2022年高中数学解题思路大全—例析反函数的几种题型及解法.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例析反函数的几种题型及解法反函数是高中数学中的重要概念之一,也是同学学习的难点之一.在历年高考中也占有肯定的比例.为了更好的把握反函数相关的内容,本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一 . 反函数存在的充要条件类型例 1. （ 2022 年北京高考） 函数f xx22ax3 在区间1, 2上存在反函数的充要条件是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. a,1B.a2,C.a,12,D.a1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

2、品资料_解析： 由于二次函数f xx 22ax3 不是定义域内的单调函数,但在其定义域的子区间, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或a,上是单调函数.而已知函数f x 在区间 1 ,2 上存在反函数所以1, 2,a或者1, 2a,即 a1 或 a2应选（ C）评注： 函数 yf x 在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射.特殊的：假如二次函数yf x 在定义域内的单调函数,那么函数f（x ）必存在反函数.假如函数f（ x）不是定义域内的单调函数,但在其定义域的某个子区间上是单调函数,那么函数f（ x）在这个子区间上必存在反函数.二 . 反函数的求法类型

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.（ 2022 年全国卷）函数y3 x21x0) 的反函数是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. y x13 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. y x1 3 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. y x13 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. y x1 3 x0可编辑

4、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由x0 可得3 x20 ,故 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从 y3 x 21解得 x y13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -因

5、 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x y13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即其反函数是y x1 3 x1应选（ B）.评注：这种类型题目在历年高考中比较常见.在求反函数的过程中必需留意三个问题：（ 1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射.（ 2）求反函数的步骤：求原函数的值域,反表示,即把x 用 y 来表示,改写,即把x 与 y 交换,并标上定义域.其中例3 在反表示后存在正负两种情形,由反函数存在的充要条件可知,只能依据函数的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域（ x0 ）来确定x y1 3 ,再结合原函数的值域即

6、可得出正确结论.另外,依据反函数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_域即为原函数的值域,所以求反函数时应先求出原函数的值域,不应当直接求反函数的定义域.例如：求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx22 x3 x1) 的反函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x1 可得y|y0反表示解出x1y4由 x1 应取 x1y4即 x1y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1所以 y1x4 x0) 为其反函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 3）f（ x）与 f x 互

7、为反函数,对于函数yf x1) 来说,其反函数不是yfx1 ,而是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf1 x1 .同理yf1 x1 的反函数也不是yf x1 ,而是 yf x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三 . 求反函数定义域、值域类型例 3. （ 2022 年北京春季） 如 f1x 为函数f xlg x1 的反函数, 就 f （ 1x）的值域为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：通法是先求出f （x）的反函数f1 x10x1 ,可求得f

8、 1（ x）的值域为1, ,而利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质,立刻得f（ x）的值域为1, .评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解.四 . 反函数的奇偶性、单调性类型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

9、载精品_精品资料_2A. 奇函数,在（0,）上是减函数B. 偶函数,在（0,）上是减函数C.奇函数,在（0 ,）上是增函数D.偶函数,在（0 ,）上是增函数例 4.函数 yexe x的反函数是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由于ex 在（ 0,）上是增函数,e x 在（ 0,）上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 yexe x2在（ 0 ,）上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易知 yexe x2为奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品_精品资料_利用函数yf x 与 1x ）具有相同的单调性, 奇函数的反函数也为奇函数这两条性质,立刻选（ C）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f （五 . 反函数求值类型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. （ 2022 年湖南省高考） 设函数 f（ x）的图象关于点 （1,2 ）对称,且存在反函数f1 x, f4 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f1 4 .解析：由f 40 ,可知函数f（x）的图象过点（4 ,0 ）.而点（ 4, 0）关于点（ 1, 2 ）的对称点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

11、_（ -2 , 4）.由题意知点（-2 , 4 ）也在函数f（ x ）的图象上,即有f 24 ,所以f1 42 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题是关于反函数求值的问题,但又综合了函数图象关于点的对称问题.在反函数求值时常常要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用到这条性质：当函数f（ x ）存在反函数时,如af(b) ,就 bf1 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 （ 2022年 湖 南 省 高 考 ） 设f 1 （ x ） 是 函 数f xl o 2g x1) 的 反 函 数 ,

12、如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f1 a1f1b8 ,就f ab 的值为（）A. 1B. 2C. 3D.log 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：直接利用：如afb ,就 bf1 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选（ B）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

13、 - 欢迎下载精品_精品资料_六 . 反函数方程类型例 6. （ 2022 年上海市高考） 已知函数f xlog 342,就方程 f 1（1xx ）=4 的解 x= .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：当函数f（ x）存在反函数时,如af(b) ,就 bf1 a .所以只需求出f 4的值即为f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ x ） =4 中的 x 的值.易知f 4 1 ,所以x1 即为所求的值. 1评注：此题除了这种方法外,也可以用常规方法去求.即先求出反函数f（x ）的解析式,再解方程f 1（ x ） =

14、4,也可得x1 .七 . 反函数不等式类型1 1a xa x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7.（ 2022 年天津市高考）设f（ x）是函数f xa21) 的反函数,就f（ x ） 1 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立时 x 的取值范畴是（）a21a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. ,B.,2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2C. a1 ,a 2aD. a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1解析：由 a1 ,知函数f（ x）在 R 上为增函数

15、,所以f 1（ x）在 R 上也为增函数.故由 f（ x） 1 ,有 xf 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 f 121 a1a12 a2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 xa 212 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应选（ A）.评注：此题除了这种方法外,也可以用常规方法去求,但比较繁琐.而下面的题目选用常规方法解就更为简便.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1如（ 2022 年湖南省高考）设f（x ）是函数fxx 的反函数,就以下不等式中恒成立的是（）可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. f1 x2 x1B. f1 x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. f1 x2 x1D. f1 x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：依题意知f1 xx2 x0 .画出略图,应选（A）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 -

17、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八 . 反函数的图象类型例 8.（ 2022年福建省高考）已知函数ylog 2 x的反函数是yf1 x ,就 yf1 1x 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由题意知f1 x2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f1 1x21 xx 12 x 1

18、12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 yf1 1x 的图象可由yx1的图象向右平移1 个单位而得到.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应选（ C）.评注：解反函数的图象问题,通常方法有：平移法,对称法等.对称法是指依据原、反函数的图象关于直线 yx 对称来求解.特殊的,如一个函数的反函数是它本身,就它的图象关于直线y=x 对称,这种函数称为自反函数.九 . 与反函数有关的综合性类型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9.（ 2022 年黄冈市模考）设xR , f（ x）是奇函数,且f2 xa 4xa 2x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、_精品资料_41 11（ 1）试求 f（ x）的反函数f（ x）的解析式及f（ x ）的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 g xlog1x ,如 x1 , 22k23时,f1 xg x 恒成立,求实数k 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1 ）由于 f（ x）是奇函数,且xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以 f 00,即a10a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 a1所以 f x2 x12 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

20、料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可求得f x1, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy21令,反解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x2 x111y , x y1ylog21y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从 而 f1 xlog121

21、x , x x1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由于 x1 , 223,所以 k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f1 xg x 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2log1x1xlog1x2k21xlog 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x1x所以1xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 k 21x2对 x1 , 2 23恒成立可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品_精品资料_令 h x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12其在,23上为单调递减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 h x25minh39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25所以 kh xmin9又 k0 ,故实数k 的取值范畴是0k53评注：此题综合了反函数与函数的奇偶性,换元法求函数的解析式,对数不等式的解法以及含参不等式在定区间上恒成立等学问,是一道综合性较强的好题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载