2022年高中数学知识点总结大全_______空间向量与立体几何.docx

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1、精品_精品资料_高中数学学问点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算（ 1）空间向量的基本学问：定义：空间向量的定义和平面对量一样,那些具有大小和方向的量叫做向量, 并且仍用有向线段表示空间向量,且方向相同、 长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量.空间向量基本定理：定理：假如三个向量不共面,那么对于空间任一向量,存在唯独的有序实数组x、y、z,使.且把叫做空间的一个基底,都叫基向量.正交基底：假如空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直,那么这个基底叫正交基底. 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底,通常用表示. 空间四点共面：设O、A

2、、B、C 是不共面的四点,就对空间中任意一点 P,都存在唯独的有序实数组x、 y、z,使.共线向量（平行向量）：定义：假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量,记作.规定：零向量与任意向量共线.共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数 ,使.共面对量：定义： 一般的, 能平移到同一平面内的向量叫做共面对量.空间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的任意两个向量都是共面对量.向量与平面平行：假如直线OA平行于平面或在 内,就说向量 平行于平面 ,记作.平行于同一平面的向量,也是共面对量.共面对量定理：假如两个向量、 不共线

3、,就向量与向量、共面的充要条件是： 存在实数对 x、y,使.空间的三个向量共面的条件：当、 、 都是非零向量时,共面对量定理实际上也是、 、所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,仍需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内.共面对量定理的推论：空间一点P 在平面 MAB内的充要条件是： 存 在 有 序 实 数 对 x 、 y , 使 得, 或 对 于 空 间 任 意 一 定 点 O, 有.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、 ,在空间任取一点O,作,（两个向量的起点肯定要相同）,就叫做向量与的夹角,记作,且.两个向量的数量积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定

4、义：已知空间两个非零向量、 ,就叫做向量、的数量积,记作,即：.规定：零向量与任一向量的数量积为0.留意：两个向量的数量积也叫向量、 的点积（或内积） ,它的结果是一个实数,它等于两向量的模与其夹角的余弦值.数量积的几何意义：叫做向量在 方向上的投影（其中 为向量 和 的夹角）.即：数量积等于向量的模与向量在 方向上的投影的乘积.基本性质：运算律：（2） 空间向量的线性运算：定义： 与平面对量运算一样, 空间向量的加法、 减法与数乘向量运算如下：加法：减法：数乘向量：运算律： 加法交换律：加法结合律：数乘安排律：二、复习点睛：1 、立体几何初步是侧重于定性讨论,而空间向量就侧重于定量讨论.空间

5、向量的引可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_入,为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题供应了一个非常有效的工具.2 、依据空间向量的基本定理,显现了用基向量解决立体几何问题的向量法,建立空间直角坐标系,形成了用空间坐标讨论空间图形的坐标法,它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题, 二进行向量运算, 三回到图形问题. 其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用.3 、实数的运算与向量的运算既有联系又有区分,向量的数量积满意交换律和安排律, 但不满意结合律, 因此在进行数量积相关运算的过程中不行以随便组合.值得一提的是： 完全平方公式和平方差公式仍旧适用,数量积的运算在很多方面和多项

6、式的运算如出一辙,特别 去 括 号 就 显 得 更 为 突 出 , 下 面 两 个 公 式 较 为 常 用 , 请 务 必 记 住 并 学 会 应 用 ：.2、空间向量的坐标表示：（ 1）空间直角坐标系：空间直角坐标系O-xyz ,在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点 O为原点,分别以的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z轴,它们都叫做坐标轴,点O叫做原点,向量叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面.右手直角坐标系：右手握住z 轴,当右手的四指从正向x 轴以 90角度转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向

7、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构成元素：点（原点）、线（x、y、z 轴）、面（ xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面）.空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz 时,一般使 xOy=135 或 45 , yOz=90 , z 轴垂直于 y 轴, z 轴、 y 轴的单位长度相同, x 轴上的单位长度为 y 轴（或 z 轴）的一半.（ 2）空间向量的坐标表示：已知空间直角坐标系和向量,且设为坐标向量（如图）,由空间向量基本定理知,存在唯独的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标,记作.在空间直角坐标系O-xyz 中,对于空间任一点A,对应一个向量如,就有序数组

8、 x , y, z 叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记为Ax ,y,z ,其中 x 叫做点 A 的横坐标, y 叫做点 A 的纵坐标, z 叫做点 A 的竖坐标,写点的坐标时,三个坐标间的次序不能变.空间任一点的坐标的确定： 过 P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面）,分别交坐标轴于A、B、C三点, x=OA, y=OB, z=OC,当与 的方向相同时,x 0,当与 的方向相反时, x 0,同理可确 y、z（如图）.,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规定： 一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是, 空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应.一个向量在直角坐标系中的坐标等于

9、表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.设,就：（ 3）空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离：.空间线段的中点 M（ x , y , z ）的坐标：.球面方程：二、复习点睛：4 、过定点 O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单 位.这三条轴分别叫做z 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）.统称坐标轴.通常把x 轴和 y 轴配置在水平面上, 而 z 轴就是铅垂线. 它们的正方向要符合右手规章,即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点.5 、空间直角坐标系中的特别点:（ 1）点（原点）的坐标：0,0,0.（ 2）线（坐标轴）上的

10、点的坐标：x轴上的坐标为 x,0,0,y 轴上的坐标为0,y,0,z 轴上的坐标为 0,0,z.（ 3）面（ xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面）内的点的坐标： 平面上的坐标为 x,y,0、平面上的坐标为 0,y,z、平面上的坐标为 x,0,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、要使向量与 z 轴垂直,只要 z=0 即可.事实上,要使向量与哪一个坐标轴垂直,只要向量的相应坐标为 0 即可.7 、空间直角坐标系中,方程 x=0 表示 yOz 平面、方程 y=0 表示 zOx 平面、方程 z=0 表示 xOy 平面,方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、方程 y=b 表示平行于平面 zOx 的平面、方程 z=c 表示平行于平面 xOy 平面.8 、只要将和代入, 即可证明空间向量的运算法就与平面对量一样.9 、由空间向量基本定理可知,空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底, 此定理是空间向量分解的基础.可编辑资料 - - - 欢迎下载