《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第一章（2022年-2023年）.docx

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1、2022年-2023年最新概率论与数理统计习题及答案习题一1. 略.见教材习题参考答案.2,设4 B, C为三个事件，试用4 B, C的运算关系式表示以下事件:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)4发生,B, C都不发生;力与B发生，C不发生；4444A,4B,B,B,B,B,B,C都发生；C至少有一个发生;C都不发生；C不都发生；(9) 有2个发生;(10) 2个发生.【解】(1) aBC (2) ABC (3) ABCAUBUC=AB cu7 bC uaBC Ja bcua b cuabC u abcabc(4) BC=ABC(6) ABC(7)AbcuaBcuabC u AB

2、cuaBC u AbC u ABC=ABC=A u B u C(8) ABU BCU CA=ABCAbCUABC.略.见教材习题参考答案3 .设4 8为随机事件，且P (4) =0.7尸(48)=63,求尸(48 ).【解】P ( AB) =1 一尸(AB) =1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.64 .设4 5是两事件,且P (4) =0.6尸(8)=07求:(1)在什么条件下P (AB)取到最大值？(2)在什么条件下P (AB)取到最小值？阐 (1)当48时，尸(48)取到最大值为06(2)当时，P CAB)取到最小值为0.3.5 .设 4 B, C 为三事件，且 P (Z

3、) =P (8) =1/4, P (C) =1/3 且尸(力8) =P (BC) =0, 尸(4C) =1/12,求4 B, C至少有一事件发生的概率.2022年-2023年最新3!53)!(”1)! =(I)L；_3!(2)! ”q1 n n 2 n38 .将线段0,旬任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为y那么基本领件集为由Qxa,Qyaa-x-y a-x-y x+(a-x-y) y U+ (q -x y)x构成的图形，即0 xa2C ao y一2ax + y PA(B C) = P(AB AC)=P(AB) + P(AC) - P(ABC)102022年-2

4、023年最新P(AB)+P(AC) - P(BC).将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.【解】设A尸杯中球的最大个数为2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时， 每个杯中最多放一球，故Cs3! 3P(A ) = 4 =_1438而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故C1 1343 163 19因此P(A )=1 P(A) P(4 ) = 1 =二二2138 16 16GC2cl 9或P( A) = 4 3 3 = 2431641 .将一枚均匀硬币掷2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2九次

5、硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数, 5=正面次数少于反面次数, 。=正面次数等于反面次数, A, B,。两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P (A) =P (8) .所以P二萼由2重贝努里试验中正面出现次的概手为P(C) =C(一)(一)2/2 2故P(A) = 11-C JL22 2244.掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A=出现正面次数多于反面次数, 8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知尸(A) =P (B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等,由P (A) +P (B) =1得P (A) =P (8)=0.5(2)当为偶数时，由上题知1

6、 1P(A)=)2 2.设甲掷均匀硬币+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲=甲掷出的正面次数，甲二甲掷出的反面次数.正 反乙二乙掷出的正面次数，乙=乙掷出的反面次数. 正反显然有(甲 乙)=(甲W乙)=(+1-甲W-乙)正 正正 正反反112022年-2023年最新=(甲21 +乙)=(甲？乙.)反反反 反由对称性知尸(甲乙)=尸(甲乙)正 正反 反因此P(甲 乙)=1正 正 245 .证明“确定的原那么”(Sure-thing)：假设 P (A|C) P(BQ,P(A Cp(B C,那么 p (A)叫w【证】由P (A|C) 2P(3|C),得P(AC)P(

7、BC)p(c)-7p(cr即有P(AC) P(BC)同理由P(AC)P(BC),得P(AC)P(BC),故P(A) = P(AC) + P(AQ P(BC) + P(BC) = P(B)46 . 一列火车共有节车厢，有2仅个旅客上火车并随意地选择车厢,求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A =第i节车厢是空的, (z=1,h)，那么 i1 二(1一一八n1 二(1一一八n(n-l)k尸=2_L/ nk721P(AA a ) = (1卜 % Ln其中是1, 1，”, 中的任1个. 1 2n-1显然力节车厢全空的概率是零，于是S =XpA) = n(l-1) = Cl (1-1)/=1

8、S = E P(AA)=C2(12卜2i j n nl/ j -C2(l-1 + +(-lCn-I(l- HZ_)k n n n故所求概率为 12n-1-P( A) = l-Ci(l-_y +C2(1 _ + (-1)ki=i 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为 0.试证明：不管 0如何小，只要不断地独 立地重复做此试验，那么A迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中，A至少出现一次的概率为(1-e ) - 1( T oo)49 .袋中装有机只正品硬币，只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只, 将它投掷厂次，每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设4=投

9、掷硬币厂次都得到国徽8=这只硬币为正品m77由题知P(B) =, P(B) =m + nm+n1_P(A|3) = ,P(A0 = 12r那么由贝叶斯公式知p(B I A)-=P(PP(A|8)P(A) P(B)P(A | B) + P(B)P(AI B)m 1_ m+n 2r _ mm 1 _n m + 2r nm +n 2r m +n.巴拿赫(Banach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有一根的概率又 有多少？【解】以B、B

10、记火柴取自不同两盒的事件，那么有P(B ) = P(B ) = ). (1)发现一盒已空,12I22另一盒恰剩一根，说明已取了2-次，设次取自巴盒(己空)，-一次取自2盒， 第2-r+1次拿起片，发现已空。把取次火柴视作2-重贝努里试验，那么所求 概率为1 1 1 1P =2C (_)(_) =C 1222 n-r 22r-r式中2反映81与J盒的对称性(即也可以是耳盒先取空).(2)前2/i-r-l次取火柴，有n-次取自8畲，次取自B 2盒，第2-次取自4盒，故概率为11P 2c- 1 ()一1 ()一厂C一 1 (一-122n-r- 2222n-r- 251.求n重贝努里试验中A出现奇数次

11、的概率.132022年-2023年最新【解】 设在一次试验中A出现的概率为那么由(夕 + P)n= Co poq + Ci pq-i + C2 p2qn-2 + + C pqo = 1nnnn(q - ) = Co poqn + Cl pq-1 + C2 p2qn-2 - + (- 1 ) Cn pqonnnn以上两式相减得所求概率为P = C pq-1 + C3 p3qn-3 +1 nn=31-(1-2p)”假设要求在重贝努里试验中A出卜偶数次的概率，那么只要将两式相加，即得 P =1 + (1-2p)J1 2.设A, 3是任意两个随机事件，求尸(不+5) (A+3)(3+分)(4+分)的值

12、.【解】因为(AU5) n (AuB) =aB u Ab(A UB) n (AU B ) =ABU AB所求(A + 8)(A + 8)(彳+ 面(A + B)=(AB AB) (ABTAB)=0故所求值为0.52 .设两两相互独立的三事件，4, B和。满足条件：ABC=O, P(A)=P(B)=P(C) H4 &9P( AB)=P(AB)故P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)142022年-2023年最新2022年-2023年最新由4,8的独立性，及、式有1=1-尸(A) - P(B) + P(A)P(B)9=12P(G+尸(的2=口-尸（的2故1-P（G = 123 4故

13、尸G）= 或尸（4）二 一（舍去）332即尸（Z）飞.55.随机地向半圆Ovyv J2ax-%2 （a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，那么原点和该点的连线与x轴的夹角小于tt/4的概率为多少?1【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为TT*,阴影局部面积为42故所求概率为兀 17fa2+2a2 1 1+ 兀422兀256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，所取两件产品中有一件是不合格8=另一件也是不合格品8=另一件也是不合格品品，求另一件也是不合格品的概率.【解】 设4=两件中至少有一件是不合格品,C2P(8|Q=P(AB)二H 11 _ _6_C21

14、057,设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】设系=报名表是取自第,区的考生,对23.彳第j次取出的是女生表, /=1千贝I尸j=1,2,3/3375P（BA） = _, P（BA） = _i P（BA）=_1 1101 2151 325152022年-2023年最新(1)0=户(8) = 2尸(8|由=(?+，？)=空11/3 10 15 25 90Z=1田口号=爵2而产仍)=2尸A)P

15、(A)22i=1_ 1( 7 8 20、613 10 15 25 90P(BB) = 2p(BB A)P(A)1 21 2/ iA=11 z3 x7+ 7 85 20、23 10 9 15 14 25 24 92P(b4) 3 2。q=-p(BT=-=-2 ?o 6158.设4 8为随机事件,且P (8) 0尸(刊8)=1,试比拟户(4UB)与尸的大小.(2022研考)解：因为P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)P(AB) = P(B).P(AB) = P(B)所以尸(4 8)=尸(A) + P(B) - P(B)=尸(勺.162022年-2023年最新【解】 P (AUBUC

16、) =P(A)+P(5)+P(C)P(A5)P(BC)P(AC)+P(A3C) 11113=4- - + =4 4 3 12 47 .从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？【解】p=C5 c3 c3 c2 /C13 13 13 13 1352.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率； (3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设&=五个人的生日都在星期日，基本领件总数为75,有利事件仅1个，故(亦可用独立性求解，下同)(2)设为=五个人生日都不在星期日，有利事件数

17、为65,故65604)=为7(一户(3)设A 3=五个人的生日不都在星期日1P(&)=1-P(/l1)=1-(y)58 .略.见教材习题参考答案.70.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件(vN).试求其中恰有m件(相 WM)正品(记为A)的概率,如果：(1) 件是同时取出的；(2) n件是无放回逐件取出的；(3) 件是有放回逐件取出的.【解】(1 ) P (A) =CzCT /C”M N-M N(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算,样本点总数有P种，次抽取中有m N次为正品的组合数为C，种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正n品中取机件的排列数有P?种，从N-M件

18、次品中取-机件的排列数为种， MN-M故P (A) = -U-_M-N-M-PN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P (A) = M N-McN可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为种，2022年-2023年最新次抽取中有加次为正品的组合数为C，种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，nm次取得正品，都有M种取法，共有版种取法，-加次取得次品，每次都有N-例种取法，共有(N-M) -，种取法，故P( A) = Cm M ? (N M )-? / NnM此题也可用贝努里概型，共做了重贝努里试验，每次取得正品的概率为

19、,那么取得 N机件正品的概率为P(A) = Cj 竺(N)11 .略.见教材习题参考答案.12 .50只钾钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钾钉强度太弱.每个部件用3只加钉.假设将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，那么这个部件强度就太弱,求发生一个 部件强度太弱的概率是多少？【解】设A=发生一个部件强度太弱P(A) = C1 C3/C3 =110 350 i96013. 一个袋内装有大小相同的7个球，计算至少有两个是白球的概率.【解】设A=恰有，个白球 (i=2,3), i其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个,显然A与A互斥.183553C3 4P( A) = _=3 C3 3

20、5722P(A A) = P(A)+P(A)= 232335.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求:(1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设A=第i批种子中的一粒发芽, (i=1,2) iP(AA ) = P(A)P(A ) = 0,7x0.8 = 0.56 1 212(1) P(A A ) = 0.7 + 0.8 0.7x 0.8 = 0.94 12(3)P(A A2 TA ) = 0.8x0.3+ 0.2x0.7 = 0.38 11 214 .掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.(1)问正好在第6次停止的

21、概率；(2)问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.111501(1)(1)31 2【解】(1) P =。2(_)2(_)3_ = _(2) P = 4 2 2 4 415 2 2 2 3225/3252022年-2023年最新.甲、乙两个篮球运发动，投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了 3次，求二人进球 数相等的概率.【解】17.【解】设A=甲进 /,球, /=0,1,2,3出=乙进 /,球,/=0,1,2,3,那么/ / 3P( AB ) = (0.3)3(0.4)3+Ci 0.7x (0.3)2。0.6x(0.4)2 + / /333i=0C2 (0.7)2 X 0.

22、3C2 (0.6)2 0.4+(0.7)3 (0.6)3 33=0.32076从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.。心 C C G 1 13“C4 211018 .某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求：(1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设下雨, 8=下雪.P(AB) 0.1p( B A)=。2从 I p(A) 0.5p(AB) = P(A) + P(B)-(ZB) = 0.3 + 0.5-0.1 =0.719 .一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率(小孩为男 为女

23、是等可能的).【解】 设4=其中一个为女孩, 8=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故 P(AB) 6/8 6P(A) 7/8 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为台 P(BA)=-20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设入=此人是男人, 8=此人是色盲,那么由贝叶斯公式尸(所(附P(B) P(A)P(BA)+ PAP(BA)_20- 0.5x0.05+0.5x0.0025- 2121.两人约定上午9 ： 00-10 ： 00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.2022年-202

24、3年最新(b)(b)题21图题22图22.22.懈】设两人到达时刻为x,y,那么0Wx,yW60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价y|30. 如图阴影局部所示.从（0, 1）中随机地取两个数，求:6（1）两个数之和小于彳的概率；1（2）两个数之积小于丁的概率.4【解】 设两数为x.y,那么0x,yl.6(1) x+y0.9即为(0.8)n0.1故心11至少必须进行11次独立射击.32 .证明：假设尸(A I 8) =P(A I B ),那么A 8相互独立.【证】尸(川B)=尸(用即尸(“=尸(丽)P(B)哂亦即P(AB) P(B) = P( AB) P( B)P(/IB)1- P(B) =

25、 P(A) - P(AB)P(B)因此P(AB) = P(A)P(B)故y4与8相互独立.1 11.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为田,求将此密码破译出534的概率.【解】设4=第/,人能破译(知23),那么尸-4)一一尸(47(不) = 1-P(一尸(7T)P(N)白，1 2 3123.423=1 x X =0.65 3 433 .甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是040.5Q.7,假设只有一人 击中，那么飞机被击落的概率为0.2；假设有两人击中，那么飞机被击落的概率为0.6；假设三人 都击中，那么飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设八=飞机被击落

26、,4=恰有/人击中飞机, /=0,1,2,3 由全概率公式，得P(A) = P(A B)P(B) / / i=0=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X0.3+0.4X 0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+0.4X0.5X0.7 =0.458.某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用， 且规定假设10个病人中至少有四人治好那么认为这种药有效，反之那么认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到35%,但通过试验被否认的概率.(2)【解】新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.yp

27、（0.35） （0.65）10-=0.5138110k=O(2) p =ca(0.25)a(0.75)ix=0.2241210k=42022年-2023年最新36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率:（1） A= 某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B= 没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C= 恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D= 至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.C2 94P（A）=$，也可由6重贝努里模型:(2)19P（A）=C2（_）2（）46 10 10

28、6个人在十层中任意六层离开，故P6 尸十（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C1种可能结果，再从 10六人中选二人在该层离开，有C2种离开方式,其余4人中不能再有两人同时离开的情 6况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有CiC3cl种可能结果；4人同时离开，有Ci种可能结果；9 4 894个人都不在同一层离开，有P4种可能结果，故9P(C)=C1 C2(CC3cl +C1+ P4 )/10 610 69 4 899(4) D=B .故P(O)=1 P =1 10637.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求以下事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果个人苦排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】（D P =-1 H-1