2022年高等数学期末复习资料大全.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学期末复习资料大全高等数学复习教程 第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质2.极限函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法就求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断懂得并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A. 极限的求法1）用定义求 2）代入法（对连续函数,可用因式分解或有理化排除零因子） 3）变量替换法4）两个重要极限法5）用夹逼定理和

2、单调有界定理求6）等价无穷小量替换法7）洛必达法就与Taylor 级数法8）其他（微积分性质,数列与级数的性质）（ （ （等价小量与洛必达）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim,求 lim已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim解：（洛必达）2x（重要极限）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求已知 a、b

3、 为正常数,x32x 解：令3333xx（变量替换）12解：令1lncosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.设（变量替换）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 连x 续,求limx x2ftdt x2ftdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（洛必达与微积分性质）7.已知解：令在 x=0 连续,求a（连续性

4、的概念）三、补充习题（作业）lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（洛必达）limctgx lim（洛必达或Taylor ） 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（洛必达与微积分性质）其次讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四就、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理3.应用二、题型与解法A. 导数微分的运算基本公式、四就、复合、高阶、隐函数、参数方程求导懂得 Roll 、Lagrange、 Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性

5、与极最值、凹凸性、渐进线 问题,能画简图会运算曲率（半径）由打算,求dx由打算,求解：两边微分得x=0 时,将 x=0 代入等式得y=1由打算,就B.曲线切法线问题在（,）（处切线的直角坐标方程.4.求对数螺线解：5.fx 为 周 期 为5的 连 续 函 数 , 它 在x=1可 导 , 在x=0的 某 邻 域 内 满 足f1+sinx-3f1-sinx=8x+ox.求 fx 在（ 6, f6 ）处的切线方程.解：需求f6,f或6f1,f,1等 式取x->0的极限有： f1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D.幂级数绽开问题xlim导数应用问题可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_已知对一切 x 满意,如,求 x0,y0 点的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令x3代入,故为微小值点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线.解：定义域驻点及拐点.：铅垂.：斜8.求函数的单调性与极值、渐进线

7、.解：2驻点与,渐：与sinxx2或：E.不等式的证明F. 中 值 定 理 问 题10. 求在处 的n阶 导 数fn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：设,求证（证：1）令时g 单x 调 下 降 ,单 调 下 降单 调 下 降 ,. 得 证 .单调下降,得证.2）令12.设函数 fx 在,1 具有三阶连续导数,且,求证： 在（ -1,1

8、）上存在一点,使证： 2.3.其中将 x=1 , x=-1 代入有两式相减：,1,41,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lagrange:证： 令令（关键：构造函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、补充习题（作业）求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_渐进线方程为一、理论要求1.不定积分在0,1 处切线为曲线的证明 x>0 时证：令22,第三讲不定积分与定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.定积分把握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）懂得定积分的概念与性

9、质懂得变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A. 积分运算B.积分性质C.积分的应用3.设x,求解：ex dx115.fxlim fx 连续,且,求并争论在的连续性.xfydy 解： x x

10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -fydy x2Axf2又fx 与 x=1,y=0 所围面积 S=2.求 fx ,且 a=.时 S 绕 x 轴旋转体积最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

11、- - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三、补充习题（作业）第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数懂得向量的概念（单位向量、方向余弦、模）明白两个向量平行、垂直的条件向量运算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分懂得二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质懂得偏导数、全微分概念能娴熟求偏导数、全微分娴熟把握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用4.空间解析几何可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、题型与解法A. 求偏导、全微分1. 有二2x阶fx连续偏导,满意,求 fx懂得多元函数极值

12、的求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法,会用 Lagrange 乘数法求极值把握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离解：,求3.B.空间几何问题4.求解：由打算,求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和.在点处的法线方程.5.曲面C.极值问题6.设x,y 是由确定的函数,求的极值点与极值.三、补充习题（作业）求2.求y, 求 dzx 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第五讲多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟识二、三重积分的运算方法（直角、极、柱、球）Dby2xz2x,y2V会用重积分解决简洁几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）2.曲线积分D懂得两类曲线积分的概念、性质、关系,把握两类曲线积分的运算方法bL熟识 Green 公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分懂得两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟识 Gauss 与 Stokes 公式,会运算两类曲面积分22通量,散度）SV旋度）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资

14、料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -L S二、题型与解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 重积分运算B.曲线、曲面积分绕 z 轴旋转一周与z=8 的围域.2282z解：3为平面曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdy,D 2.为与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（23.其他,围域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求49/20LL 从 A2a,0 沿至 O0,0解：令L1 从 O 沿至 A2L1 D232a为以 1,0 为中心,为半径的圆周正向.解：取包含 0,0的正向,LL6.对空间 x>0 内任意光滑有向闭曲面S, S,且fx 在x>0 有连续一阶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精

16、选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -导数,求fx .解：dV第六讲常微分方程一、理论要求1.一阶方程2.高阶方程3. 二 阶 线 性 常 系 数熟 练 掌 握 可 分 离 变 量 、 齐 次 、 一 阶 线 性 、 伯 努 利 方 程 求 法会求齐次 非齐次 非齐次二、题型与解法A. 微分方程求解求通解.（2.利用代换xucosx 化简并求通解. cos2xex） （1设是上凸连续曲线,处曲率为,且过0

17、,1 处切线方程为 y=x+1 ,求及其极值.解：三、补充习题（作业）1.已知函数在任意点处的增量求.） 12xxe4） 2.求的通解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（3.求的通解.（）4.求的特解.（第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别2.幂级数3.Fourier 级 数第八讲线性代数一、理论要求1.行列式2.矩阵3.向量4.线

18、性方程组5.二次型第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机大事与概率级数敛散性质与必要条件常数项级数、 几何级数、 p 级数敛散条件正项级数的比较、 比值、 根式判别法交叉级数判别法幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求 法 幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclaulin 绽开明白 Fourier 级数概念与Dirichlet收敛定理会求的 Fourier 级数与 0,l 正余弦级数会用按行（列）绽开运算行列式几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置,方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件,会用相伴矩阵求逆

19、矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆懂得并会运算矩阵的特点值与特点向量懂得相像矩阵的概念、 性质及矩阵对角化的冲要条件把握将矩阵化为相像对角矩阵的方法把握实对称矩阵的特点值与特点向量的性质理 解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示把握线性相关、 线性无关的判别懂得并向量组的极大线 性无关组和向量组的秩明白基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、 施密特方法明白规范正交基、正交矩阵的概念与性质懂得齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件懂得齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解把握用初等行变换求解线性方程组的方法二次型及其矩阵表示,合同矩阵与合同变换二次型的标准形、 规范形

20、及惯性定理把握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法明白二次型的对应矩阵的正定性及其判别法明白样本空间（基本领件空间）的概念,懂得随机大事的关系与运算会运算古典型概率与几何型概率2.随机变量与分布3.二维随机变量4.数字特点5.大数定理6.数理统计概念7.参数估量8.假设检验可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第十讲总结1.极限求解把握概

21、率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式懂得随机变量与分布的概念懂得分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度把握0-1、二项、超几何、泊松、均 匀、正态、指数分布,会求分布函数懂得二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布懂得随机变量的独立性及不相关概念把握二维匀称分布、 明白二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简洁函数的分布懂得期望、方差、标准差、矩、协方差、相 关系数的概念把握常用分布函数的数字特点,会求随机变量的数学期望明白切比雪夫不等式,明白切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理明白隶莫弗 -Laplace 定理与列维 -林德伯格定理懂得总体、简洁随机样本、统计量、样本均值、样本方

22、差及样本矩2 明白分布、 t 分布、F 分布的概念和性质, 明白分位数的概念 明白正态分布的常用抽样分布 把握矩估量与极大似然估量法 明白无偏性、 有效性与一样性的概念, 会验证估量量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 把握假设检验的基本步骤 明白单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验变量替换（作对数替换） ,洛必达法就,其他（重要极限,微积分性质,级数,等价小量替换）几何级数2.对数替换 lim222.导数与微分3.一元函数积分4.多元函数微分6. ,求复合函数、隐函数、参数方程求导axbaxbb1.xa ,求打算函数,求dy 4. 已知,验证求 y x求函数在区间 0,1

23、上的最小值. （ 0）（z,exy1.y,求2.由给出,求证：3.求在 O0,0,A1,1,B4,2 的梯度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -,求6.证明 yx2 满意7.求5. 多元 函数 积分在内的 最值.求证：2.转变积分次序围域.6.常微分方程1.求通解.求通解.求通解.4.求通解.特解.5.求特解.6.求高等数学考研题型分析填空题：极限（指数变换,罗必达）、求导（隐函数,切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分挑选题：等价小量概念,导数应用,函数性质,函数图形,多元极限运算题：中值定理或不等式,定积分几何应用,偏导数及几何应用,常微分方程及应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载