2.3.4 两条平行线间的距离 导学案.docx

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1、两条平行线间的距离学习目标.理解两条平行线间的距离公式的推导1 .会求两条平行直线间的距离.2 .通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题 的能力重点难点重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式难点：应用距离公式解决综合问题知识校理一、自主导学问题：两条平行直线匕12的方程，如何求勺2间的距离？根据两条平行直线间距离的含义，在直线匕上取任一点PQofo），,点PQoJo）到直线，2的距离就是直 线L与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。两条平行直线间的距离1.定义：夹在两平行线间的公垂线段的长.2.图小:3.求法:转

2、化为点到直线的距离.二、小试牛刀1.原点到直线x+2y-5=0的距离是（）C. 2 D. y5学习过程一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的 距离也是值得研究的。思考：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离 B.点到直线的距离C.点到点的距离二、典例解析例1 .求证两条平行直线+ By + Ci =。与4% + By+ C2 = 0间的距离为d思考：两条平行直线间的距离公式写成d=IC1-C2I+52时对两条直线应有什么要求?跟踪训练1两直线3x+y-3=0与6x+my+l=0平行，那么它们之间的距离为（）A.4A.413c

3、5x/l3267M20例2.直线/i： 3x2厂1=0和83x2厂13=0,直线/与h L的距离分别是力，血假设小：d?=2 ：1,求直线/的方程.求两平行直线间距离的两种思路1.利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.接利直用两平行线间的距离公式，当直线小y=kx+b 12： =履+。2,且小，历时，d=bb2#2+1线 人 Ax+8y+G=0, l2： Ar+8y+C2=0 且。声C2 时，d=IC1-C2IyjA2+B2必须注意两直线方程中x, y的系数对应相等.跟踪训练2.直线/1过点&0/），/2过点仇5,0）,如果/|，2，且/i与b间的距

4、离为5,求/1，/2的方程. 例3.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和3( 3, -1),并且各自绕着A, B旋转,如果两条平行直线间 的距离为d.你能求出d的取值范围吗？ 变式1.上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程.距离公式综合应用的三种常用类型1最值问题.利用对称转化为两点之间的距离问题.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.2求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.3求方程的问题:立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关 系 平行直

5、线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)金题典例：正方形的中心为直线2xy+2 = 0, x+y+l=O的交点，正方形一边所在的直线/的方程为x+3y5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程.2.本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗?达标检测1 .平行直线/i： 3工一=0与3xy+，15=0的距离等于()A. 1B. 0 C.回 D. 32.分别过点A( 2,1)和点8(3, 5)的两条直线均垂直于x轴，那么这两条直线间的距离是3 .两点A(3,2)和3(1,4)到直线mx+y

6、+3=0的距离相等，那么m=.4 .求与直线/： 5x12y+6=0平行且与直线/距离为3的直线方程.课堂小结点到直线的距离与两条平行线间的距离X点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点 Po（xo，yo）到直线/： Ax-By-C=0的距离|Axo+5yo+C|迎+中两条平行直线Zi： Ax-By-C =0与/2：Ax+8y+C2=0(GWC2)之间的距离 d=IG-C2I卜烈十4参考答案:参考答案:知识梳理 二、小试牛刀I - 5|L D 口=7=而选0学习过程二、典例解析 例1 .分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的

7、一条直线上的一点到另一条直线的距离 证明:在直线Ax + By + Ci = 0上任取一点P（%o，y（）,点P（%o，y（）到直线Ax + By + C2 =。的距离，就是这两条 平行线间的距离即 _Ax0+By0+C2 +82因为点PQoJo）在直线+ By + Ci = 0上，所以Ax。+ By0 +。k0,即 Ax。+ By = Ci 因此 d =即 Ax。+ By = Ci 因此 d =Ax0+By0+C2_-C1+C2_Cr-C2Vx2+b2思考3：提示两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等.跟踪训练1解析:因为两直线平行，所以m=2.将 6x+2y+l=0 化为 3

8、x+y+g =0,由两条平行线间的距离公式得=噂，选D.a/FTF 20例2.思路探究：由题设知故/设出/的方程，利用距离公式表示出，22.进而求出直线方程.解由直线/, /2的方程知人/2 .又由题意知，直线/与/1，/2均平行（否那么由=。或么=0,不符合题意）.设直线/：直线/：3x2y+m0(/%，1且用一13）,由两平行线间的距离公式，得小=|m+1|V13。2 =|加+13|V13又 di ： 6/2=2 ： 1,所以|a+l| = 2|m+13|,解得 m= 25 或 m= 9.故所求直线I的方程为3x2y25=0或3x2y9=0.跟踪训练2解假设直线(，/2的斜率存在，设直线与

9、/2的斜率为上由斜截式得1的方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,由点斜式可得b的方程为y=Z(x5),即日一y5%=0.在直线1上取点40,1),那么点A到直线h的距离t/=5,12.*.25+10+1=25+25, ：.k=/. 1 的方程为 12x5y+5=0,，2 的方程为 12x5)-60=0.假设直线伍/2的斜率不存在，那么的方程为x=0, /2的方程为X=5,它们之间的距离为5,满足条件.那么满足条件的直线方程有以下两组：/i： 12x-5y+5=0, /2：一5厂60=0；Zi： x=0, I?： x5.例3.解析：如图，显然有0四4鼻而AB = 6+3 2+ 2+1 2=3

10、.故所求的d的变化范围为(0,3/.变式1.解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与A3垂直.h 2 11曲 kab-$_ _3 _3所求直线的斜率为-3.故所求的直线方程分别为y-2= - 3(工-6)和 y+1 3(x+3),即 3x+y20=0 和 3x+y+10=0.金题典例：思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与边/ 平行或垂直求解.解设与直线/： x+3y5 = 0平行的边所在的直线方程为东x+3y+c=0(存一5).2xy+2=0,由L+y+l=。得正方形的中心坐标为PL。，由点P到两直线/, /1的距离相等，得品言襄，得 c=7 或 c=5

11、（舍去）./： x+3y+7 = 0.又正方形另两边所在直线与/垂直,设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0x-yh=0.;正方形中心到四条边的距离相等,得 a=9 或 =3,得 a=9 或 =3,| 3+|- 1 -5|42十 一1 2-112 + 32另两条边所在的直线方程分别为3xy+9=0,3x一厂3=0.二另三边所在的直线方程分别为3xy+9=0, x+3y+7=0,3xy3=0.母题探究：解由例题知，正方形中心坐标为P(1,0),那么与。尸垂直的直线到原点的距离最大.乂” =0,此时所求直线方程为x= -1.2.解由x+3y+7=0, 3x一厂3=0可得交点坐标为弓，y),又

12、正方形中心为p(i,o).3xy3=0,由x+3y5=03.【答案】3或一6J3z+2 + 3| |-m+4+3|I 由/=/ 1yjm2+ 了I2解得或m= 6.y 0X 1，由两点式方程得对角线方程为： f一=1-,即2x+y+2=0.-T- H可得正方形另一顶点坐标为d，D，又正方形中心为尸(一1,。),由两点式得另一对角线方程为：尸=户，即x2)，+1=0. !-o+综上可知正方形的两条对角线方程为X2y+1 =0或2x+2y+2 = 0.达标检测1 .【答案】A /、b的距离为A=g?=l.选A. /3 .【答案】5【解析】公|3-(-2)| 二 5.1 .【答案】A /、b的距离为A=g?=l.选A. /3 .【答案】5【解析】公|3-(-2)| 二 5.+124.【解析】 :与/平行的直线方程为5x12y+0=0,b61根据两平行直线间的距离公式得J 三=3, 52 + (-12)2解得 /?=45 或 /?=33.，所求直线方程为5x-12y+45=0或5九一12-33=0.