2022年高中数学圆锥曲线解题技巧总结 .docx

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1、精品_精品资料_解圆锥曲线问题的常用方法大全1、定义法 1椭圆有两种定义.第肯定义中,r1+r 2=2a.其次定义中, r1=ed1r2=ed2 . 2双曲线有两种定义. 第肯定义中, r1r22a ,当 r1r2 时,留意 r2 的最小值为 c-a：其次定义中, r1=ed1,r 2=ed2,特别应留意其次定义的应用,经常将半径与“点到准线距离”相互转化. 3抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,许多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理

2、及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,特别是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应留意不要无视判别式的作用.3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为 “设而不求法” .设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点Ax 1,y1,Bx 2,y2,弦 AB 中点为 Mx 0,y0,将点 A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,详细有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 1y21ax0b0 与直线相交于A 、B,设弦 A

3、B 中点为 Mx 0,y0,就有y0k0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x2 2b 22y1a0,ba 2b 20 与直线 l 相交于 A 、B,设弦 AB 中点为 Mx 0,y0就有 x0y0 k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b 2a 2b 2 3y2=2px p0与直线 l 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 Mx 0,y0,就有 2y0k=2p, 即 y 0k=p.【典型例题 】例 1、1 抛物线 C:y2 =4x 上一点 P 到点 A3,42 与到准线的距离和最小,就点 P 的坐标为 2抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B

4、4,1 与到焦点 F 的距离和最小 ,就点 Q 的坐标为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：1A 在抛物线外,如图,连PF,就 PHP、F 三点共线时,距离和最小.PF ,因而易发觉,A QHPB当 A 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2B 在抛物线内,如图,作QR l 交于 R,就当 B 、Q、R 三点共线时, 最小.解：1 2, 2 F距离和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连 PF,当 A 、P、F 三点共线时, APPHAPPF最小, 此时 AF 的方程为 y420 x311) 即可编

5、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=22 x-1, 代入 y 2=4x 得 P2,22 ,注：另一交点为 1 ,22 ,它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 1 ,1 4过 Q 作 QR l 交于 R,当 B 、Q、R 三点共线时, BQQFBQQR 最小,此时Q 点的纵坐标为 1,代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_入 y2=4x 得 x=1 , Q 1 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44点评：

6、这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”相互转化的一个典型例题,请认真体会.x 2y 2例 2、 F 是椭圆1 的右焦点, A1,1 为椭圆内肯定点, P 为椭圆上一动点.43y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 PAPF 的最小值为APH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2PA2 PF的最小值为F0Fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径题.解：14-5设另一焦点为 F ,就 F -1,0 连 A F ,P FPF 或准线作出来考虑问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品_精品资料_PAPFPA2aPF2a PFPA2aAF45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时,PAPF 取得最小值为 4-5 . 23作出右准线 l,作 PH l 交于 H ,因 a2=4 , b2=3,c2=1, a=2, c=1, e= 1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PF1 PH 2,即2 PFPH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PA2 PFPAPHa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 A 、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为x A413c可编辑

8、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、 动圆 M 与圆 C1:x+1 2+y 2=36 内切 ,与圆 C2:x-1 2+y 2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程.分析： 作图时,要留意相切时的“图形特点”：两个圆心与切点这三点y共线如图中的A 、M 、C 共线, B、D、M 共线.列式的主要途径是动圆的“半径C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等于半径”如图中的 MCMD .MD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如图, MCMD ,A0 B5x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ACMAM

9、BDB即6MAMB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ MAMB8*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2点 M 的轨迹为椭圆, 2a=8, a=4, c=1, b2=15 轨迹方程为11615点评：得到方程* 后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 2y 2x1 2y 24 ,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、 ABC 中, B-5,0,C5,0, 且 s

10、inC-sinB=3sinA, 求点 A 的轨迹方程.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 由于 sinA、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式, 两边乘以 2RR 为外接圆半径 ,可转化为边长的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=53 2RsinA5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AB即 ABAC35AC6BC* 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A 的轨迹为双曲线的右支去掉顶点 2a=6, 2c=10

11、a=3, c=5 , b=4x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求轨迹方程为1x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_916点评： 要留意利用定义直接解题,这里由* 式直接用定义说明白轨迹双曲线右支例 5、 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2 上移动, AB 中点为 M ,求点 M 到 x 轴的最短距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：1可直接利用抛物线设点,如设Ax 1,x12, Bx2,X 2 ,又设 AB 中点为 Mx0y0用弦长公式及中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2公式得出 y0 关于 x

12、0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离. 2M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法.解法一： 设 Ax 1 ,x12, Bx 2 ,x2 2, AB 中点 Mx 0, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1就 x1x 22x2 x 212x 0x2 292可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x1x22 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得 x 1-x 221+x 1+x 22=9即x 1+x 22-4x1x2 1+x 1+x2 2=9由、得 2x 1x 2=2x 02-2y 0=4x 02-

13、2y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0代入得 2x 0 2-8x2-4y0 1+2x 0 2=9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 y04 x290014 x 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_04 y04 x2904 x24 x 219104 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00 2915,y54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0当 4x2+1=3即 x02时, y0 min25 此时 M 42 , 5 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

14、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二： 如图,2 MM 2AA2BB2AFBFAB3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ MM 23 , 即 MM13 ,y1242MB5A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ MM 1, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值.45A10 M1B1 x A2M2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 到 x 轴的最短距离为4点评： 解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1, x2,从而形成y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而不求”的方法.而解法二充

15、分利用了抛物线的定义,奇妙的将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A 、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边的属性,简捷的求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB 是否能经过焦点F,而且点 M 的坐标也不能直接得出.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 6、已知椭圆 xmy1 22m1m5 过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 、C、D、设 fm=ABCD ,1求 fm, 2求 fm 的最值.分析： 此题

16、初看很复杂,对fm 的结构不知如何运算,因A、 B 来源于“不同系统” , A 在准线上, B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上, D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x 轴上,立刻可得防可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f m xBxA 2 xDxC 22 x Bx A xDX C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xBxC xAxD 4yDCF10 F2xBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xBX C 此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可.x2y 2解：1椭圆1 中, a2=m,

17、 b2=m-1 , c2 =1,左焦点 F1-1,0mm1就 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即 m-1x 2+my 2-mm-1=0得 m-1x 2+mx+1 2-m 2+m=0 2m-1x 2+2mx+2m-m 2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Bx 1,y1,Cx 2,y2,就 x1+x2 =-2 m2m52m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f mABCD2 xBx A xDxC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1x2 x AxC

18、 2 x1x222m2m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2f m2 2m112m12 112m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m=5 时,f mmin1029可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m=2 时,42f m max3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 此题因最终需求x BxC ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用 “点

19、差法” 设 BC 中点为 Mx 0,y0,通过将 B、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0y0x0x01m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 坐标代入作差,得k0 ,将 y 0=x 0+1 , k=1代入得0 , x0,可见可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x Bx Cmm12m 2m1mm12m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当然, 解此题的关键在于对f mABCD的熟悉, 通过线段在 x 轴的“投影”发觉f mxBxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是解此题的要点

20、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【同步练习 】x 21、已知： F1,F2 是双曲线2a ABF 2 的周长为y1的左、 右焦点, 过 F1 作直线交双曲线左支于点A 、B ,假设 ABm,2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、假设点 P 到点 F4,0 的距离比它到直线x+5=0 的距离小 1,就 P 点的轨迹方程是A 、y 2=-16xB 、y2 =-32xC、y2=16xD、 y2=32x3、已知 ABC 的三边 AB 、BC、AC 的长依次成等差数列,且ABAC ,点 B、C 的坐标分别为 -1,0

21、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ,0 ,就顶点 A 的轨迹方程是x2y2x22A 、1B 、y1x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43x2y2C、431x043x 2y2D、431 x0且y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、过原点的椭圆的一个焦点为F1, 0,其长轴长为 4,就椭圆中心的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、 x21 2y 221 29 x149B 、 x21 2y 221 29 x149可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、 x y2 x14D 、 x y2x14可编辑资料 -

22、 - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 25、已知双曲线1 上一点 M 的横坐标为 4,就点 M 到左焦点的距离是9166、抛物线 y=2x 2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线y 2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p-2,0 ,就弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x 2-y 2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线 y=kx+1 与双曲线 x 2-y 2 =1 的交点个数只有一个,就k=x 2y 210、设点 P 是椭圆1上的动点, F1, F2 是椭圆的两个焦点,求sin F1PF2 的最大值.25911、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上

23、,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,假设直线 l 与此椭圆相交于 A 、B 两点,且 AB 中点 M 为-2, 1, AB43 ,求直线 l 的方程和椭圆方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x212、已知直线 l 和双曲线2ay1 a2b 20, b0 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C、D.求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCD .【参考答案 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、CAF2AF12a, BF2BF12a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

24、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AF2BF2AB4a,AF2BF2AB4a2m, 选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、C点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离, P 点轨迹为抛物线p=8 开口向右,就方程为y2 =16x,选 C 3、D ABAC22 ,且 ABAC点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又A 、B、 C 三点不共线,即 y 0,应选 D .4、A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设中心为 x , y,就另一焦点为 2x-1 , 2y,就原点到两焦点距离和为4 得12 x1 22 y24 ,可编辑资料 - -

25、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 2y 2924又 ca, x12y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x-1 2+y 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、y2=x+2x2设 Ax 1, y 1, Bx 2, y2, AB 中点 Mx ,y,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y21122 x, y 2y22 x2,1y222 x1y1x2 ,x1y2 y1x2y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k ABk MPy0y

26、,2 yx2x22 ,即 y2=x+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又弦中点在已知抛物线内P,即 y22x ,即 x+22 8、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 24, c 28, c22 ,令 x22 代入方程得8-y2=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y2 =4, y= 2,弦长为 49、2或 1y=kx+1 代入 x2-y 2=1 得 x 2-kx+1 2-1=0 1-k2x 2-2kx-2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 200 得 4k2 +81-k 2=0 , k=2可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品_精品资料_ 1-k2=0 得 k= 110、解： a2=25 , b2=9,c2=16y设 F1、F2 为左、右焦点,就F1-4, 0F 24, 0P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 PF122就 r1r2r1,2PF2r2 ,F1PF2F1F2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr122r1r 2cos 2c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2-得 2r1r21+cos =4b 24b22b 2 1+cos= r1 +r22r1r2, r1r 2 的最大值为 a2可编辑资料 - -

28、 - 欢迎下载精品_精品资料_2r1r2r1r22b 218可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1+cos的最小值为2a7,即 1+cos257可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos, 025arccos就当25时, sin取值得最大值 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 sinF1PF2 的最大值为 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x211、设椭圆方程为2aa2y 221ab0b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意： C、2C、c 成等差数列,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 4cc

29、a c2c即a22c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2=2a 2-b2, a2=2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆方程为x 22b 2y 221,设 Ax 1, y 1, Bx 2, y2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x1y1就222bbx222221 x2y21 2bbx2y 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ -得122b 2120b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xm 2b2ymk

30、0 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即2k20 k=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3 , 代入椭圆方程即 x 2+2y 2-2b2=0 得 x2+2x+3 2-2b2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3x2+12x+18-2b 2=0,ABx1x211112 2312182b 2 243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2解得 b2=12,椭圆方程为1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0241212、证明：设 Ax

31、1, y1, Dx 2, y2, AD 中点为 Mx 0, y0直线 l 的斜率为 k,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy22111 a 2b 2xy22221 a 2b 2 -得2 x0a 22 y0b 2k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Bx1 ,x12y1 , Cx2 ,y1 2y2, BC中点为 M x0 , y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1就a 21 210 b21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22a -得y22b2x1 a 20 02 y1b 2k0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由、知 M 、 M均在直线 l2 x: a 22 ykb 20 上,而 M 、 M 又在直线 l 上 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 l 过原点,就 B、 C 重合于原点,命题成立假设 l 与 x 轴垂直,就由对称性知命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 l 不过原点且与x 轴不垂直,就 M 与 M重合ABCD椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角, 就焦点在直线