2022年解三角形知识点总结及典型例题.docx

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1、精品_精品资料_两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 两角和与差的正弦公式,sin + =sin cos+cossin ,课前复习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin - =sin c-ocsos sin .2 两角和与差的余弦公式,cos + =cos -scionssin cos - =cos cos+sin sin 3 两角和、差的正切公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan +=tantan, （ tantantan1tantan）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan1tan- =tantantan. （ tantantan1tan

2、tan）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tantan简洁的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin22sincos1 sin 2sin 2cos 22 sincossincos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222 cos2cossin2cos112sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_升幂公式 1cos2 cos2,12cos2 sin 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_降幂公式cos2cos 212, sin21cos 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

3、品_精品资料_ tan22 tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan默写上述公式, 检查上次的作业 课本上的 .解三角形学问点总结及典型例题一、学问点复习1、正弦定理及其变形abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C2 R R为三角形外接圆半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） a2 RsinA, b2RsinB,c2 Rsin C边化角公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） sin Aa

4、,sin B 2Rb ,sin C 2 Rc 角化边公式） 2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin Aasin Absin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）a : b : csin A:sinB :sin C4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b sin Bcsin Ccsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、正弦定理适用情形：（1） 已知两角及任一边（2） 已知两边和一边的对角（需要判定三角形解的情形） 已知 a, b 和 A,求 B 时的解的情形 :可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 sin Asin B ,就 B 有唯独解.假如sin Asin B1 ,就 B有两解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 sin B1,就 B 有唯独解.假如sin B1,就 B 无解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、余弦定理及其推论cos Ab2c2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2b2a 2c22bc cos Ac22 ac cos BcosB2bca2c2b2可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品_精品资料_222c ab2 ab cos CcosC2aca2b2c22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、余弦定理适用情形：（1）已知两边及夹角. （ 2）已知三边 . 5、常用的三角形面积公式1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） SABC底 高 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） SABC1 ab sin C 21 bc sin A 21 casin B （两边夹一角） .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、三角形中常用结论（1） abc, bca, acb即两边之和大于第三边,两边之差

7、小于第三边）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 在ABC中, ABabsin Asin B即大边对大角,大角对大边）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 在 ABC中, ABC,所以sin ABsin C. cos ABcos C . tan ABtan C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AB 2cos C2, cos AB 2sin C .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、典型例题 题型 1 边角互化 例 1 在 ABC中,如sin A : sin B :

8、 sin C3 : 5 : 7 ,就角 C 的度数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由正弦定理可得a: b : c3 : 5: 7 , , 令 a、b、c 依次为3、5、7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22就 cosC = abc32522=7=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ab2352可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 0C,所以 C23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 2 如 a 、 b 、 c 是 ABC 的三边,f xb 2 x 2

9、b 2c 2a 2 xc 2 ,就函数f x 的图象与 x 轴 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点D、至少有一个交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由余弦定理得b 2c2a 22bc cos A ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xb2 x22bc cos Agxc2 =bxc cos A2c2c2 cos2A ,由于cos2A1, 所以 c2c2 cos2A0,因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 恒成立,所以其图像与x

10、 轴没有交点.题型 2 三角形解的个数 例 3 在 ABC 中,分别依据以下条件解三角形,其中有两解的是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 a7 , b14 , A30 .B、 b25 , c30 , C150 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、 b4 , c5 , B30 .D、 a6 , b3 , B60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 3 面积问题 例 4ABC 的一个内角为1200 ,并且三边构成公差为4 的等差数列,就ABC 的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

11、品资料_0【解析】设 ABC的三边分别：x4, x, x4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C=120,由余弦定理得：2 x42x42x2 xx4 cos120 ,解得： x10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABC 三边分别为 6、10、14,113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SVABCab sin C610153 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222题型 4 判定三角形外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 5在 ABC 中,已知a2b2 sin ABa 2b 2 sin AB , 判定该三角

12、形的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：a2 sin ABsin ABb2 sin ABsin AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2 cos Asin B2b2 cos B sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理,即知sin 2A cos Asin Bsin 2B cos B sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAsinBsinA cos Asi

13、nB cos B0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2Asin 2B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 02 A,2 B2,得 2 A2B 或 2A2B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ABC 为等腰三角形或直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二： 同上可得2 a 2 cos Asin B2b2 cos B sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2c2a 2a 2c2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正、余弦定理,即得：a2bb 2a2bc2ac可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2即 a2c2b2 c2a 2 a 2b2 a 2c2b2 0b2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab或 c2a2b 2 ,即 ABC 为等腰三角形或直角三角形.【点拨】 判定三角形外形问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法化简得到边与边关系式,从而判定出三角形的外形.（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判定出三角形的外形.（边化角）题型 5 正弦

15、定理、余弦定理的综合运用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 6 在 ABC 中,a,b, c 分别为角A.B, C的对边,且 sin Asin CpsinB pR 且 ac1 b 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 当 p5, b1 时,求4a,c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如角 B 为锐角,求p 的取值范畴.【解析】（ 1）由题设并由正弦定理,得ac5 , ac1,解得, a1,c1 或 a1 , c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4444可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由余弦定理, b2a 2c22ac cos B = ac22ac2ac cos Bp 2b 21 b21 b 2 cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 p 231 cos B ,由于 022cosB1,所以3p2,2222,由题设知 p0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6所以p2 .2m三、课堂练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、满意 A45 , c6 , a2的 ABC 的个数为 m ,就a为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

17、品资料_2、已知 a5,b5 3 , A30 ,解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、在 ABC 中, 已知 a4 cm , bx cm , A60 ,假如利用正弦定懂得三角形有两解,就 x 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8383可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 x4B、 0x4C、 4xD、 4x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、在ABC 中,如 S1 a24b 2c2 , 就角 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品_精品资料_5、设 R 是 ABC 外接圆的半径,且2 Rsin 2 Asin 2 C2ab sin B ,试求ABC 面积的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、在 ABC中, D 为边 BC上一点, BD33 , sin B5 , cosADC 133,求 AD .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、在ABC 中,已知a,b,c 分别为角A, B, C 的对边,如 abcos B,试确定ABC 外形.cos A可编辑资料 - - - 欢

19、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、在ABC 中,a,b, c 分别为角A, B, C 的对边,已知 cos A2cosC2ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求 sin C .cosBb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如cos B1 , b42, 求 ABC 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、课后作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、在ABC 中,如 abc bca3bc ,且sin A2 sin B co

20、sC ,就ABC 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 ABC 中如面积 S= 1 a 24b 2c 2 就角 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔AB ,在塔顶 A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为,在塔底 B 处测得点 C 的俯角为,如铁塔的高为 h m ,就清源山的高度为m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、 h sinsincosB、 h cossinsin可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h sinC、sinsinh cosD、sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A2cos BC 2取得最大值,并求出这个最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、在ABC 中,a,b, c 分别为角 A、B、C的对边,且满意csin AacosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求角 C 的大小（2） 求3 sin Acos B 的最大值,并求取得最大值时角4A, B 的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载