要条件,设fx在 a,b内可导,假设f x在 a,b上单调递增或递减 ,就 f x 0或 f x 0且 f x在 a,b的任意子区间上都不恒为零 . 3.可以用单调性求函数的极值、最值 . 老师下载中心教学点睛利用导数解有关函数的单调性、极值、

20、 最值的问题是本节的主要题型,也是高考考查的重点,复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要留意判定端点能否取到,用导数求单调函数的最值时要留意由极值到最值的过渡 . 拓展题例【例题】设函数 y=fx=ax3+bx 2+cx+d 图象与 y 轴的交点为 P,且曲线在 P 点处的切线方程为 24x+y12=0,假设函数在 x=2 处取得极值 16,试求函数解析式 ,并确定函数的单调递减区间 . 错因点评：有的同学不知道 P 点处的斜率为 y| x,即 yp |x=0 为已知切线方程的斜率x=2 时有极值 ,且极值为 16,找不到与 a、b、c、d 的关系 ,从而无法求出 a、b、c、d,导致错解. 正确思路：由y=3ax2+2bx+cf 0=c, 切线 24x+y12=0 的斜率 k=24, c=24,把 x=0 代入 24x+y12=0 得 y=12. 得 P 点的坐标为 0,12,由此得 d=12,fx即可写成 由函数 fx在 x=2 处取得极值 16,就得0168 a44b36 ,解得a,112 ab24 ,b.3fx=ax3+bx 224x+12. fx=x3+3x 224x+12,f x=3x2+6xf x 0,得 4x2. _精品资料_ 递减区间为4,2. 第 8 页,共 8 页- - - - - - -