2022年导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.docx

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1、精品_精品资料_导数习题题型十七： 含参数导数问题的 分类争论问题含参数导数问题的分类争论问题1求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 已知函数f x 1 x331 a22 x 22ax （a0） , 求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx a2 x2a xa x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 1 已知函数f xx2a x

2、a2 lnx （ a0）求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx 2 a2 x2a x2 x2 xa x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 3 已知函数 fx2 axa 221 xR,其中 aR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 a1 时,求曲线 yfx 在点 2, f2处的切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 a0 时,求函数 fx 的单调区间与极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

3、品资料_解：（）当 a1 时,曲线 yfx 在点 2, f2 处的切线方程为 6x25 y320 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由于 a0 ,所以 fx2a x 21x212 , 由 f x0 ,得 x11, x2aa .这两个实根都在定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222a xax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2ax1 2 x 2axa1a义域 R 内,但不知它们之间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x212x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的大小.因此,需对参数a 的取值分 a0 和 a0 两种情形进行争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当 a0 时,就x1x2 .易得 fx 在区间,1, a,a内为减函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间1 , a为增函数.故函数fx 在 x1a1处取得微小值a12fa .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx 在 x2a 处取得极大值

5、 fa1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当 a0 时,就x1x2 .易得 fx 在区间 , a , 1 ,1a 内为增函数,在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,1) 为减函数.故函数fx 在 x a11处取得微小值faaa 2 .函数fx 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a 处取得极大值fa1.以上三点即为含参数导数问题的三个基本争论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的次

6、序对参数进行争论.因此,对含参数的导数问题的争论,仍是有肯定的规律可循的.当然,在详细解题中,可能要争论其中的两点或三点,这时的争论就更复杂一些了,需要敏捷把握. 区间确定零点不确定的典例 2例 4某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3 元,并且每件产品需向总公司交a 元（ 3 a 5） 的治理费,估计当每件产品的售价为x 元（ 9x 11）时,一年的销售量为（12- x） 万件 .（ 1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x 的函数关系式.（ 2）当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L 最大,并求出 L 的最大值 Q（ a） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

7、品资料_解（ 1）分公司一年的利润L（万元）与售价 x 的函数关系式为：L=x-3-a12-x22,x 9,11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2L x=12-x-2x-3-a12-x=12-x18+2a-3x.令 L=0 得 x=6+ 2 a 或 x=12（不合题意,舍去） .3x18 2a3X=12L x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 a 5, 86+ 2 a328 .3yL x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 x=6+ 2 a 两侧 L的值由正变负 .3912x可编辑资料 - -

8、- 欢迎下载精品_精品资料_所以当 8 6+ 2 a 9 即 3 a32Lmax=L9=9-3-a12-9=96-a.9 时,02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 9 6+ 2 a328 即39 a 5 时,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lmax=L6+2 a=6+2 a-3-a12-6+2 a =43-1 a3. 所以 Qa=96a,93a,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23333431 a3 ,39a5.2可编辑资料 - - - 欢迎下载

9、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答如 3 a9 ,就当每件售价为29 元时,分公司一年的利润L 最大,最大值 Q（ a） =96-a （万元）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 9 a 5,就当每件售价为 6+22 a 元时, 分公司一年的利润L 最大, 最大值 Qa=4（ 3-31 a）3 万元 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（导函数零点确定,但区间端点不确定引起争论的典例）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、已知 f xx lnx, g xx3ax 2

10、x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ . 求函数f x 的单调区间 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ . 求函数f x 在t ,t2 t0 上的最小值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 对一切的 x0, 2 fxg x2 恒成立 , 求实数 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f xln x1, 令fx0,解得 0x1

11、 , efx 的单调递减区间是0, 1 ;e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令f x0, 解得x1 , f x的单调递增是（ e, ）,e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0tt+21 ,t 无解. 0te1 t+2 ,即 0t0） , 求函数的单调区间2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax 2x1a x1ax1axxf x 例 3已知 a 是实数,函数 fxxxa（）求函数 fx 的单调区间.（）设 g a 为 fx 在区间0,2 上的最小值.（ i ）写出 g a 的表达式.（ ii ）求 a

12、的取值范畴,使得6g a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（） 函数的定义域为0, f xxxa3xa3xa 3x0 ,由f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a得 x.考虑a 是否落在导函数f x的定义域0,内,需对参数a 的取值分 a0 及 a0 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33种情形进行争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 当 a0 时,就f x0 在 0,上恒成立,所以fx 的单调递增区间为0,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

13、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 a0 时,由f x0 ,得xa .由3f x0 ,得 0xa .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当 a0 时, fx 的单调递减区间为0, a, fx 的单调递增区间为a ,.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）（ i ）由第（）问的结论可知：（ 1） 当 a0 时 , fx在 0,上 单 调 递 增 , 从 而 fx 在 0,2上 单 调 递 增 , 所 以g af00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当

14、a0 时, fx 在 0, a上单调递减,在a ,33上单调递增,所以：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 当0, 23,即 0a6 时, fx 在 0, a3a上单调递减,在, 23上单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 g afa2aa2 a3a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3339可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a2, 3,即 a6 时, fx 在 0,2 上单调递减,所以g af2 2 2a .可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ga综上所述,0,a02 aa ,0a633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2a , a 6（ ii ）令 6g a2 .如 a0 ,无解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 0a6 ,由 62aa332 解得 3a6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 a6 ,由 62 2a2 解得 6a232 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述, a 的取值范畴为 3a232 .三. 求导后,因导函

16、数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定,而引起的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 1 已知函数f x1 ax22x求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 2 已知函数f xln xax 求函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1a xf xax1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 3 设 kR ,函数f x1, x11x

17、, F xf xkx, xR,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1, x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_试争论函数F x 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：f x1, x11x, F xf xkx, xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1, x1F xf xkx11xkx, x1, F x1k 11x22, x1.x1kx, x112k2xx11 , x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考虑导函数F x0 是否有实根,从而需要对参数k 的取值进行争论

18、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）如 x有实根,1,就F x1k 1x21x2.由于当 k0 时,F x0 无实根,而当 k0 时,F x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,对参数 k 分 k0 和 k0 两种情形争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 当 k0 时,F x0 在 ,1 上恒成立,所以函数F x 在 ,1 上为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112kx1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

19、精品资料_（ 2） 当 k0 时,F x1 k 1xkk2 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 F x0 ,得 x11, x21,由于 k0 ,所以 x11x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 F x0 ,得 11kx1 .由F x0 ,得 x11.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当 k0 时,函数F x 在 ,11 上为减函数,在 1 k1 ,1 上为增函数.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）如

20、 x1 ,就F x12kx1.由于当 k0 时,F x 0 无实根,而当 k0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x0 有实根,因此,对参数k 分 k0 和 k0 两种情形争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 当 k0 时,F x0 在 1,上恒成立,所以函数F x 在 1,上为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 k0 时,F x12kx12k.可编辑资料

21、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 F x0 ,得 x11.由4k2F x0 ,得 11x12 .4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当 k0 时,函数F x 在1,114k2上为减函数,在11,4 k2上为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述：（ 1） 当 k0 时,函数F x 在 ,11 上为减函数,在 1 k1 ,1 上为增函数,在1,上k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

22、料_为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 当 k0 时,函数F x 在 ,1 上为增函数,在1,上为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 当 k0 时,函数F x 在 ,1 上为增函数,在11,124 k上为减函数,在112 ,4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上为增函数.2 19设 a 0, 争论函数 f （ x） =lnx+a （ 1-a ） x -2 （ 1-a ）x 的单调性.2a 1a x221a x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：函数f

23、x 的定义域为 0,.f x,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, 方程2a1-ax 221a) x10 的判别式12a1 a1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,0, f3x 有两个零点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ax13a10, x1a13a1（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2a1a2a2

24、a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且当 0xx1或xx2时, f x0, f x在0, x1与 x2 , 内为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1xx2时, fx0, fx在x1, x2 内为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 13a1时,0, f x0, 所以 f x在0, 内为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, fx10 xx0,f x在0,

25、内为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时0 , x13a1a11x1 3a1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a2a1a2a2a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 a由213a11 3a1 a113a11a3a12a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2a1a4a 24a2 1a 24a24a 2 1a4a2 1a4a2 1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13ax1 a110x 3a1 a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a2a1a12a2a1a可编辑资料 -

26、- - 欢迎下载精品_精品资料_所以在定义域 0 , + 内有唯独零点x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且当 0xx1时, f x0,f x在0, x1 内为增函数.当xx1 时,f x0, f(x) 在x1 , 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为减函数.f x 的单调区间如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a131a1a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0, x1 x1, x2 x2 ,0,0, x1 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x

27、1 a13a111, x2a13a1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2a1a) 2a2a1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因函数的零点的个数不确定而引起的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例已知函数 fx=1nx ,gx=1 x22a a 为常数 ,如直线 l 与 y=fx 和 y=gx 的图象都相切, 且l 与 y=fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图象相切于定点 P（1,f （ 1）（1） 求直线 l 的方程及 a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（2） 当 kR时,争论关于 x 的方程 fx1+1-gx=k的实数解的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（1） f x=, f （1）=1k1=1, 又切点为 P（1,f （1）,即（ 1,0