2023年新高考复习讲练必备第28练双曲线（解析版）.docx

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1、2023年新高考复习讲练必备第28练双曲线一、单项选择题.双曲线2/=8的渐近线方程是（）A. y = 土;xB. y = 2xC. y = 2xD. y = x2【答案】C【详解】由题意，：一：=i的渐近线方程为=4=缶应选：C2.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y = gx,那么该双曲线的离心率为（）A. BB. GC.巫D.且252【答案】D【详解】由题知2 =，所以e = Jl + （与=/ + （与=叵 a 2N a N 42应选：D23.点尸是双曲线Y2L = i的右焦点，点尸是双曲线上在第一象限内的一点，且尸产与不轴垂直，点 8。是双曲线渐近线上的动点，那么|尸。|的最小

2、值为（）A D 心R B 8c 1 16&n3333【答案】B【详解】解：由双曲线方程可得，点方坐标为（3,0）,将1 = 3代入双曲线方程，得丁 = 8,由于点P在第一象限，所以点尸坐标为（3,8）,双曲线的渐近线方程为2后土y = 0,点P到双曲线的渐近线的距离为逑型.Q是双曲线渐近线上的动点，所以|PQ|的最小值为谨二 = 2血-c = a由题意知I 4 1第一屏c = a由题意知I 4 1第一屏ci = /3b = /3双曲线。的方程为-=1（2）设直线AB的方程为=履+利，4和必）,8（工2，必），（2,-1）丫 =+ JYI2- 2 C，整理得（1 /）/22如3 = 0, x y

3、 =3贝111一左2#。, A = 4k2m2 + 4（1 -k2）（m2 -3） 0 , Wm2-3A:2+30 ,2kmm? - 3%+/=寸，中2=.直线勿方程为丁二21三（x2）tx + 2y,x9 +2y?令x =。，那么M。0），同理N。大r）. , x. +2y, 修+2% 八由 OM + ON = 0,可得+Z A |Z a9.玉+2（依+机）x2 4-2（Ax2 +m）2 - %2二0,（2 4 +1） X + 2z（2 / ） + （2% +1） / + 2 m（2 x,） = 0, .（4Z + 2-2根）（芭 +工2）（42 + 2）%2 +8/n = 0,（42 +

4、2）-（4/ + 2）一“二8加=o, 7 1-k2 I 7 1-k2:（2左一加+1）272 +（2左 + 1乂相2 +3）+ 4加（1 攵2） = 0 , 4k2 m 2kH 弋 + 2km + 2kmi + 6女 + nr + 3 + 42 4mk2 = 0 * m2 + 4m + 3 + 2km + 6% = 0 , /. （m + 3）（m + 2Z +1） = 0当加+2% +1 = 0 时，m = -2k-1此时直线AB方程为y = Mx-2）-1恒过定点?（2,7）,显然不可能m = -3,直线A3方程为恒过定点石（，一3）应选：B.4.假设直线y = 3x-1与双曲线C：/加

5、丁2=1的一条渐近线平行，那么实数 2的值为（）A. -B. 9C. -D. 393【答案】A【详解】C：/磔2=1的渐近线方程满足工二土而外 所以渐进线与丁 = 3尤-1平行，所以渐近线方程为y = 3x,u 1故机=一9应选：A5.江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代到达了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永. 现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一局部绕其虚轴旋转所形成的曲面，如下图, 假设该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高是6,那么该双曲线的标准方程是（ ）9?2A.-=1B.y-=l169422?7C.上一匕=lD. - = l8943

6、【答案】D【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4,点（4,3）在该双曲线上.22设该双曲线的方程为点-1=1（，0力0）,2a = 4,那么 0/0）的左、右焦点分别为斗工，”为双曲线右支上一点，直线/”与圆 a bY + y2=相切于点Q,闾，那么双曲线的离心率为（A. y/5B. V6C.好D. H22【答案】A【详解】由题可得忻。1 = 1咋|MQ|，因为|M2| = |叫I，所以闺a=|次|一|峭1=2,那么在 Rt片 Q。中，（20）2+/=，即。二6。，即 e = =迅. a应选：A. 227 .点44夜,0）是双曲线C：会一夕=1（。0/0）的右焦点，过尸作双曲线。

7、的一条渐近线的垂线,垂足为假设（点0为坐标原点）的面积为8,那么C的实轴长为（）A. 8B. 673C. 6D. 46【答案】A【详解】由题意可得/+b2=32.取渐近线y =易知点尸卜3,0）到直线y =的距离为乩那么|OM| 二。，所以人=8,联立得。=4,所以。的实轴长为8.应选：A.双曲线c：t 21 = 1,。是坐标原点，A是双曲线。的斜率为正的渐近线与直线工=拽的交点, 483尸是双曲线。的右焦点，。是线段。方的中点，假设8是圆V+y2=l上的一点，那么A3。的面积的最大值为（）卜 2/2 4- 5/30 25/6 + 3n +1233【答案】A【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐

8、近线方程为y =瓜，fqC,o）2 o-k/?因此点A的坐标是耳，木）点。是线段。尸的中点，那么直线AD的方程为 k-2后,点8是圆/ +），=1上的一点，点8到直线距离的最大值也就是圆心。到直线的距离d加上半径，即d + 1,-2a/6276 276+3maxd + l= /+1 =+ 1=-VTTs33 JT 2遍+ 3_2近+括5“3 2应选：A9.方程E：O-l）x2+（3-/n）y2 =（切_）（3-加），那么后表示的曲线形状是（）A.假设1加3,那么E表示椭圆B.假设表示双曲线，那么23C.假设石表示双曲线，那么焦距是定值D.假设E的离心率为无，那么根 23【答案】B【详解】由题意

9、得，当 时，E:（m-l）x2 +（3-2）y2 = （m-l）（3-m）,3 - 772 0 22即 +二一=1,要表示椭圆，需满足 加-10，解得1根3且相。2,3-m m-八.故A错误；假设表示双曲线，那么（根-1）（3-附不能为0,22故 E:（771- l）x2 +（3 一 加）/ =（?- 1）（3一 根）化为 + = 1,3-m m-i那么。72-1）（3-6）V。，即23,故B正确；由B的分析知，口寸，c2 =3 m + 1 m = 4 2m ,此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；假设的离心率为玄，那么此时曲线表示椭圆，由A的分析知，1“3且相。2, 2当3 时，1 771

10、2 ,此时。2 =3 m, =4 2根, 4 - 2m 1 “足 5那么:二7，解得机二彳，3-m23当3 勿7加一1 时，2相3,此时/ =根一1, =3 I,。？ =2加一4 ,2加一 4 17那么彳二:，解得m=:,故D错误，m- 23应选：B10.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：片、尸2是双曲线的左、右焦点，从F?发出的光线 2射在双曲线右支上一点P,经点P反射后，反射光线的反向延长线过片；当P22异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分/4假设双曲线C的方程为上土-二=1,那么以下结 9 16论不正确的选项是（）4 4、 A.射线所在直线的斜率为3

11、那么左B.当加，时,|尸图|尸闾=32C.当过点Q（7,5）时，光由尸2到P再到Q所经过的路程为13D.假设7（1,0）,直线尸丁与C相切,那么|尸闾=12【答案】C22在双曲线上工=1中9 16【详解】 = 3, b = 4 ,那么 c = 5,易知点耳（一5,0）、F2（5,0）,iPF = u9 PF2 = v9x2 v24对于A选项，因为双曲线二上=1的渐近线方程为y = 二,44当点p在第一象限内运动时，随着毛的增大，射线慢慢接近于直线y = 此时 *-Z4同理可知当点P在第四象限内运动时，-0, b0)的左、右两个顶点分别是A/、42,左、右两个焦点分别是Fi、 a bF2, P是

12、双曲线上异于A/、4的任意一点，给出以下命题，其中是真命题的有()A. PA,-PA2 = 2ah2B.直线B4/、而2的斜率之积等于定值二 aC.使得PF/八为等腰三角形的点P有且仅有8个h2D.正2的面积为一ZAPAtan-2【答案】BC【详解】根据双曲线的定义可得：归耳|-|尸闾| = 2，A错误;/、v 22i2设乐人，那么2-今=1,即2=勺卜2_/) 6r bCT a g,o),那么 kpA =次尸& =Xq I a.Xq a. kpkpA = X y =20 2 =2 B 正确； a xQ-a-a a不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知|尸耳|。伊鸟假设归耳|=闺闾=2j结合图

13、象易知|尸制+ 那么满足条件的点存在且唯一假设|尸局=山闾=2j结合图象易知|尸图。-。，那么满足条件的点存在且唯一根据双曲线的对称性可知使得PBF2为等腰三角形的点。有且仅有8个，C正确;不妨尸在第一象限,那么|历|-|P用=2耳闻=2ccos ZFPF2PM+|PK|2| 耳闾 2(|尸用|尸用)2+2|尸耳冈尸周一闺用22|尸冈尸闾2|尸林|尸闾4/ + 2|尸耳冈尸周一4c2 _PF,xPF2-2bB. M的标准方程为f匕=i 2PFPF2 二 |P 用 x|P 周PF、x PF2PF、x PF221-cos /F、PF2贝”=*m|PFxsin4PK=鲁岩器乙1/ r l r,贝”=

14、*m|PFxsin4PK=鲁岩器乙1/ r l r,b-/FPF,tan!2D不正确;应选：BC.应选：BC.A. M的离心率为逑 3C. M的渐近线方程为丁 = 今XD.直线x+y 2 =。经过M的一个焦点2212.双曲线M:十方。)的焦距为4,两条渐近线的夹角为6。,那么以下说法正确是(【答案】ACD【详解】22根据题意双曲线M:- = l(abQ)的焦距为4 ,两条渐近线的夹角为60 ，有a2h2=c2=4 ,6r b双曲线的两条渐近线的夹角为60 ,那么过一三象限的渐近线的斜率为G或 9,即2 =6或2 =1， 3 aa 3联立可得：cT ,从=3 , / = 4 或4=3 , lr

15、= , c2 =4 ;2因为所以c=3, 2=1, c2 = 4 ,故双曲线的方程为y2 = 1 3对A,那么离心率为对A,那么离心率为故A正确.丫2对B,双曲线的方程为二 故B错误;对C,渐近线方程为y = 走X,故C正确；3对D,直线工+），-2 =。经过M的一个焦点（2,0）,所以D正确.应选：ACD三、解答题2213.设、尸2分别为双曲线二二 1（。力0）的左右焦点，且尸2也为抛物线丁 =8%的的焦点，假设点P（0,2。），片，心是等腰直角三角形的三个顶点.双曲线。的方程；（2）假设直线/： y =1与双曲线C相交于48两点，求|45.2【答案】土尸=i（2）io百3【解析】解：抛物线

16、），=8x的焦点为*2,0）,所以c = 2,即爪-2,0）,耳（2,0）,又点P（0,2,月，居是等腰直角三角形的三个顶点,所以2 = 2,即 =1,又/=/+，所以2=3,2所以双曲线方程为工-），2=.3解：依题意设黄（菁,其）,3（一%），,y = x-11由2消去y整理得了f+3x 6 =。，厂2 14y- =13由 A = 32 -4x x（ 6） = 15 0 ,所以 + % = 12 ,七9 = 24，14 J-所以|a/=+ 左2 , %?J(12_4x(_24)= 1073 .14.双曲线C：2 2_匕不b2=1（0/0）过点（2夜,1）,渐近线方程为y = 士%,直线/是

17、双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A, 3两点.（1）求双曲线C的方程；设点43的中点为M,求点到y轴的距离的最小值.r2【答案】（1）工V=i（2）24【解析】81 _1/一转解=2由题设可知“ ,解得, 1? _ j_b = 、a 2九2贝 Ijc： 4(2)设点M的横坐标为j0当直线/斜率不存在时，那么直线/： x = 2易知点闻到y轴的距离为与=2 ；( I、当直线/斜率存在时，设/： y = kx + m，A(X,yJ, 8(,必)，9工2 =1联立I彳) ,整理得(4公一1)12+8爪 + 4机2+4 = 0, y = kx + mA = 64Z: =0联立了一，一 ，整理

18、得(4%2-1)/+8初a+ 4m2=0, y = kx + mmi8k% Skm 8k niI x +x2 4k nn 7 八那么玉+修=-7T= 一r = 一一,那么=0,即左24,即为2 m m此时点m到y轴的距离大于2；综上所述，点m到y轴的最小距离为2.15.B (-V6, 0), F2(V6 , 0)为双曲线C的两个焦点，点。(2,1)在双曲线c上.(1)求双曲线。的方程；(2)点A, 8是双曲线C上异于P的两点，直线公，P8与y轴分别相交于M, N两点，假设OM -vON = 0，证明：直线A3过定点.【答案】(1)-(=1证明见解析【解析】(1)22设双曲线C的方程为，-七=1

19、(稣0,。0),A = 64Z: =0联立了一，一 ，整理得(4%2-1)/+8初a+ 4m2=0, y = kx + mmi8k% Skm 8k niI x +x2 4k nn 7 八那么玉+修=-7T= 一r = 一一,那么=0,即左24,即为2 m m此时点m到y轴的距离大于2；综上所述，点m到y轴的最小距离为2.15.B (-V6, 0), F2(V6 , 0)为双曲线C的两个焦点，点。(2,1)在双曲线c上.(1)求双曲线。的方程；(2)点A, 8是双曲线C上异于P的两点，直线公，P8与y轴分别相交于M, N两点，假设OM -vON = 0，证明：直线A3过定点.【答案】(1)-(=1证明见解析【解析】(1)22设双曲线C的方程为，-七=1(稣0,。0),m2-16(4Z:2-l)(m2+l) = 0 ,整理得4公=/+i