2022年高考数学总复习专项数列解题技巧归纳总结.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的分类数列学问框架可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的概念数列的通项公式函数角度懂得数列的递推关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列的定义 anan 1d n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列的通项公式 ana1n1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列nn n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列的求和公式

2、 Sn a1an na1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22等差数列的性质 anamapaq mnpq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个基等比数列的定义本数列anan 1q n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列的通项公式aa qn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列n1aa qa 1q n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列等比数列的求和公式Sn1n11q1q q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公 式 法 分组求和错位

3、相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明等比数列的性质anamap aq mnpq 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的应用分期付款其他可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把握了数列的基本学问,特殊是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质,把握了典型题型的解法和数学思想法的应用,就有可能在高考中顺当的解决数列问题.一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观看法.（2）由递推公式求通项.对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题.1 递推式为 an

4、+1=an+d 及 an+1=qan（ d, q 为常数） 例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1.求 an.例 1 、解 an+1-a n=2 为常数 a n 是首项为1,公差为2 的等差数列n an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、已知 an 满意 an 11 a ,而 a 212 ,求an =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 15 页 - - - - - - - -

5、 - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、已知 a 中 a1, aa1,求 a.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解：由已知可知1n 12an 1a nn4n 2111 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n1 2n122n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 n=1, 2,（ n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（a2-a 1） +（ a

6、3-a 2）+（ an-a n-1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana11 1212n14n34n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明只要和f （ 1） +f （ 2）+f （n-1 ）是可求的,就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1, 2,（ n-1 ）代入,可得n-1 个等式累加而求an.(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p,q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、 an 中,a11 ,对于 n 1（n N）有 an3an 12 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：由已知递推

7、式得an+1=3an+2, an=3an-1 +2.两式相减：an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列,其首项为a2-a 1=（ 3 1+2） -1=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an-1n-1n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n+1-a n=43 an+1=3an+2 3an+2-a n=4 3即 a n=2 3-12n-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列, 于是有： a2-a 1=4,a3-a 2=43,a4-a 3=

8、43 , ,an-a n-1 =43,把 n-1 个等式累加得： an=23n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p,q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb2 bb由上题的解法,得：b2 n abn1n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1nnn 13n323n2 n3223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 递推式为an 2pan 1qan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选

9、- - - - - - - - - -第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路：设an 2pan 1qan , 可以变形为：an 2an 1an 1an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_想于是 a n+1- an 是公比为 的等比数列,就转化为前面的类型.求 an .(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系.（ 2）试用 n 表示 an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

10、精品资料_ Sn 1Sn anan 1 1n 2212n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a n 1a na n 112 n 1 an 1112 a n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式两边同乘以2n+1 得 2n+1a=2na +2 就2 na 是公差为 2 的等差数列.n+1nnn 2 an= 2+ （ n-1 ） 2=2n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wo

11、rd 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、错项相减法：适用于差比数列（假如an等差,bn等比,那么an bn叫做差比数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即把每一项都乘以bn的公比 q ,向后错一项, 再对应同次项相减, 转化为等比数列求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和

12、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可裂项为：1111 ,11 aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1danan 1n 1nanan 1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列前 n 项和的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

13、 - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如已知通项an ,就Sn 最大an0.an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（）如已知Spn 2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如已知通项an ,就Sn 最小an0.an 10可编辑资料 -

14、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（）如已知Spn 2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式.等比数列通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知Sn （即 a1a2anfn ）求an , 用作差法 ： anS1 , n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1, n1SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 a1 a2anfn 求 an , 用作商法：anf n, n2

15、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知条件中既有Sn 仍有an ,有时先求Sn ,再求an .有时也可直接求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an 1anf n求 an 用累加法 ： an anan 1 an 1an 2 a2a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知an 1f n 求 a, 用累乘法 ： aanan 1a2a n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnanan 11an 2a1可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知递推关系求an , 用构造法 （构造等差、等比数列）.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的 ,（1）形如akab 、 akab （k, b 为常数

17、）的递推数列都可以用待定系数法转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化为公比为k 的等比数列 后,再求an .形如 ankan 1k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列后,再求an .an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）形如 ankan 1的递推数列都可以用倒数法求通项.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）形如a

18、a的递推数列都可以用对数法求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kn 1n（ 7）（理科） 数学归纳法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 8）当遇到an 1a n 1d或 an 1an 1q 时, 分奇数项偶数项争论, 结果可能是分段形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式.等比数列求和公式.（ 2） 分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.（ 3） 倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,

19、就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（ 4） 错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（ 5） 裂项相消法 ：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和 . 常用裂项形式有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111. 11 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111nn1nn1nnkknnk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 111 11 ,.

20、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2k 212k1k1kk1k1kk 2k1kk1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 11.n11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1n22nn1n1n2 n1.n.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2n1n 2122nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1二、解题方法：nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 由Sn求a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ n1时, a1S1, n2时, a

21、nS nSn 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、求差（商）法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：a满意 1 a1 a1 a2n51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： nn121时, 1 a2 22215, a2 nn14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

22、 - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2时, 1 a1 a1a2 n152可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212 222 n 1n 112得：1 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a n2 n 12nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14n1a nn 12 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列a n满意 SnSn 1a5n 1 , a134,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（留意到aSS代入得：Sn 14可编辑

23、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1nSn又S4,S是等比数列,S4 n1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2时, a nS nSn 13 4 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 、叠乘法例如：数列a n中, a13, an 1ann,求 a n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解： a 2a1 a3a 2a na n 11 223n1 , an1na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又a 133, a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

24、料_5 、等差型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由a nan 1f n , a1a 0 ,求 a n ,用迭加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2时, a 2a 3ana1 a 2a n 1f 2f 3f n两边相加,得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1f 2f 3f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a na0f 2f 3f n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

25、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列（ a na n, a11n321, a n1 ）3n 1an 1n2 ,求 a n6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6、等比型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anca n 1dc、 d为常数, c0,

26、 c1, d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可转化为等比数列,设a nxc an 1xa ncan 1c1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 c1 xd, xdc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aan1d是首项为c1d, c为公比的等比数列 c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n adc1d c n 1a1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aadc n 1d可编

27、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1c1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习数列a n满意 a19 , 3an 1a n4,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（a nn 1841）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、倒数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如： a11, a n 12a na n2,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知得：1an 1a n22 an112a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111a n 1a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载

28、精品_精品资料_1为等差数列,an11,公差为 1a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n a n2 a n1 121n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和,另外记住以

29、下公式对求和来说是有益的.1 3 5 2n-1=n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 8】 求数列 1,（ 3+5）,（ 7+9+10）,（ 13+15+17+19）,前 n 项的和.解此题实际是求各奇数的和,在数列的前n 项中,共有1+2+n= 1 nn21 个奇数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最终一个奇数为：1+1 nn+1-1 2=n2+n-12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此所求数列的前n 项的和为（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例

30、9】求和 S=1（2n -1） + 2 （2n -22） +3（2n -32） +n（22n -n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解S=n 2（ 1+2+3+n）- （ 13+23+33+n3）（ 3）、倒序相加法nnnn适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10、求和： S3C16C 23nC n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 、解S0120C3C6Cn3nC可编辑资料 - - - 欢迎下

31、载精品_精品资料_nnnnnn-1 S n=3n28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 4）、错位相减法假如一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和2n-1n例 11、 求数列 1, 3x , 5x2,2n-1xn-1 前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x +2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x=0时, Sn=123n3 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x23+5x+2n-1x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ - ,得1-xSn=1+2x+2x+2x+2xn-1-2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 裂项法：把通项公式整理成两项