2022年复数知识点精心总结知识分享.docx

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1、精品_精品资料_复数学问点细心总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复数知识点考试内容：.复数的概念复数的加法和减法 复数的乘法和除法 数系的扩充考试要求：（1） 明白复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（2） 把握复数代数形式的运算法就,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算（3） 明白从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想1. 复数的单位为 i ,它的平方等于 1,即 i 21 .复数及其相关概念：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 复数形如 a +bi 的数（其中a,bR ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 实数当 b = 0时

2、的复数 a + b i ,即 a. 虚数当 b0 时的复数 a +bi . 纯虚数当 a = 0 且b0 时的复数 a + b i ,即 bi. 复数 a +bi 的实部与虚部 a 叫做复数的实部, b 叫做虚部（留意 a,b 都是实数） 复数集 C全体复数的集合,一般用字母C表示.两个复数相等的定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abicdiac且bd（其中, a,b,c,d,R）特殊的 abi0ab0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个复数,假如不全是实数,就不能比较大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：如z1 , z2为复数,就

3、1 如z1z20 ,就z1z 2 . （） z1 , z2 为复数,而不是实数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 如 z1z2 ,就z1z20 . （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a, b, cC ,就 ab 2 bc 2ca 20 是 abc 的必要不充分条件 . （当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 abi 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品_精品资料_bc 21, ca 20 时,上式成立）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 复平面内的两点间距离公式： dz1z 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 z1 ,z2 是复平面内的两点z1 和z2 所对应的复数,d表示 z1和z 2 间的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由上可得：复平面内以z0 为圆心, r 为半径的圆的复数方程：zz0r（ r0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线方程的复数形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

5、zz 0r 表示以z 0 为圆心, r 为半径的圆的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ zz1zz2表示线段z1 z2 的垂直平分线的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ zz1zz22a（ a0且2az1 z2 ）表示以Z 1,Z 2 为焦点,长半轴长为 a 的椭圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（如 2az1z2,此方程表示线段Z 1,Z 2 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

6、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ zz1zz22a（02az1 z2 ）,表示以Z1,Z 2 为焦点,实半轴长为 a 的双曲线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（如 2az1z2,此方程表示两条射线） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定值不等式：设z1,z 2 是不等于零的复数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ z1z 2z 1z 2z1z2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左边取等号的条件是 z 2z

7、1（R,且0）,右边取等号的条件是 z 2z1（R,0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ z1z 2z 1z 2z1z 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左边取等号的条件是 z 2z1（R,0）,右边取等号的条件是 z 2z1 （R,0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： A1 A 2A 2 A 3A 3 A 4A n 1 A nA1 An .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.

8、 共轭复数的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zz2a , zz2bi（ za +bi ）z z| z |2| z |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1z1z2z2（ z20）znz n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：两个共轭复数之差是纯虚数.（） 之差可能为零,此时两个复数是相等的 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n4 复数的乘方： zz z z.znNn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对任何 z ,z1

9、, z2C 及 m, nN有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ zm znzm n , zmnzm n, z1z2 nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zz12注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否就会得到荒谬的结果,如i 21,i 41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如由 i 211i 4 21 21就会得到11的错误结论 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在实数集成立的平方法.常用的结论：| x |x2 .当 x 为虚数时,| x |x2 ,所以复数集内解方程不能采纳两边可编

10、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如是 1 的立方虚数根,即13 i ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n13212n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就1,10,.n 20 nZ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 复数 z 是实数及纯虚数的充要条件： zRzz .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 z0 , z 是纯虚数zz0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数 .特例：零向量的方向是任意的,其模为零.注： | z

11、 | | z | .6. 复数的三角形式： zr cosi sin .辐角主值： 适合于 0 2的值,记作 arg z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： z 为零时,arg z 可取 0,2 内任意值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_辐角是多值的,都相差 2的整数倍 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 aR, 就 arg a0, arga, arg ai, arg23ai .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复数的代数形式与三角形式的互化：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abir cosi sin , r

12、a 2b 2, cosab, sin.rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_几类三角式的标准形式：7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于 x 的一元二次方程ax 2bxc0 a0 时,应留意下述问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a, b, cR 时,如 0,就有二不等实数根x1,2b.如 =0,就有二相等实数2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根x1,2b.如 0,就有二相等复数根2ax1,2b|i 2a（ x1,2 为共轭复数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a, b, c 不全为实数时,不能用方程根的情形 .不论 a, b, c 为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棣莫弗定理： r cosi sin nr n cos ni sin n可编辑资料 - - - 欢迎下载