2022年等差数列及等比数列的性质总结 .docx

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1、精品_精品资料_一、等差数列：等差数列与等比数列总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,假如一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差常用小写字母 d 表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差中项,假如 Aab2,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.假如三个数成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列,那么等差中项等于另两项的算术平均数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列a n 的通项公式： ana1（ n -1） d（ nN ）.可

2、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列a n 的递推公式： anan 1d（ n2）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列aS （a1an） nn（n - 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 的前 n 项和公式： n = na1d =22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ d ） n2 2d（a1 -） n 2na中 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【等差数列的性

3、质】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、anam（ n -1） d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 am（ n -m） da1（ m -1） d（ n -m） da1（ n -1） dan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如 m、n、p、qN ,且 m+n=p+q,就有 amanapaq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 aman2a1（ mn - 2） d2a1（ pq - 2） apaq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

4、载精品_精品资料_3、ak、 akm、ak2m、成等差数列,公差为 md可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 akm - akak2m -akmmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2 k4、S , S- S , S- Snk（ n - 1）kS-S成等差数列,公差为n2d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k3k2 k【说明】（S- S）- S（aaa ）-（aaa ） n2d ,可编辑资料 - - -

5、 欢迎下载精品_精品资料_2nnnn 1n 22 n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn - 1（ S3n -S2n）-（S2n -Sn）（a 2n 1a2n 2a3n）-（an 1an 2a2 n）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2d, 5、数列an 成等差数列napnq,2aan1na, SAn2Bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 anam（ n -1） ddn（ a1 -d）, Sn = na1n（ n - 1） d =2可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ d ） n2 2d（a1 -） n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、如数列a n 是等差数列,就c an 为等比数列, c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】canca n - 1can - a n - 1cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、Sn是前 n项和,S奇 表示奇数项的和,S偶表示偶数项的

7、和,就 SnS奇S偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n当 n 为偶数时, S偶 - S奇d 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 为奇数时, Sna中n , S奇 -S偶S奇Sa中 ,偶n1n - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】当n 为偶数时,S- S（a - a） （a- a）（a - a）nd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶当 n 为奇数时, S- S奇na（a-n- 1a ）n- 2（an- 3- a） a212中n - 1 da ,可编辑资料 - - - 欢

8、迎下载精品_精品资料_1S奇（ a1奇偶1n1an）32n1S奇S偶nn - 112S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22,nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1偶（a22an - 1）n - 12n - 1S奇 - S偶a中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、设 S 和T 分别表示等差数列a、b的前 n项和,就 anS2n - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【说明】nS2 n - 1T2n - 1（2n -（2n -nn1）a中an1） b中bnbnT2n - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例】等差数列 a、b 的前 n项和分别为 S 和T,如 Sn5n1,求a15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnTn3n - 1b15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、apq, aqp（ pq）,就 ap q0, d- 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Spq,Sqp（ pq）,就 ap q-p- q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SpS（q pq）,就 ap q 0可编辑资料 - - -

10、欢迎下载精品_精品资料_【说明】ap - aq（ p -q） dp - qd- 1, ap qapqdq - q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SpSq（aq 1ap）（aq 1ap）（ p - q） 2q - paq 1ap- 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sp q（ a1ap q）（ p 2q） （ aq 1ap）（ p 2q）-p -q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等比数列：一般的,假如一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等

11、于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比, 公比常用小写字母 q 表示.等比中项,假如 G2ab ,那么 G叫做 a 与 b 的等差中项.假如三个数成等比数列,那么等差中项的平方等于另两项的积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列an 的通项公式： ana qn-（1 nN ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1等比数列a n 的递推公式： anan 1q（ n2）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1, q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列

12、a n 的前 n 项和公式：Sn =na（1 1 - q ）a1 - anq , q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m【等比数列的性质】1 - q1 - q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、anaqn- m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 amqn - maqm- 1qn - maqn - 1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n2、如 m、n、k、lN ,且 mnkl ,

13、amanakal可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 amana2qm11n - 2a2qkl - 2akal可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、a 、 a、a、,成等比数列,公比为qm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kkmkak ma【说明】k2mak 2mqmakm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、S 、 S- S 、S- SS-S成等比数列,公比为qn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k【说明】2 kk3knS

14、2n - Sn Sn2 kan 1a1nkan 2a2（ n - 1）ka2 nqnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、数列an 成等比数列2aann - 1an 1, anpqn, SA（ qn- 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 aaqn - 1a1qn, Sa（1 1 -q n）a1（ qn- 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1qn1 - qq - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、如数列a n 是等比数

15、列,就logcan为等差数列, an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】logcan -logcan - 1log canan - 1log cq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、Sn是前 n项和,S奇 表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,就 SnS奇S偶 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a偶S奇 - a1如 n 为偶数时,q .当 n 为奇数时,q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a奇a偶【说明】当 n 为偶数时,a奇S偶

16、a2a4a1a4anq. an - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 为奇数时,S奇 - a1 S偶a3a5a2a4anq. an - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、设 Tn是前n项积,T奇表示奇数项的积,T偶表示偶数项的积,就 TnT奇T偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T偶当 n 为偶数时,nq 2.当T奇n为奇数时,na ,Ta.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T奇T偶中奇中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T偶【说明】当 n 为偶数时,T奇a2a4a2a4an an - 1nq2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T奇当 n 为奇数时,T偶aa2a41a2a4an an - 1a中 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Taaaa aa aan .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇12n1n2n - 1中可编辑资料 - - - 欢迎下载