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2022年平面向量知识点总结与训练 .pdf

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文档编号：60562865

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1、精品资料第二章平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1 向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB,a;坐标表示法T a=xi-yj=（x,y）*向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作丨a|*向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向I量 a=0=|a|=0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有非零向量”这个条件.（注意与 0 的区别）单位向量：模为

2、 1 个单位长度的向量向量a为单位向量=|a|=1-平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量+记作 a/b+由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量?精品资料数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为h=b大小相等，方向相同(Xi,yj=(X2,y2

3、)=丿为X2t%=y2 2 向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法T 斗 T 耳-呻 T T T 设AB=a,BC=b，贝U a+b=AB BC=AC(1)O a 二a O=a；(2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两

4、向量是首尾连接时,用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：T T T T T T AB BC CD PQ Q AR，但这时必须“首尾相连”文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2

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7、码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D

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11、量仍是零向量关于相反向量有：-(-a)=a;(ii)a+(-a)=(-a)+a=0;(iii)若 a、b是互为相反向量，贝U a=-b,b=-a,a+b=0 向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，记作：a-b二a(-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：a-b可以表示为从b的终点指向 a 的终点的向量(a、b有共同起点)4 实数与向量的积：实数入与向量 a 的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：(1)险=|出a；(U)当 0 时，入 a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，入 a 的方向与 a 的方向相反；当=0时，-a=0，方向是任意的数乘向量满足交

12、换律、结合律与分配律5 两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线=有且只有一个实数，使得b=a6 平面向量的基本定理：如果?(2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数!,2使：aG2e2，其中不共线的向量ene2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 Z

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19、O2 ZO9M6Q3P4S4精品资料7 特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起

20、来进行综合考查，是知识的交汇点二.平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a=xi yj，由于 a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A

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28、算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向i?平行四边形法则a+bpx+y+y)a+b=b+a若A Xi,yi,B X2,y2,则AB-X2-Xi,y2-yi 文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S

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33、M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:

34、CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4精品资料量2+三角形法则(W 也+c

35、=a+(b+?的T T TAB+BC=AC加法向三角形法则爲*X2,y适）a-b=a+(b)T T量AB=-BA的T T TOB-OA=AB减法向ha是一个向量,ka=(扎x,hy)丸（也）=（X）a量满足：(X+P)a=ha+的几0 时,ha与 a 同人(a+b)=&a+b乘向；a/b 二a=A b法hlb|b|积文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2

36、HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 Z

37、O9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编

38、码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D

39、2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2

40、 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文

41、档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L1

42、0D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4精品资料.平面向量的数量积1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为日，则 a b=|a|?b|cos6叫做 a 与b的数量积（或内积）规定0：=0a b 2 向量的投影：|b|cos 二粘一职，称为向量b在 a 方向上的投影投影的绝对|a|值称为射影3 数量积的几何意义：a b等于 a 的长度与b在 a 方向上的投影的乘积2 4 2 4 向量的模与平方的关系：a a=a=|a|5 乘法公式成立:a b 1-b=；2-b2=a（；士bj=$2：b+b2=a22a b+b 26 平面向量数量积的运算律：4 4-I 4 交换

43、律成立：a?b=b a呻呻呻*d 时对实数的结合律成立：abab=ab R 分配律成立：；b a c ib C=c-b 特别注意：（i）结合律不成立：a?c=ab c；（2）消去律不成立a b二a c不能得到c（3）a b=0 不能得至 U a=0或b=0 7 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量a=（%,%）,b=（X2,y2），则 a b=x2 yiy2 I 呻T*T 呻a 与b，作OA=a,OB=b,贝 U/AOB=-8 向量的夹角：已知两个非零向量文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7

44、N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P

45、4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6

46、V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5

47、Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q

48、3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2

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50、S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4文档编码:CH2A6V1L10D2 HF8S5Q7N8O2 ZO9M6Q3P4S4精品资料（0_二_180）叫做向量 a 与b的夹角X1X2 YlY2 2 2 2 2 yi:.X2 y2 当且仅当两个非零向量a 与b同方向时，9=0，当且仅当 a 与b反方向时B=180,!同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9 垂直：如果 a 与b的夹角为 90则称 a 与b垂直，记作 a 丄10 两个非零向量垂直的充要条件：a lb 二 a?=0=X1X2+yi y2=0*巩固练

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4.3 金币

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