2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）-附答案.docx

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1、2021年高考理数真题试卷(全国乙卷)一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。(共12题；共60分)1 .设 2 (z+ z ) +3(z- z )=4+6i,那么 z=().A. l-2iB. l+2iC. 1+iD. 1-i.集合 S=s|s=2n+l, nGZ , T= t|t=4n+l, nGZ),那么 ScT二()A. 0B. SC.TD.Z.命题p： 3 xGR, sinx1,那么以下命题中为真命题的是()A. p A qB. -i p A qC. p A -i qD. -i (pVq).设函数f(x)=三,那么以下函数中

2、为奇函数的是()A. f(x-l)-lB. f(x-l)+lC. f(x+l)-lD. f(x+l)+l.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BiDi的中点，那么直线PB与ADi所成的角为()B.c.D.2 .将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个工程进行培训，每名志愿者只分 到1个工程，每个工程至少分配1名志愿者，那么不同的分配方案共有()A. 60 种B. 120 种C. 240 种D. 480 种.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移J个单位长度，得到函数户sin(x-；)的图像，那么f(x)=()A /

3、x 7兀 1A. sin()212 ,Bsin( f+)C. sin( 2% -工)77D. sin( 2x + )8 .在区间(。，1)与(1, 2)中各随机取1个数，那么两数之和大于；的概率为()D.9 .魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E, H, G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为表高，EG称为表距, GC和EH都称为表目距,GC与EH的差称为表目距的差。那么海岛的高AB=().H1si = x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3

4、)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.（2）由中数据得y - % =0.3, 2 卫i之0.347 io显然夕-元2 叵I ,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 10【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【分析】（1）先计算新旧样本平均数五歹，再直接用公式计算SI2 , S22；由（1）中的数据，计算得：y - % =0.3, 2 叵I -0.34 ,显然歹- V2 鹿，可得到答案。7 10 10（1）解：因为PDJL平面ABCD,且矩形ABCD中，ADJLDC,所以以DA , DC , DP分别为x, y, z轴正方向，D为

5、原点建立空间直角坐标系D-xyz。Z设 BOt, A (t, 0, 0) , B (t, 1, 0) , M ( 1 , 1, 0) , P(0, 0, 1),所以 PB = (t, 1, -1) , AM =（1,。），因为PB_LAM,所以P5 AM =- v +1=0,所以g 加，所以BC二企。（2）设平面APM的一个法向量为m = （x, y, z）,由于存=（鱼，0, 1）,那么TH AP = V2x + z = 0一 V2血飞乂 = 一彳% + 丫 = 令x= V2，得而二（鱼，1,2）设平面PMB的一个法向量为n = (xl , yt , z9 ,那么 几 CB = 0n pg

6、= V2xe + -=0令 yl =1,得 n =(0, 1, 1).所以cos (万，元)二端二-=四，所以二面角A-PM-B的正弦值为回.17nli 九 I V7XV2 1414【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角【分析】(1)建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；(2)呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。18. (1)由4=2,那么普 =Sn(n2) 3n DnDn+1o 21T + -；- =2 = 2bn-i+2=2bn = bn-bn-i= : (n2), bi= | Dn Dn22故bn)是以f为首项，1为公差

7、的等差数列。(2)由(1)知 bn= 1 + (n-1) I =，贝白 + - =2 = Sn= -7222九+271+1n=l 时，ai=Si=- 20 n+2n+11n2 时,an=Sn-Sn-i= = 一n+1 n n(n+l)34-,n = 1故 an= 2-n(n+l),n 2【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式【分析】(1)根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。(2)呈上，先写出bn,再求bn前n磺的和Sn ,再由dn与Sn的关系，进一步求得结果。20. (1) xf(x)=xf(x)+xf(x)当 x=0 时，xf(x),=f(0)=lna=0,所

8、以 a=1(2)由 f(x)=ln(l-x),得 xVl当 OVxVl 时,f(x)=ln(l-x)0, xf(x)0, xf(x)xf(x), x+ln(l-x)-xln(l-x)0令 l-x=t(t0 且 txl), x=l-t,即证 l-t+lnt-(l-t)lnt0令 f(t)=l-t+lnt-(l-t)lnt,那么 f(t)=-l- - -l)lnt+ =-l+ - +lnt- - =lnt tttt所以f(t)在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，故f(t)f (1) =0,得证。【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】(1)先对函数

9、y=xf (x)求导：xf(x)=f(x)+xF(x),因为x=0是方程的根,代入求得a值。(2)首先由(1)写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明x+f(x)xf(x),即证：x+ln(l-x)-xln(l-x)0 ,然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。21. （1）解：焦点F（0 ）到1+（ +4）2 = 1的最短距离为5+3 = 4 ,所以p=2.（2）抛物线 V = ：x2，设 A（X1 , yi） , B（X2 ， 丫2）, P（xo ， yo）,贝U J *PA=y = 1X1（X X P + yl = lXlX = lXlX _ 71

10、，_ 1伊4， PB 都过点 P(XO ， 丫0)，那么丫_产“ y1故 =lX()X-y ,即 y = 1XqX - yQ .y。= x2xo - y2，_ 1 _联立联立A = 4xo - 16yo .72X a y()，得 X? - 2x0x +,yO =。，Y2 = 4y)ASPAB ；, dP-AB_ I 就一4yoi dP”不所以20 X1 - 23 - 2XJ 5 1y “2 =3 - 2而y0 e -5,-3 .故当yo=-5时，s“ab到达最大，最大值为20V5.【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用【分析】(1)因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半

11、径1,据此得到结果；(2)由(1)写出抛物线的标准方程，分别设出切点A,B的坐标，及P (在圆M上)的坐标，分别写出 两条切线的方程，利用A,B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。四、选修4 一 4：坐标系与参数方程22. (1)因为O C的圆心为(2, 1),半径为1 .故 C的参数方程为22. (1)因为O C的圆心为(2, 1),半径为1 .故 C的参数方程为x = 2 + cosOy = 1 + sin3为参数).(2)设切线 y=k (x-4)+l, BP kx-y-4k+l=0.士/ |2 J-4/c + l| 故 VT+F=1即 |2k|= V1 +

12、 /C2，4 /c2 = 1 + k2 ，故直线方程为y=m(x-4)+l, y= 一叵(x-4)+l 33故两条切线的极坐标方程为p sin 0 = cos 0 - |V3 +1或p sin。=且cos 0 + |V3 +1. 333J【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程【分析】(1)根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；(2)设出过点(4, 1)的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程, 并将它们化为极坐标方程。五、选修4 一 5：不等式选讲 23. (1)解：f(x)=|x-l| + |x+3|,即求|*。| + *3|26的解集.

13、当 x21 时，2x 十 226,得 X22;当-3xl时，426此时没有X满足条件；当 x-3 时-2X-226.得 x-3 时，2a+30,得 a- 一 2综上，a- | .【考点】不等式的综合【分析】(1)当a=l,写出(2)只要保证f(x)最小值X此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|-a.；a-a,此时a不存在.f(x)=|x-l| + |x+3| ,进一步分段讨论去值，解不等式;，而由绝对值的几何意义,即求x到a和-3距离的最小值.A.霄舞+表高表目距的差表局X表距.主打G 表目距的差D.表高X表距表目距的差-表距10.设axO,假设x=a为函数f（x） = a（x - a）

14、2（x - b）的极大值点，那么（）A. abA. abC. aba22211 .设B是椭圆C： 、+ =1 （ab0）的上顶点，假设C上的任意一点P都满足|pB| 2b ,那么C的 a b离心率的取值范围是（）C.（。当12.设a=21nl.01 ， aA. abcb = lnl.02 , c = VL04- 1 ,那么()B. bcaC. bacD. ca0）的一条渐近线为 gx +my=。，那么C的焦距为.m y.向量 a - （1, 3） , b= （3, 4）,假设（五-入，那么入=o13 .记 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,面积为 国,B=60, a2+c2

15、=3ac,那么b=.14 .以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，那么所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.图图图三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17.21题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一 台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.

16、410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为无和歹，样本方差分别记为Si?和S22(1)求无，y , si2 , S22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y - % 2，那么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否那么不认为有显著提高).15 .如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD, PD=DC=1, M为BC的中点，且PB_LAM,(1)求 BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值。2119.记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项和，

17、工 +广=2.Dn(1)证明：数列4是等差数列；(2)求an的通项公式.20,设函数f (x) =ln (a-x),x=0是函数y=xf (x)的极值点。(1)求 a；(2)设函数 g (x)=也4g ,证明：g (x) 0)的焦点为F,且F与圆M： x2+ (y+4) 2=1上点的距离的最小值为4.(1)求 p；(2)假设点P在M上，PA, PB是C的两条切线，A, B是切点，求 PAB的最大值.四、选修4 一 4：坐标系与参数方程(共1题；共10分).在直角坐标系xOy中，O C的圆心为C (2, 1),半径为L(1)写出O C的一个参数方程；(2)过点F (4, 1)作O C的两条切线，

18、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两 条直线的极坐标方程.五、选修4 一 5：不等式选讲(共1题；共10分).函数 f (x) = |x-a| +1x+31.(1)当a=l时，求不等式f (x) 26的解集；(2)假设f (x) -a,求a的取值范围.答案解析局部一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目 要求的。1. C【考点】复数代数形式的混合运算设5 = a bi, 2(z + z) + 3(z z) = 5z z = 4a + 6bi = 4 + 6。所以 a=b=l,所以 z = l+i。故答案为：C【分析】先设

19、z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。2. C【考点】交集及其运算当 n=2k (k 6 Z)时，S=s|s=4k+1, k E z ,当 n=2k+l (k e Z) Ht,S=s | s=4k+3z k E z 所以T uS,所以SCT = T,故答案为：C.【分析】分n的奇偶讨论集合S。3. A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否认，命题的真假判断与应用因为命题P是真命题，命题q也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题p, q的真假，然后判断选项的真假。4. B【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质因为f(x)= F = 1+三 ，所以函数的对称中心是(-1

20、/1)，所以函数f(x)向右平移1个单位，再向上平 1+% %+1移1个单位后关于(0, 0)中心对称，而四个选项中只有B满足条件，故答案为：Bo【分析】将函数变形为f(x)=1+看后，判断。5. D【考点】直线与平面所成的角如图，连接AC,设AC与BD交于。，连接ODlADlBP,设正方体的棱长为x,因为DiP| |0B| |BD,且DiP=BO=：BD,所以四边形ODiPB是平行四边形，所以BP| |ODi,所以久。11TT即为所求的角，易证4。1平面BDDiBl故40 10D1,又40 =/C ，所以上410=7故答案为：D【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。6.

21、C【考点】排列、组合及简单计数问题由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：CC1Al = 240 , 故答案为：C.【分析】利用排列与组合来求解。7. B【考点】由尸Asin(3X+4)的局部图象确定其解析式根据图象平移的规律可知，将户户sin(x- T )的图像 上所有的点向左平移平移弓个单位，纵坐标不变，得到y = sin(% + V),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就 .L.乙得到函数户sin(f + V),故答案为：Bo【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。8. B【考点】几何概型不妨设这两个数为a,b

22、且0al, lb :的a,b取值的可行域如图中阴影局部表示， 4直线a+b=:与正方形的两个交点分别为弓,1), (0,9那么可计算事件(a+b :R人svyf概率为P= 1 x x1 _ 232 32，应选B。【分析】利用儿何概型解答。9. A【考点】解三角形的实际应用如图，连接DF,直线DF交AB于M,E H G CMB FGtana tan/?那么 AB = AM+BM,设/BOM = % /BFM =8那么MMD =。凡因为tan/? = Qana造，所以黑-隗=MB（熹-忌）=MB卷-M）= M5（誓），所以所篇能+表高。故答案为：A.【分析】通过作辅助线，（如图），然后利用解直角形

23、的知识来解答。10. D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质当a0时,假设a为极大值点，那么（如图1）,必有ab,aba2,故B,C项错;图图 当aba2,故A错。故答案为：D.【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。11. C【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质依题意，点 B(O,b),设 P(xo,yo),那么有=%02 + (y0 b)2 = a2(l 骨)+ y02 2by0 + b2 2by0 + c2 + 2b2 4b2,移项并用十字相乘法得到：(y0 + b)(-y0 + 0) 0,因为一b 4% Wb,及 yo + b之。，成一黄丫。+ 萨-W 0

24、恒成立，即3(b)+ 2c2,故e 6 (0,，故答案为：Co【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2 ,再根据椭圆上任意点的纵坐标yo的取值范围，解相关 不等式得到结果。12. B【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质构造函数 f(x)=ln(l+x)-VTE+l ，那么 b.c=f(0.02),那么(%)=去一 =窖专筹，当 x0 时，1 +X I4 y X I 乙I X I 人J V -* * 乙人*X = J( + %)2 = J(1 + 2/ + %2 J(1 + 2%,所以f/(x)0,所以f(x)在(0, +叼单调递减,所以f(0.02)f(0),即b-c0,所以

25、bc;再构造函数g(%) = 21n(l + %) - +4X + 1,那么a - c = g(0.01),而/(%)=后 一瑞久),iJO x V1 + 2% + %2 = 1 + x,所以g/(x)之0,所以g(x)在(0, 2)上单调递增，所以g(0.01)g(0) = 0，敏i c,所以bc 0),一条渐近线是8% + my = 0,那么m = 3 ，所以双曲线方程是y2 = 1 ,2c = 27 m + 1 = 4,故答案为：4【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。14 .-5【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系

26、 X_XXX_、X因为3 = (L3),b = (3,4),n a -Ab = (1 - 3A, 3 - 4A), (a -Ab) 1 b , 所以(a 4b) x b =0 ，所以(3,4) x (1 3九 3 44) 0 = X 5故答案为：|.【分析】先计算出应的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。15 . 2V2【考点】余弦定理，三角形中的几何计算11 c W LSABC = -acsinB = -acsin60u = etc = V3 = ac = 4,224于是 b = y/a2 + c2 2accosB = yla2 + c2 ac = 72cLe = 2V2【分析】根据面积的值

27、，计算出ac,再由余弦定理求解。16 .或【考点】由三视图还原实物图当俯视图为 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，应选择为侧视图;当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，应选择为侧视图，故答案为：或【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17 . (1)解：各项所求值如下所示x =(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.01y = (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36,