2022年数学竞赛教案讲义几个初等函数的性质 .pdf
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1、第四章几个初等函数的性质一、基础知识1 指数函数及其性质:形如 y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+),当 0a1 时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。2 分数指数幂:nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,1。3对数函数及其性质:形如 y=logax(a0,a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+),值域为 R,图象过定点(1,0)。当 0a1 时,y=logax 为增函数。4对数的性质(M0,N0);1)ax=Mx=logaM(a0,a1);2)loga(MN)=loga M+logaN;3)loga(NM)=loga M-log
2、aN;4)loga Mn=nloga M;,5)loganM=n1loga M;6)aloga M=M;7)logab=abccloglog(a,b,c0,a,c1).5.函数 y=x+xa(a0)的单调递增区间是a,和,a,单调递减区间为0,a和a,0。(请读者自己用定义证明)6连续函数的性质:若ab,f(x)在a,b上连续,且f(a)f(b)0.例 2(柯西不等式)若 a1,a2,an是不全为 0 的实数,b1,b2,bn R,则(niia12)(niib12)(niiiba1)2,等号当且仅当存在R,使 ai=ib,i=1,2,n 时成立。例 3 设 x,y R+,x+y=c,c 为常数
3、且c(0,2,求 u=yyxx11的最小值。2指数和对数的运算技巧。例 4 设 p,qR+且满足 log9p=log12q=log16(p+q),求pq的值。例 5 对于正整数a,b,c(abc)和实数 x,y,z,w,若 ax=by=cz=70w,且wzyx1111,求证:a+b=c.例 6 已知 x1,ac1,a1,c1.且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab.例 7 解方程:3x+4 x+5 x=6 x.例 8 解方程组:312xyyxyxyx(其中 x,yR+).例 9 已知 a0,a1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的
4、k 的取值范围。文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:
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10、 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6三、基础训练题1命题 p:“(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y0”的 _条件。2如果 x1是方程 x+lgx=27 的根,x2是方程 x+10 x=27 的根,则 x1+x2=_.3已知 f
11、(x)是定义在R 上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等式|f-1(log2x)|1 的解集为 _。4若 log2aaa1120,则 a 取值范围是 _。5命题 p:函数 y=log23xax在2,+)上是增函数;命题q:函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是 q 的_条件。6若 0b0 且 a1,比较大小:|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知 f(x)=2+log3x,x1,3,则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为 _。8若 x=31log131log15121,则与 x 最接近的整数是_。9函
12、数xxy1111log21的单调递增区间是_。10函数 f(x)=2,235212xxxx的值域为 _。11 设 f(x)=lg1+2x+3 x+(n-1)x+n x a,其中 n 为给定正整数,n2,a R.若 f(x)在 x(-,1时有意义,求a 的取值范围。12当 a 为何值时,方程)lg(2lgaxx=2 有一解,二解,无解?四、高考水平训练题1函数 f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是 _.2已知不等式x2-logmx0 在 x21,0时恒成立,则m 的取值范围是_.3若 xx|log2x=2-x,则 x2,x,1 从大到小排列是_.4.若 f(x)=lnxx11,则使 f(
13、a)+f(b)=abbaf1_.5.命题 p:函数 y=log23xax在2,+)上是增函数;命题q:函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是 q 的_条件.6若 0b0 且 a1,比较大小:|loga(1-b)|_|loga(1+b)|.7已知 f(x)=2+log3x,x1,3,则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为 _.文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文档编码:CB1U1G2E2V1 HQ2M10M6E6I3 ZW5I1U6F2L6文
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