2022年坐标系与参数方程配套资料教师用书教案 .docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4 4坐标系与参数方程第一节坐标系与曲线的极坐标方程要求内容ABC考纲坐标系的有关概念传真简洁图形的极坐标方程极坐标方程与直角坐标方程的互化1 极坐标系与点的极坐标1极坐标系：在平面上取一个定点O,自点 O 引一条射线 Ox,同时确定一个长度单位和运算角度的正方向通常取逆时针方向为正方向,这样就建立了一个极坐标系其中,点O 称为极点,射线 Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 40 页 - - - - - - - -

2、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -称为极轴2极径与极角：设 M 是平面上任一点, 表示 OM 的长度, 表示以射线 Ox 为始边,射线 OM 为终边所成的角,有序数对 , 称为点 M 的极坐标其中 称为点 M 的极径, 称为点 M 的极角2 极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标 x, y极坐标 ,2 x2 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互化公式x cos y sin 3.圆的极坐标方程tan yx0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1圆心在极点,半径为r 的圆的

3、极坐标方程为 r.2圆心在点 a,0处,且过极点的圆的极坐标方程为 2acos .3圆心在点 a,2 处且过极点的圆的极坐标方程为2asin .4 直线的极坐标方程1直线 l 过极点,且极轴到此直线的角为,就直线 l 的极坐标方程是 R2直线 l 过点 M a,0且垂直于极轴,就直线 l 的极坐标方程为 cos a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b.3直线过 M b,2 且平行于极轴,就直线 l 的极坐标方程为sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 夯基释疑 判定以下结论的正误正确的打“”,错误的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料

4、名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -打“” 1在极坐标系中点与坐标是一一对应关系2如点 A 的直角坐标为 6, 2,就点 A 的极坐标肯定为 22,63极坐标系中,极径可以为负数,故M,可表示为 , 2n1 n Z 4在极坐标系中,同一个点M其坐标形式不尽相同,M ,可表示为 ,2n 解析 在极坐标系中,同一个点的极坐标却有无穷多个因此1错, 2错. 34明显正确 答案 12342 教材习题改编 已

5、知曲线 C 的极坐标方程是 4sin 6 ,那么它的直角坐标方程是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 由 4 sin 24sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 ,得 6 ,即 223sin2cos ,曲线 C 的直角坐标方程为x2 y2 23y2x,即x12 y32 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 x 12 y32 43在极坐标系中,圆 2cos 与方程 点坐标为 所表示的图形的交4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 当 4时, 2cos 42,所以交点坐标为2,4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

6、品_精品资料_ 答案 2, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4 2022 陕西高考 在极坐标系中,点2,6 到直线 sin 6 1 的距离是 解析 点 2,6 ,直线 sin 6 1 分别在直角坐标系中对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点3,1,直线32 y1x1 0,点到直线的距离为2332 2 131可编辑资料 -

7、 - - 欢迎下载精品_精品资料_22 22 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 1 5极坐标方程 4sin25 表示的曲线是 21 cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 4sin22 4222cos 5,化为直角坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 ,明显该方程表示抛系方程为 2x2 y2 2x 5,化简得 y25x25物线 答案 抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考向 1平面直角坐标系中的伸缩变换y2x 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【典例 1】求双曲线 C： x2后所得曲线 C的

8、焦点坐标1,经过 ：64变换2y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解设曲线 C 上任意一点 Px, y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 3x,1x x ,3y2代入双曲线 C： x2641,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y y,y 2y可编辑资料

9、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x24y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得9641,化简得9 16 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2即 9 16 1 为曲线 C的方程,可见仍是双曲线就焦点 F1 5,0, F25,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规律方法】1 由伸缩变换公式得xx3且 y 2y 代入曲线 C 的方程即得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 C的方程2解答该类问题应明确两点：一是依据平面直角坐标系中的伸 缩变换公式的意义与作用.二是明确变换

10、前的Px,y与变换后的点P x, y的坐标关系,利用方程思想求解【 变 式 训 练1 】求 将 圆x2 y2 1按 照 伸 缩 变 换 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 3x,y 5y变换后所得椭圆的标准方程和焦距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解由x 3x,得 xy 5y,xy3 且 y 5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入圆 x2y2 1,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 25 1,即 9 25

11、1.a225,b29,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -c2a2 b2 25 9 16.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 4,2c 8.即所得椭圆的标准方程为x2y29 25 1,焦距为 8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考向 2极坐标与直角坐标的互化高频考点 命题视角极坐标与直角坐标的互化是历年高考重点

12、主要命题角度： 1点的坐标互化. 2曲线方程的互化【典例 2】12022 福建高考 在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A 的极坐标为2, 4 ,直线 l 的极坐标方程为cos 4 a,且点 A 在直线 l上求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程.22022 天津高考 已知圆的极坐标方程为 4cos,圆心为 C,点 P 的极坐标为 4,3 ,求|CP|.【思路点拨】1把点 A 极坐标直接代入直线极坐标方程即可求得 a,进而把极坐标方程化直角坐标方程.2把圆的极坐标方程化 为直角坐标方程,求点C、P 的直角坐标进而求CP. 解1点A 在直线 l 上,

13、把2, 4代入直线 l 方程应成立, 即2cos 4 4 a,得 a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l 的方程可化为 cos cos 4sin sin4 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -化简得 cos sin 2.从而直线 l 的直角坐标方程为x y 2 0.2由

14、 4cos 可得 x2 y2 4x,即x 22y2 4,因此圆心 C的直角坐标为 2,0又点 P 的直角坐标为 2,23 因此 |CP| 23.【通关锦囊】x1进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式： x cos , ysin ,2x2 y2,tan yx02进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,留意,的取值范畴及其影响. 善于对方程进行合理变形, 并重视公式的逆向与变形使用.敏捷运用代入法和平方法等技巧【变式训练 2】2022 南师附中月考 在极坐标系下, 已知圆 O：2 cos sin 和直线 l： sin 4 2 .1求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程.2当 0,时,求直线

15、 l 与圆 O 公共点的极坐标 解1由 cos sin 可得 2 cos sin ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x2 y2,把cos x,sin y代入 2 cos sin 得圆 O 的直角坐标方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

16、品资料_程： x2y2 x y0.2由 l ：sin sin cos 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 2 ,得 cos x,由于所以 xy1 0.sin y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由x y10,解得x2y2xy0,x0,y1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x2y2,由tan y x 0 ,x 1,得tan 不存在,由于 0, ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2,故公共点的极坐标为1,2 .考向 3极坐标方程及应用【典例 3】1在极坐标系中,已知圆 2

17、cos 与直线 3cos 4sin a0 相切,求实数 a 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22022南通质检 在极坐标系中, 已知圆 C：4cos 被直线 l ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sina 截得的弦长为 23,求实数 a 的值6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解1将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为x2 y2 2x,即 x12y21,直线的方程为3x 4y a0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题设知,圆心1,0到直线的距离为1,即有|3 1 40 a|1,32 42可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品_精品资料_解得 a 8 或 a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -故 a 的值为 8 或 2.2圆 C： 4cos 的直角坐标方程为x2y24x,x22y24,就圆心 C2,0,半径 r 2,又直线 l 的直角坐标方程为x3y 2a0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 C 到 l 的距离 d|2 2a|2|1a|

19、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 l 被圆 C 截得弦长为 23.r 2 d23,即 4|1 a|2 3.a 0 或 a 2.【规律方法】1 12中的极坐标方程均化为直角坐标方程求解2由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,假如不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解【变式训练3】在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为sin 4 1,圆 C 的圆心的极坐标是C 1,4 ,圆的半径为 1.1求圆 C 的极坐标方程.2求直线 l 被圆 C 所截得的弦长 解1设 O 为极点, OD 为圆 C 的直径, A,为圆 C 上的一个动点就AOD 4 或AOD 4,可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OA ODcos4 或 OA ODcos 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 所以圆 C 的极坐标方程为2cos 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 sin 4 1,得22 sin cos 1,可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_所以直线 l 的直角坐标方程为x y20,圆心 C 的直角坐标为22 ,22故 C 点满意直线 l 的方程,就直线 l 经过圆 C 的圆心,故直线被圆所截得的弦长为直径2.勿忘 1 点留意平面上点的直角坐标的表示形式是唯独的,但点的极坐标的表示形式不唯独熟记 2 种方法极坐标问题通常有两种讨论方法：一是用极坐标的学问直接求解. 二是转化为直角坐标的形式,用直角坐标的学问求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

22、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -勿忘 2 点留意进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,1.留意,的取值范畴及其影响2.重视方程的变形及公式的正用、 逆用、变形使用 .思想方法之 20转化思想在解题中的应用2022 辽宁高考 在直角坐标系xOy 中,以 O 为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 4sin , cos 4 22.求 C1 与 C2 交点的极坐标 解圆 C1 的直角坐标方程为x2y224, 直线 C2 的直角坐标方程为xy 4 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 y2

23、 2 4,解xy4 0,x10,得y14,x2 2, y2 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 C1 与 C2 交点的极坐标为4, 2 , 22,4 .注：极坐标系下点的表示不唯独【聪明心语】易错提示： 1极坐标方程与直角坐标的互化出错2由点的直角坐标转化为点的极坐标易出错防范措施： 1仔细观看方程的表现形式,加强极坐标方程与直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳

24、- - - - - - - - - - - -角坐标方程的互化训练,以便找到正确解题途径2把直角坐标转化为极坐标时,虽然通常有不同的表示法极角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相差 2 的整数倍 ,但是一般取 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【类题通关】求经过极点 O0,0、A 6, 2 、B 62,圆的极坐标方程94三点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解将点的极坐标化为直角坐标,那么点 O、A、B 的直角坐标分别为 0,0、0,6、6,6,故OAB 是 OB 为斜边的等腰直角三角形,故经过

25、A、B 三点圆的圆心为 3,3,半径为 32.圆的直角坐标方程为 x 32y3218,4即 x2 y2 6x 6y0, xcos , y sin 代入上述方程,得 26cos sin ,即 62cos课后限时自测 A 级基础达标练 一、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1在极坐标系中, 圆 4sin 的圆心到直线是 R 的距离 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析 圆 C： x2y224,圆心 C0,2直线 l ：x3y0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 40 页

26、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故圆心 C 到直线 l 的距离 d|023|23.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 32在极坐标系中,圆 2sin 的圆心的极坐标是 解析 圆的方程可化为2 2sin ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xcos ,由ysin ,得 x2 y2 2y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x2 y 12 1,圆心 0, 1, 化为极坐标为

27、1, 2 . 答案 1, 23 2022 广东高考 在极坐标系中,曲线C1 和 C2 的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,就曲线C1 和 C2 交点的直角坐标为 解析 由 sin2 cos 得其直角坐标方程为y2 x,由 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 得直角坐标方程为y 1,由y2x y 1得 C1 和 C2 的交点为 1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答案 1,14 2022 北京高考 在极坐标系中,点2,6 到直线 sin 2 的距离等于 解析 点 2,6

28、 对应的直角坐标为 3,1,直线 sin 2 对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的直角坐标方程为y2,所以点到直线的距离为1. 答案 15 2022 福州质检 在极坐标系中,曲线C1： 2cos ,曲线 C2： 4,如曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点,就线段 AB 的长是 解析 由于曲线 C1 与曲线 C2 均过极点,极点是曲

29、线 C1 与 C2 的一个交点,将 4,代入 2cos ,得 2,点2,4 是曲线 C1 与 C2 的另一交点,该点与极点的距离为2,因此 AB 的长度为2. 答案 262022 镇江调研一 经过极坐标为 0,0, 6,2 , 62,4 三点的圆的直角坐标方程为 解析 点0,0, 6,2 , 62,4 的直角坐标分别为 0,0,0,6,6,6,OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形经过 O, A, B 三点的圆的圆心为 3,3,半径为 32圆的直角坐标方程为 x 32y 3218. 答案 x 32 y 32 187 2022 常州调研 在极坐标系中,已知点P 23, 6 ,直线 l：cos

30、 4 22,就点 P 到直线 l 的距离为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 解析 点 P 的直角坐标为 3,3,直线 l 的直角坐标方程为x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y40,从而点 P 到直线 l 的距离为|33 4|2262.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

31、_精品资料_ 答案 262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8在极坐标系中,圆C： 10cos 和直线 l ：3cos 4sin 30 0 相交于 A,B 两点,就线段 AB 的长是 解析 分别将圆 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆 C： x2y210x,即x52y225,圆心 C5,0直线 l： 3x 4y 30 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于圆心 C 到直线 l 的距离 d|150 30|53.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 |AB|225 d2 8. 答案 8二、解答题9常州市 2022 届高三教学期末调研测试

32、已知曲线 C1 的极坐标方程为 cos 3 1,曲线 C2 的极坐标方程为 22cos 4 ,判定两曲线的位置关系 解将曲线 C1C2 化为直角坐标方程得： C1：x3y 2 0, C2：x2y22x 2y 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 40 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即 C2：x12y 122,|132|33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心到直线的距离d2222,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 3曲线 C1 与 C2 相离102022 南京盐城高三数学二模数学试卷在极坐标系中, 求曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 2cos 关于直线 4R对称的曲线的极坐标方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解法