2022年高观点下的几何学练习题及参考答案 .docx
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1、精品_精品资料_高观点下的几何学练习题参考答案一一、填空题.1公理法的三个基本问题是相容性问题 、独立性问题和 完备性问题.2公理法的结构是原始概念的列举、定义的表达、 公理的表达和定理的表达和证明3仿射变换把矩形变成平行四边形4仿射变换把平行线变成平行线5仿射变换把正三角形变成三角形.二、简答题.1. 试给一个罗氏几何的数学模型.答:罗氏几何的 Cayley-F.kLein模型在欧氏平面上任取一个圆,把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”.罗氏平面几何的原始概念说明成:罗氏点:圆内的点.罗氏直线:圆内的开弦两个端点除外,它们可称为无穷远点.结合关系:圆内原先的点和线的结合关系.介于关系:
2、圆内弦上三点的介于关系.运动关系:欧氏平面上,将圆K 变成自身的射影变换.罗氏平行公理在罗氏平面上通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交.2. 试给一个黎曼几何的数学模型答:黎曼几何的 F.KLein 模型黎曼几何的原始概念说明成:黎氏点:欧氏球面上的点,但把每对对径点看成一点. 黎氏直线:球面上的大圆.黎氏平面:改造后的球面.黎氏点与黎氏直线的基本关系:(1) 通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线.(2) 通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线.(3) 每条黎氏直线上至少有两个黎氏点.至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上.黎曼几何平行公理:黎氏平面上任意两条直线相交.3. 简述公理法的
3、基本思想.答:假设干个原始概念包括元素和关系、定义和公理一起叫做一个公理体系,构成了一种几何的基础.全部元素的集合构成了这种几何的空间.在这个公理体系的基础上,每个概念都必需给出定义,每个命题都必需给出证明, 原始概念、 定义、公理和定理依据规律关系有次序的排列而构成命题系统规律结构,这就是公理法思想.4. 简述公理系统的独立性答:假如一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明,即不时其余公理的推论,就称这跳公理在公理系统中是独立的.假如一个公理系统中的没一条工理都是独立的,就称这个公理系统是独立的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 试着陈述非欧几何是怎样产生的?答:众所周
4、知,欧几里得几何原本是演绎体系的里程碑,虽然它不尽完善,但它的确是建立科学演绎体系的最早的代表作,它一经问世,就引起了学术界的广泛关注,欧几里得之后的数学家们在对几何原本的讨论过程发觉,它的第五公设的内容不象前四条公设表达的那么简洁,同时它又是在其次十九条命题之后才显现的,于是这些数学家很自然提出这样一个问题:是否底五公设它不是一条公理,而是一条命题了?与是他们试图去论证第五公设的独立性,在这种论证过程中,罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无冲突的科学演绎体系,即罗氏及何与黎曼几何,这两种几何与欧氏几何有共同的肯定几何公理体系,只是平行公理不同.6. 简述公理系统的完备性.答:假如公理系统的全部
5、模型都是同构的,就称这个公理系统是完备的,或称其具有完备性.7. 简述公理系统的相容性.答:公理系公理系统的相容性是指这个系统的全部构成要素是无冲突的.任何一个公理系统都要满意无冲突性.证明公理系统的相容性常用的方法是模型法.三、挑选题.1. 三角形内角和等于180 度与 AA欧氏平行公理等价B罗氏平行公理等价C椭圆几何平行公设等价D不可判定2. 欧氏几何与非欧几何的本质区分为AA平行公设不同B结合公理相同C肯定公设不同D结合公理不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设点A, B,C 共线,且在仿射变换下分别变成A ,B , C ,就A , B, C 三点 A可编辑资料 -
6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 共线B三角形顶点C可能不共线D可能重合4. 正方形在仿射变换下变成BA. 正方形B平行四边形C菱形D矩形5. 正方形的以下性质中哪些是仿射的1, 41对边平行.2四角相等. 3四边相等. 4对角线相互平分.5对角线相互垂直. 6角被对角线平分. 7对角线相等. 8面积6在仿射对应下,哪些量不变?C , DA. 长度B角度C单比D交比四、运算与证明题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 求出将点 3,1 变成点 1,3 的绕原点的旋转变换,再将所得的变换用于抛物线y2x8y180 上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:设所求的旋转变换为x y x cos x siny sin y cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就于是所求的旋转变换为2x yy x即 xy yx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将此变换用于所给的抛物线得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 28x y 180 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 试确定仿射变换,使y 轴、 x 轴的象分别为直线解:所求变换的公式为xy10和 xy10 ,且点 1,1 的象为原点.可编辑资料 -
8、- - 欢迎下载精品_精品资料_x y就 x0 变成直线1x 1 x2 x 1 y 1 y 12 y210其中01122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但由题设 x所以0 变成 xy 10 可知, 1x 1 y10 与 x y 10 表示同始终线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111h因此同理此处 h, k 是参数.hxxkyxy 1y 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于点 1, 1的象为原点,于是h1, k1,所以,所求变换的逆式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x
9、x y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y由此得出所求的仿射变换为 x x y y 1xy22xy122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 求出将点 2,3 变成点 0,1 的平移变换,在这个平移变换下,抛物线2yx8 y180 变成什么曲线?可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:设所求的平移变换为xxay yb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将已知对应点的坐标代入上式得02a13b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是a
10、所以所求的平移变换为2,b4x x2即y y4x x 2y y 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将此变换用于所给的抛物线上2 y 4 x 28 y 4180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 y x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 求仿射变换x 7xy1y 4x2y4的二重直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:设所求的不变直线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0 A, B 不同时为 0可编辑资料
11、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即在所给的变换下,AxByC0 对应AxByC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于Ax ByCA7 xy1B4 x2y4C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 A4BxA2B y A4BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以消去 A, B,C 得7A4BAA2BBA4BCC123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7401200141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绽开化简得172410可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得1,3,6由于当1时, AB30 ,因此不对应不变直线,分别将3,6 代入 1, 2,3得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB,CB和A24B, C0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以不变直线为 2x2 y30和4xy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 证明,直线AxByC0 将两点P x , y 与P x, y 的连线段分成的比是Ax1By1C .
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